Politechnika Poznańska Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz
Instytut Konstrukcji Budowlanych Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka
Zakład Mechaniki Budowli
DYNAMIKA- UJĘCIE KLASYCZNE
P=10000N- amplituda siły wymuszającej
p=30Hz- częstotliwość siły wymuszającej
m
1
= 200kg
m
2
= 100kg
k=
EI
3
1
Krzysztof Wójtowicz
Strona 1
1) Dobranie
przekroju
F
1
=200kg ·9,81m/s
2
=1962N=1,962kN
F
2
=100kg ·9,81m/s
2
=981N=0,981kN
3
3
dop
dop
dop
68,7cm
m
0,00006867
100
0,006867
σ
M
W
σ
W
M
100MPa
σ
=
=
=
=
⇒
≤
=
Z tablic dobieramy I140
W=81,86cm
3
I=573cm
4
;
A=18,3cm
2
EI=1175kNm
2)Częstości i postacie drgań własnych
SSD=3
Równania ruchu
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
..
2
33
2
..
2
32
1
..
1
31
3
3
..
2
23
2
..
2
22
1
..
1
21
2
3
..
2
13
2
..
2
12
1
..
1
11
1
q
m
q
m
q
m
q
q
m
q
m
q
m
q
q
m
q
m
q
m
q
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
Krzysztof Wójtowicz
Strona 2
Obliczenie współczynników podatności
δ
ik
=
∑∫
∑
+
k
R
R
dx
EI
M
M
j
i
j
i
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
4
3
3
4
1
437
,
19
3
333
,
1
5
,
0
5
,
1
3
2
3
4
2
1
5
,
1
5
,
2
2
4
5
,
1
5
,
1
3
2
5
,
1
5
,
1
2
1
5
,
1
3
1
5
,
0
66
,
42
3
333
,
1
4
3
2
4
4
2
1
4
3
2
3
4
2
1
3
3
1
75
,
9
3
5
,
0
1
5
,
1
3
2
3
5
,
1
2
1
5
,
1
5
,
2
5
,
1
5
,
1
3
2
5
,
1
5
,
1
2
1
23
13
12
2
33
2
22
2
11
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
Krzysztof Wójtowicz
Strona 3
Po wstawieniu masy porównawczej m=m
2
⇒ m
1
=2m otrzymuje się:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
0
66
,
42
4
847
,
38
0
4
3
3
0
437
,
19
5
,
1
5
,
19
3
..
2
..
1
..
3
3
..
2
..
1
..
2
3
..
2
..
1
..
1
q
EI
m
q
EI
m
q
EI
m
q
q
EI
m
q
EI
m
q
EI
m
q
q
EI
m
q
EI
m
q
EI
m
q
Rozwiązanie przyjmuje się w postaci:
q
i
=A
i
sin
ω
t
⇒
sin
ω
A
q
2
i
..
−
=
(
ω
t)
Po podstawieniu do równań i obustronnym podzieleniu przez sin
ω
t otrzymuje
się
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
0
66
,
42
4
847
,
38
0
4
3
3
0
437
,
19
5
,
1
5
,
19
3
2
2
2
1
2
3
3
2
2
2
1
2
2
3
2
2
2
1
2
1
A
EI
m
A
EI
m
A
EI
m
A
A
EI
m
A
EI
m
A
EI
m
A
A
EI
m
A
EI
m
A
EI
m
A
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Podstawienie:
EI
mω
λ
2
=
=
−
+
−
−
=
−
−
+
−
=
−
−
−
0
)
66
,
42
1
(
4
847
,
38
0
4
)
3
1
(
3
0
437
,
19
5
,
1
)
5
,
19
1
(
3
2
1
3
2
1
3
2
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Otrzymany układ ma postać uogólnionego problemu własnego
Jest to układ równań jednorodnych , który posiada rozwiązanie gdy jego wyznacznik
główny równy jest 0.
1
λ
65,16
-
λ
242,78
+
λ
192,76
-
λ
42,66
1
λ
4
λ
38,847
λ
4
λ
3
1
λ
3
λ
19,437
λ
1,5
λ
19,5
1
et
2
3
+
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
d
Układ posiada rozwiązanie dla:
λ
1
=0,016327
ω
1
=13,85071 rad/s
λ
2
=0,359612
⇒
m
EI
λ
ω
⋅
=
ω
2
=65,00321 rad/s
λ
3
=0,883568
ω
3
=101,8917 rad/s
Dla poszczególnych wartości własnych otrzymujemy wektory własne. Ponieważ układ
równań jest układem równań jednorodnych niemożliwe jest obliczenie dokładnych
wartości amplitud, można znaleźć jedynie proporcje pomiędzy amplitudami
podstawiając np. dla
λ
1
= 0,016327 za A
1
=1 a następnie wybierając z układu dwa
równania i rozwiązując układ równań. Poniższe rozwiązania otrzymano korzystając z
programu do rozwiązywania uogólnionego problemu własnego.
