str. 1

MODELOWANIE UKŁADÓW

DYNAMICZNYCH

PODSTAWOWE CZŁONY

DYNAMICZNE

Krzak Igor

Politechnika Krakowska

Wydział Inżynierii Elektrycznej i Komputerowej

Kierunek: Elektrotechnika;

rok I, semestr 2; gr.13

str. 2

Podstawowe człony dynamiczne- wstęp

Człon podstawowy jest to element przetwarzający wprowadzony do niego sygnał wejściowy
x(t) na sygnał wyjściowy y(t) w sposób elementarny. Przetwarzanie elementarne oznacza,
między innymi, realizację podstawowych funkcji elementarnych, takich jak: mnożenie przes
stały współczynnik, różniczkowanie, całkowanie.

Rys1. Schemat członu podstawowego

Właściwości dynamiczne każdego obiektu można opisać za pomocą bilansu substancji i
energii. Związki te wiążą sygnał wejściowy x(t) z sygnałem wyjściowym y(t) i mają
najczęściej postać równania różniczkującego zwyczajnego liniowego. W przypadku równań
nieliniowych przeprowadza się linearyzację. Równania różniczkowe stanowią pierwotny opis
właściwości dynamicznych obiektów i mogą być podstawą ich podziału. Wyróżnia się
następujące dynamiczne człony podstawowe:

-obiekt bezinercyjny (liniowy)

- obiekt inercyjny pierwszego rzędu

- obiekt inercyjny pierwszego rzędu z opóźnieniem

-obiekt inercyjny drugiego rzędu oscylacyjny

- obiekt inercyjny n-tego rzędu

- obiekt całkujący idealny

- obiekt różniczkujący idealny

- obiekt rzeczywisty całkujący i różniczkujący

Z równania różniczkowego można uzyskać inne rodzaje opisu właściwości dynamicznych,
np. transmitancje operatorowe i odpowiedzi skokowe.

x(t)

Człon dynamiczny

G(s)

y(t)

str. 3

Transmitancja operatorowa jest to stosunek transformaty sygnału wyjściowego do
transformaty sygnału wejściowego, przy zerowych warunkach początkowych

G(s)=

௒(௦)
௑(௦)

Gdzie: Y(s)=L{y(t)}- transformata Laplace`a sygnału wyjściowego,

X(s)={x(t)}- transformacja Laplace’a sygnału wejściowego.

Odpowiedź skokowa jest to przebieg zmiany sygnału wyjściowego y(t) pod wpływem
wymuszenia skokowego x(t)=1(t)∆x (∆x- amplituda skoku), gdzie l(t)- funkcja skoku
jednostkowego

l(t)

ቄ0 ݈݀ܽ ݐ < 0

1 ݈݀ܽ ݐ ≥ 0

str. 4

Charakterystyki w dziedzinie czasu

Człon bezinercyjny (liniowy, proporcjonalny)

to człon, który na wyjściu daje sygnał

Gdzie k to współczynnik wzmocnienia.

Poddanie powyższego związku obustronnej
transformatami obu sygnałów:

Stąd transmitancja członu proporcjonalnego ma posta

Odpowiedź impulsowa:

Charakterystyka skokowa członu proporcjonalnego wynosi:

•

w dziedzinie operatorowej

•

w dziedzinie czasu

x(t)

Człon bezinercyjny (liniowy, proporcjonalny)

ściu daje sygnał y(t) proporcjonalny do sygnału wejś

Gdzie k to współczynnik wzmocnienia.

ązku obustronnej transformacji Laplace'a daje zwią

transformatami obu sygnałów:

członu proporcjonalnego ma postać:

członu proporcjonalnego wynosi:

w dziedzinie operatorowej

,

w dziedzinie czasu

.

y(t)

str. 5

Człon bezinercyjny (liniowy, proporcjonalny)

proporcjonalny do sygnału wejściowego x(t):

daje związek pomiędzy

str. 6

Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie skokowe:

Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu proporcjonalnego to proste równoległe do osi
czasu.

