Politechnika Poznańska Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz
Instytut Konstrukcji Budowlanych Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka
Zakład Mechaniki Budowli

DYNAMIKA- UJĘCIE KLASYCZNE

P=10000N- amplituda siły wymuszającej
p=30Hz- częstotliwość siły wymuszającej
m

1

= 200kg

m

2

= 100kg

k=

EI

3

1

Krzysztof Wójtowicz

Strona 1

1) Dobranie

przekroju

F

1

=200kg ·9,81m/s

2

=1962N=1,962kN

F

2

=100kg ·9,81m/s

2

=981N=0,981kN

3

3

dop

dop

dop

68,7cm

m

0,00006867

100

0,006867

σ

M

W

σ

W

M

100MPa

σ

=

=

=

=

⇒

≤

=

Z tablic dobieramy I140
W=81,86cm

3

I=573cm

4

;

A=18,3cm

2

EI=1175kNm

2)Częstości i postacie drgań własnych

SSD=3

Równania ruchu

















−

+

−

+

−

=

−

+

−

+

−

=

−

+

−

+

−

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

..

2

33

2

..

2

32

1

..

1

31

3

3

..

2

23

2

..

2

22

1

..

1

21

2

3

..

2

13

2

..

2

12

1

..

1

11

1

q

m

q

m

q

m

q

q

m

q

m

q

m

q

q

m

q

m

q

m

q

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

Krzysztof Wójtowicz

Strona 2

Obliczenie współczynników podatności

δ

ik

=

∑∫

∑

+

k

R

R

dx

EI

M

M

j

i

j

i

EI

EI

EI

EI

EI

EI

EI

EI

EI

EI

EI

EI

EI

4

3

3

4

1

437

,

19

3

333

,

1

5

,

0

5

,

1

3

2

3

4

2

1

5

,

1

5

,

2

2

4

5

,

1

5

,

1

3

2

5

,

1

5

,

1

2

1

5

,

1

3

1

5

,

0

66

,

42

3

333

,

1

4

3

2

4

4

2

1

4

3

2

3

4

2

1

3

3

1

75

,

9

3

5

,

0

1

5

,

1

3

2

3

5

,

1

2

1

5

,

1

5

,

2

5

,

1

5

,

1

3

2

5

,

1

5

,

1

2

1

23

13

12

2

33

2

22

2

11

=

⋅

⋅

=

=

⋅

⋅

+













⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

⋅

⋅

=

=

⋅

+













⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

⋅

=

=

⋅

+













⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=

δ

δ

δ

δ

δ

δ

Krzysztof Wójtowicz

Strona 3

Po wstawieniu masy porównawczej m=m

2

⇒ m

1

=2m otrzymuje się:



















=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

0

66

,

42

4

847

,

38

0

4

3

3

0

437

,

19

5

,

1

5

,

19

3

..

2

..

1

..

3

3

..

2

..

1

..

2

3

..

2

..

1

..

1

q

EI

m

q

EI

m

q

EI

m

q

q

EI

m

q

EI

m

q

EI

m

q

q

EI

m

q

EI

m

q

EI

m

q

Rozwiązanie przyjmuje się w postaci:

q

i

=A

i

sin

ω

t

⇒

sin

ω

A

q

2

i

..

−

=

(

ω

t)

Po podstawieniu do równań i obustronnym podzieleniu przez sin

ω

t otrzymuje

się





















=

−

−

−

=

−

−

−

=

−

−

−

0

66

,

42

4

847

,

38

0

4

3

3

0

437

,

19

5

,

1

5

,

19

3

2

2

2

1

2

3

3

2

2

2

1

2

2

3

2

2

2

1

2

1

A

EI

m

A

EI

m

A

EI

m

A

A

EI

m

A

EI

m

A

EI

m

A

A

EI

m

A

EI

m

A

EI

m

A

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Podstawienie:

EI

mω

λ

2

=











=

−

+

−

−

=

−

−

+

−

=

−

−

−

0

)

66

,

42

1

(

4

847

,

38

0

4

)

3

1

(

3

0

437

,

19

5

,

1

)

5

,

19

1

(

3

2

1

3

2

1

3

2

1

A

A

A

A

A

A

A

A

A

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

Otrzymany układ ma postać uogólnionego problemu własnego
Jest to układ równań jednorodnych , który posiada rozwiązanie gdy jego wyznacznik
główny równy jest 0.

1

λ

65,16

-

λ

242,78

+

λ

192,76

-

λ

42,66

1

λ

4

λ

38,847

λ

4

λ

3

1

λ

3

λ

19,437

λ

1,5

λ

19,5

1

et

2

3

+

=





















−

−

−

−

−

−

−

−

−

d

Układ posiada rozwiązanie dla:

λ

1

=0,016327

ω

1

=13,85071 rad/s

λ

2

=0,359612

⇒

m

EI

λ

ω

⋅

=

ω

2

=65,00321 rad/s

λ

3

=0,883568

ω

3

=101,8917 rad/s

Dla poszczególnych wartości własnych otrzymujemy wektory własne. Ponieważ układ
równań jest układem równań jednorodnych niemożliwe jest obliczenie dokładnych
wartości amplitud, można znaleźć jedynie proporcje pomiędzy amplitudami
podstawiając np. dla

λ

1

= 0,016327 za A

1

=1 a następnie wybierając z układu dwa

równania i rozwiązując układ równań. Poniższe rozwiązania otrzymano korzystając z
programu do rozwiązywania uogólnionego problemu własnego.