1) Dla
λ
1
=0,016327 2)
Dla
λ
2
=0,359612 1)
Dla
λ
3
=0,883568
A
1
= 0,288096
A
1
= -0,122339
A
1
= -0,531238
A
2
= 0,057029
A
2
= 0,602644
A
2
= -0,265716
A
3
= 0,614381
A
3
= 0,058726 A
3
= 0,522533
Krzysztof Wójtowicz
Strona 4
Dla
ω
1
=13,85071 rad/s
Dla
ω
2
=65,00321 rad/s
Dla
ω
3
=101,8917
3) Obliczenie amplitudy drgań wymuszonych przez zadane obciążenie harmoniczne.
Znaleźć siły dynamiczne działające na układ, sporządzić obwiednię dynamicznych
momentów zginających oraz sprawdzić naprężenia normalne w przekroju zginanym.
P=10000N- amplituda siły wymuszającej
p=30Hz= 30·2
π
=188,5 rad/s- częstotliwość siły wymuszającej
m=m
2
=100kg
EI=1175kNm
Krzysztof Wójtowicz
Strona 5
Równania ruchu
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
)
(
)
(
)
cos
(
)
(
)
(
)
cos
(
)
(
)
(
)
cos
(
..
2
33
2
..
2
32
1
..
1
31
3
3
..
2
23
2
..
2
22
1
..
1
21
2
3
..
2
13
2
..
2
12
1
..
1
11
1
q
m
q
m
q
m
pt
P
q
q
m
q
m
q
m
pt
P
q
q
m
q
m
q
m
pt
P
q
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
pt
P
EI
q
EI
m
q
EI
m
q
EI
m
q
pt
P
EI
q
EI
m
q
EI
m
q
EI
m
q
pt
P
EI
q
EI
m
q
EI
m
q
EI
m
q
cos
437
,
19
66
,
42
4
847
,
38
cos
5
,
1
4
3
3
cos
75
,
9
437
,
19
5
,
1
5
,
19
3
..
2
..
1
..
3
3
..
2
..
1
..
2
3
..
2
..
1
..
1
Przyjmuje się rozwiązanie w postaci
q
i
=A
i
cos(pt)
⇒
cos
p
A
q
2
i
..
−
=
(pt)
Po podstawieniu do równań i obustronnym podzieleniu przez cos(pt) otrzymuje się
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
P
EI
p
A
EI
m
p
A
EI
m
p
A
EI
m
A
P
EI
p
A
EI
m
p
A
EI
m
p
A
EI
m
A
P
EI
p
A
EI
m
p
A
EI
m
p
A
EI
m
A
437
,
19
66
,
42
4
847
,
38
5
,
1
4
3
3
75
,
9
437
,
19
5
,
1
5
,
19
2
3
2
2
2
1
3
2
3
2
2
2
1
2
2
3
2
2
2
1
1
Po podstawieniu danych w jednostkach podstawowych
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
165421
,
0
0047
,
129
0961
,
12
4742
,
117
012766
,
0
0961
,
12
0721
,
9
0721
,
9
082979
,
0
778
,
58
5360
,
4
9684
,
58
3
2
1
3
3
2
1
2
3
2
1
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
165421
,
0
0047
,
128
0961
,
12
4742
,
117
012766
,
0
0961
,
12
0721
,
8
0721
,
9
082979
,
0
778
,
58
5360
,
4
9684
,
57
3
2
1
3
2
1
3
2
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Po rozwiązaniu układu równań otrzymuje się amplitudy drgań wymuszonych
=
−
=
−
=
m
A
m
A
m
A
00034217
,
0
0001047
,
0
0017702
,
0
3
2
1
pt
A
mp
q
m
B
i
i
cos
2
..
=
−
=
- siły bezwładności
Obliczenie amplitud siły bezwładności
i
i
A
mp
B
2
=
|B
1
|= 200·(-188,5
2
·
(-0,0017702)= -12579N= -12,6kN
|B
2
|= 100·188,5
2
·
(-0,0001047)= -372N= -0,4kN
|B
3
|= 100·188,5
2
·
(0,00034217)=1216N=1,2kN
Krzysztof Wójtowicz
Strona 6
Sprawdzenie naprężeń normalnych w przekroju
M
max
=1,2M
st
+5M
d
=1,2·6,9+5·1,05=13,5kNm
215MPa
165MPa
cm
kN
16,5
81,86
1350
W
M
2
max
<
=
=
=
Przekrój został dobrany właściwie