Implementacja w MATLABIE:

k=[3 6 9];

hold on;

for x=1:3

licz=[k(x)];

mian=[1];

step(licz, mian), grid on;

end

str. 7

Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie impulsowe:

Odpowiedź na wymuszenie impulsowe członu proporcjonalnego to prosta równoległa do osi
czasu przechodząca przez oś x w punkcie 0.

Implementacja w MATLABIE:

k=[3 6 9];

hold on;

for x=1:3
licz=[k(x)];
mian=[1];
impulse(licz, mian), grid on;
end

str. 8

Przykładami członów proporcjonalnych są: przekładnie zmieniające liczbę obrotów, przekładnie
zmieniające moment napędowy, wzmacniacze elektroniczne oraz większość czujników -
przetworników pomiarowych.

Przykładem realizacji jest również dźwignia dwuramienna;

Na dźwignię działa siła F1( na schemacie u=x1) przyłożona w punkcie a od punktu odparcia,
wywołująca reakcję w postaci siły F2( schemat- y=x2) na drugim końcu dźwigni odległym od
punktu b od punktu odparcia. Przyjmując, że belka jest sztywna i nieważka można napisać
równanie sił:

Stąd:

str. 9

Człon inercyjny pierwszego rzędu

Jest

to powszechnie używany model urządzeń obdarzonych szeroko rozumianą

bezwładnością mechaniczną i cieplną. Przykładem urządzeń o cechach członu inercyjnego są:

- grzejniki elektryczne

-czwórniki RC

Transmitancja i równanie opisujące obiekt mają postać:

gdzie:
y – odpowiedź
k –wzmocnienie
u – wymuszenie
T – stała czasowa

Odpowiedź skokową i impulsową opisują wzory:

x(t)

y(t)

str. 10

Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie skokowe:

Im większa wartość stałej czasowej tym wolniej odpowiedź członu inercyjnego dąży do
wartości ustalonej.

Implementacja w MATLABIE dla zmiennego T i stałego wzmocnienia:

k=[3 6 9];
T=[3 6 9];

hold on;

for x=1:3
licz=[k(1)];
mian=[T(x) 1];
step(licz, mian), grid on;
end

Implementacja w MATLABIE dla stałej wartości czasu i zmiennego wzmocnienia:

k=[3 6 9];
T=[3 6 9];

hold on;

str. 11

for x=1:3
licz=[k(x)];
mian=[T(1) 1];
step(licz, mian), grid on;
end

Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie impulsowe

Implementacja w MATLABIE dla zmiennego T i stałego wzmocnienia:

k=[3 6 9];
T=[3 6 9];

hold on;

for x=1:3
licz=[k(1)];
mian=[T(x) 1];
impulse(licz, mian), grid on;
end

str. 12

Implementacja w MATLABIE dla stałej wartości czasu i zmiennego wzmocnienia:

k=[3 6 9];
T=[3 6 9];hold on;
for x=1:3
licz=[k(x)];
mian=[T(1) 1];
impulse(licz, mian), grid on;
end

str. 13

Przykładem rzeczywistym członu inercyjnego pierwszego rzędu jest czwórnik elektryczny
RC.

Natężenie prądu przepływającego przez rezystor ma wartość:

A prądu ładowania kondensatora

Po porównaniu obu wzorów uzyskuje się:

str. 14

I ostatecznie równanie dynamiki o postaci

Gdzie T=RC jest stałą czasową członu.

Po zastosowaniu go równania dynamiki przekształcenia Laplace’a i wyznaczeniu
transmitancji otrzymuje się wyrażenie:

str. 15

Człon inercyjny pierwszego rzędu z opóźnieniem

Człon opóźniający jest elementarnym czlonem dynamicznym opisany za pomocą równania:

y(t)=k(x)(t-T)

gdzie: x(t)- wartość sygnału wejściowego, y(t) wartość sygnału wyjściowego.