1) Dla

λ

1

=0,016327 2)

Dla

λ

2

=0,359612 1)

Dla

λ

3

=0,883568

A

1

= 0,288096

A

1

= -0,122339

A

1

= -0,531238

A

2

= 0,057029

A

2

= 0,602644

A

2

= -0,265716

A

3

= 0,614381

A

3

= 0,058726 A

3

= 0,522533

Krzysztof Wójtowicz

Strona 4

Dla

ω

1

=13,85071 rad/s

Dla

ω

2

=65,00321 rad/s

Dla

ω

3

=101,8917

3) Obliczenie amplitudy drgań wymuszonych przez zadane obciążenie harmoniczne.
Znaleźć siły dynamiczne działające na układ, sporządzić obwiednię dynamicznych
momentów zginających oraz sprawdzić naprężenia normalne w przekroju zginanym.

P=10000N- amplituda siły wymuszającej

p=30Hz= 30·2

π

=188,5 rad/s- częstotliwość siły wymuszającej

m=m

2

=100kg

EI=1175kNm

Krzysztof Wójtowicz

Strona 5

Równania ruchu

















−

+

−

+

−

=

−

+

−

+

−

=

−

+

−

+

−

=

)

(

)

(

)

cos

(

)

(

)

(

)

cos

(

)

(

)

(

)

cos

(

..

2

33

2

..

2

32

1

..

1

31

3

3

..

2

23

2

..

2

22

1

..

1

21

2

3

..

2

13

2

..

2

12

1

..

1

11

1

q

m

q

m

q

m

pt

P

q

q

m

q

m

q

m

pt

P

q

q

m

q

m

q

m

pt

P

q

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ



















=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

pt

P

EI

q

EI

m

q

EI

m

q

EI

m

q

pt

P

EI

q

EI

m

q

EI

m

q

EI

m

q

pt

P

EI

q

EI

m

q

EI

m

q

EI

m

q

cos

437

,

19

66

,

42

4

847

,

38

cos

5

,

1

4

3

3

cos

75

,

9

437

,

19

5

,

1

5

,

19

3

..

2

..

1

..

3

3

..

2

..

1

..

2

3

..

2

..

1

..

1

Przyjmuje się rozwiązanie w postaci

q

i

=A

i

cos(pt)

⇒

cos

p

A

q

2

i

..

−

=

(pt)

Po podstawieniu do równań i obustronnym podzieleniu przez cos(pt) otrzymuje się



















=

−

−

−

=

−

−

−

=

−

−

−

P

EI

p

A

EI

m

p

A

EI

m

p

A

EI

m

A

P

EI

p

A

EI

m

p

A

EI

m

p

A

EI

m

A

P

EI

p

A

EI

m

p

A

EI

m

p

A

EI

m

A

437

,

19

66

,

42

4

847

,

38

5

,

1

4

3

3

75

,

9

437

,

19

5

,

1

5

,

19

2

3

2

2

2

1

3

2

3

2

2

2

1

2

2

3

2

2

2

1

1

Po podstawieniu danych w jednostkach podstawowych











=

−

−

−

=

−

−

−

=

−

−

−

165421

,

0

0047

,

129

0961

,

12

4742

,

117

012766

,

0

0961

,

12

0721

,

9

0721

,

9

082979

,

0

778

,

58

5360

,

4

9684

,

58

3

2

1

3

3

2

1

2

3

2

1

1

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A











=

−

−

−

=

−

−

−

=

−

−

−

165421

,

0

0047

,

128

0961

,

12

4742

,

117

012766

,

0

0961

,

12

0721

,

8

0721

,

9

082979

,

0

778

,

58

5360

,

4

9684

,

57

3

2

1

3

2

1

3

2

1

A

A

A

A

A

A

A

A

A

Po rozwiązaniu układu równań otrzymuje się amplitudy drgań wymuszonych











=

−

=

−

=

m

A

m

A

m

A

00034217

,

0

0001047

,

0

0017702

,

0

3

2

1

pt

A

mp

q

m

B

i

i

cos

2

..

=

−

=

- siły bezwładności

Obliczenie amplitud siły bezwładności

i

i

A

mp

B

2

=

|B

1

|= 200·(-188,5

2

·

(-0,0017702)= -12579N= -12,6kN

|B

2

|= 100·188,5

2

·

(-0,0001047)= -372N= -0,4kN

|B

3

|= 100·188,5

2

·

(0,00034217)=1216N=1,2kN

Krzysztof Wójtowicz

Strona 6

Sprawdzenie naprężeń normalnych w przekroju

M

max

=1,2M

st

+5M

d

=1,2·6,9+5·1,05=13,5kNm

215MPa

165MPa

cm

kN

16,5

81,86

1350

W

M

2

max

<

=

=

=

Przekrój został dobrany właściwie