Opis transmitancyjny:

Po zastosowanie przekształcenia Lapleac’a do obu stron równania możemy przejść do opisu
w dziedzinie zmiennej zaspolonej s. Jeśli założymy, że warunki początkowe ukladu są
zerowe, to otrzymujemy wówczas opis tego układu w postasci transmitancji operatorowej

Y(s)=k

e

ିୱ୘

X(s)

G(s)k

e

ିୱ୘

Odpowiedź impulsowa ukladu:

Odpowiedzą impulsową układu opóźniającego można wyznaczyć na podstawie jego
transmitancji w sposób następujący:

g(s)=G(s)=k

e

ିୱ୘

oraz w dziedzinie czasu

g(t)=kδ(t-T)

W MATALBIE wpisujemy:

k=1;

T=1;

theta=1;

[licz_op, mian_op] = pade(theta, n);

licz_iner = [0,k]; mian_iner = [T,1];

obiekt=tf(licz_iner,mian_iner,'outputdelay',theta);

x(t)

y(t)

str. 16

impulse(obiekt)

i otrzymujemy:

Odpowiedź na skok jednostkowy:

h(s)=G(s)

ଵ

ୱ

W MATALBIE wpisujemy:

k=1; T=1; theta=1;

[licz_op, mian_op] = pade(theta, n);

licz_iner = [0,k]; mian_iner = [T,1];

obiekt=tf(licz_iner,mian_iner,'outputdelay',theta);

step(obiekt)

I otrzymujemy:

str. 17

Przykładem członu inercyjnego I-rzędu z opóźnieniem jest podajnik taśmowy

str. 18

Człon inercyjny drugiego rzędu oscylacyjny

Równanie różniczkowe członu oscylacyjnego II- rzędu

gdzie

T

o

– okres drgań nie tłumionych,

ζ – współczynnik tłumienia,

k – wzmocnienie równe stosunkowi ustalonej wartości sygnału wyjściowego do ustalonej
wartości sygnału wejściowego.

Transmitancja operatorowa

Odpowiedź skokowa

gdzie

.

Odpowiedź skokowa ma charakter oscylacyjny, jeżeli spełniony jest warunek:

Odpowiedź impulsowa

x(t)

y(t)

str. 19

Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie skokowe:

Implementacja w MATLABIE dla zmiennego k:

k=[3 6 9];
Wn=[300 600 900];
ksi=[0.3 1 2];

hold on;

for x=1:3
licz=[k(x)*Wn(1)^2];
mian=[1 2*ksi(1)*Wn(1) Wn(1)^2];
step(licz, mian), grid on;
end

Implementacja w MATLABIE dla zmiennego k:

str. 20

k=[3 6 9];
Wn=[300 600 900];
ksi=[0.3 1 2];

hold on;

for x=1:3
licz=[k(x)*Wn(1)^2];
mian=[1 2*ksi(1)*Wn(1) Wn(1)^2];
impulse(licz, mian), grid on;
end

str. 21

Przykładem członu inercyjnego II-rzędu jest manometr cieczowy dwuramienny

str. 22

Człon całkujący idealny

Transmitancja i równanie opisujące obiekt mają postać:

Gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia.

Odpowiedź skokową i impulsową opisują wzory:

Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie skokowe:

Odpowiedzią członu całkującego na wymuszenie skokowe jest brak stanu ustalonego.

Implementacja w MATLABIE:

k=[3 6 9];

hold on;

for x=1:3
licz=[k(x)];
mian=[1 0];
step(licz, mian), grid on;
end

str. 23

Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie impulsowe

Odpowiedź na wymuszenie impulsowe członu całkującego to proste równoległa do osi czasu.

Implementacja w MATLABIE:

k=[3 6 9];

hold on;

for x=1:3
licz=[k(x)];
mian=[1 0];
impulse(licz, mian), grid on;
end

str. 24

str. 25

Człon różniczkujący idealny

Transmitancja i równanie opisujące obiekt mają postać:

· Odpowiedzi czasowej na wymuszenie skokowe nie można wykreślić, gdyż funkcją Diraca
nie można jej sporządzić.

- w dziedzinie operatorowej wynosi: Y(s)=k
- w dziedzinie czasu wynosi: Y(t)= k*δ(t)

Człon różniczkujący idealny nie jest realizowany fizycznie. W praktyce stosuje się więc
połączenie szeregowe tego członu z członem inercyjnym uzyskując tzw. Człon różniczkujący
rzeczywisty. Przykładem tego jest czwórnik elektryczny CR.

str. 26

str. 27

Człon całkujący rzeczywisty

Transmitancja i równanie opisujące obiekt mają postać:

Gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia, a T *s+ stałą czasową.
Odpowiedź skokową i impulsową opisują wzory:

-Odpowiedź skokowa(k=const.)

T=[2 4 6];

hold on;

for x=1:3

L=[2 0];

M=[T(x) 1];

sys=tf(L,M);

step(sys), grid on;

str. 28

end

-Odpowiedź impulsowa(k=const.)

T=[2 4 6];

hold on;

for x=1:3

L=[2 0];

M=[T(x) 1];

sys=tf(L,M);

impulse(sys), grid on;

end

str. 29

Przykładem układu rzeczywistego realizującym funkcję członu całkującego rzeczywistego
jest silnik prądu stałego

str. 30

Człon różniczkujący rzeczywisty

Transmitancja i równanie opisujące obiekt mają postać:

Gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia.
Odpowiedź skokową i impulsową opisują wzory:

Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie skokowe:

Im większa wartość T tym wykres zaczyna się niżej.

Implementacja w MATLABIE dla stałego wzmocnienia równego 3:

k=[3 6 9];
T=[3 6 9];

hold on;

for x=1:3
licz=[k(1) 0];
mian=[T(x) 1];
step(licz, mian), grid on;
end

str. 31

Implementacja w MATLABIE dla stałej wartości czasu i zmiennego wzmocnienia:

k=[3 6 9];
T=[3 6 9];hold on;
for x=1:3
licz=[k(x) 0];
mian=[T(1) 1];
step(licz, mian), grid on;
end

str. 32

Charakterystyka odpowiedzi na wymuszenie impulsowe:

Implementacja w MATLABIE dla stałego wzmocnienia równego 3:

k=[3 6 9];
T=[3 6 9];

hold on;

for x=1:3
licz=[k(1) 0];
mian=[T(x) 1];
impulse(licz, mian), grid on;
end

str. 33

Implementacja w MATLABIE dla stałej wartości czasu i zmiennego wzmocnienia:

k=[3 6 9];
T=[3 6 9];

hold on;

for x=1:3
licz=[k(x) 0];
mian=[T(1) 1];
impulse(licz, mian), grid on;
end

str. 34

.

str. 35

Człon inercyjny n-tego rzędu

Odpowiedź impulsowa określona jest zależnością:

str. 36

W MATALBIE wpisujemy:

k=2;

T1=1;

T2=3;

T3=4;

T4=5;

L=[k];

M1=[T1*T2,T1+T2,1];

M2=[T3*T4,T3+T4,1];

sys1=tf(L,M1);

sys2=tf(L,M2);

impulse(sys1,sys2)

I otrzymujemy:

Odpowiedź skokowa

k=2;

str. 37

T1=1;

T2=3;

T3=4;

T4=5;

L=[k];

M1=[T1*T2,T1+T2,1];

M2=[T3*T4,T3+T4,1];

sys1=tf(L,M1);

sys2=tf(L,M2);

step(sys1,sys2)

Otrzymujemy

str. 38

PODSUMOWANIE.

Po napisaniu krótkiego kodu w Matlabie w łatwy sposób można zapoznać się z
charakterystykami podstawowych członów.

W układach regulacji automatycznej ważna jest znajomość charakterystyki

dynamicznej badanego obiektu. Charakterystyka dynamiczna określa zachowanie się układu
w stanie nieustalonym. Własności obiektu w stanie przejściowym można opisać podając
transmitancję operatorową, transmitancję widmową, charakterystykę czasową bądź
częstotliwościową. Spośród charakterystyk czasowych największe zastosowanie znalazły
odpowiedzi układu na wymuszenie standardowe. Za wymuszenie takie przyjęto skok

jednostkowy 1(t) lub jego pochodną względem czasu-impuls Dirac’a

δ

. Odpowiedzi układów

na te wymuszenia nazywamy odpowiednio:

- odpowiedzią skokową - h(t);

- odpowiedzią impulsową - g(t);