Politechnika Poznańska Poznań, dnia 24.04.2004 r.

Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli

Dynamika – ujęcie klasyczne Konsultacje:

Wykonał:

dr inż.

P.

Litewka

Piotr

Siniecki

grupa

III

2003/2004

Dynamika – ujęcie klasyczne

- 2 -

Dana jest belka o następujących parametrach m 1

m 2

m 3

k

2,00

2,00

3,00

2,00

gdzie:

m1 = 200 kg

m1 = m

m2 = 300 kg

m2 = 1,5 m

m3 = 150 kg

m3 = 0,75 m

k = 0,25 EI

..

..

..

-m

-m

1 q 1

-m 2q 2

3 q 3

2,00

2,00

3,00

2,00

SSD = 3

Zaprojektowanie przekroju pręta przy statycznym obciążeniu masami tak, aby maksymalne naprężenia były rzędu 100 MPa Przy obciążeniu belki siłami przyjmuję g = 10 m/s2

2 kN

3 kN

1,5 kN

2,00

2,00

3,00

2,00

Piotr Siniecki grupa III

2004-04-24

Dynamika – ujęcie klasyczne

- 3 -

Wykres momentów [kNm]

5,899

7,111

10,222

2,00

2,00

3,00

2,00

Mmax = 10,222 kNm = 1022,2 kNcm Dobieram przekrój dwuteowy

M ≤100 MPa

W

M

kN

≤ 10

2

W

cm

2

,

1022

kN

≤ 10

2

W

cm

3

W ≥

22

,

102

cm

Przyjmuję I 160 W = 117 cm3 I = 935 cm4 A = 22,8 cm2

2

,

1022 ≤100

117

36

,

87

MPa ≤ 100 MPa

Obliczam współczynniki podatności

q t

m q

m q

m q

1 ( )



•• 



•• 



•

•





= δ11 ⋅− 1 ⋅ 1  + δ12 ⋅− 2 ⋅ 2  + δ13 ⋅− 3 ⋅ 3 



















•

• 



•

•





•

•



q t

m q

m q

m q

2 ( ) = δ21 ⋅  −

1 ⋅

1  + δ22 ⋅  −

2 ⋅

2  + δ23 ⋅  −

3 ⋅

3 



















•

• 



•

•





•

•



q t

m q

m q

m q

3 ( ) = δ31 ⋅  −

1 ⋅

1  + δ32 ⋅  −

2 ⋅

2  + δ33 ⋅  −

3 ⋅

3 















Obliczanie współczynników δ

ik

δ

ik

∑∫Mi ⋅

=

Mk ⋅dx

EI

Piotr Siniecki grupa III

2004-04-24

Dynamika – ujęcie klasyczne

- 4 -

Stan “1”

1

k

49

7

1 1

2

9

1 5

9

9

9

2,00

2,00

3,00

2,00

Stan “2”

1

k

8

1 1

9

5

9

4

9

2 2

9

9

2,00

2,00

3,00

2,00

Stan “3”

1

k

49

8

2

7

9

9

1 5

9

9

2,00

2,00

3,00

2,00

1

5 2 5 1

5 2 5  2 2  1

δ ⋅EI = ⋅ 2 ⋅1 ⋅ ⋅1 + ⋅ 7 ⋅1 ⋅ ⋅1 +  ⋅  : = 45679

,

7

11

2

9 3 9 2

9 3 9  9 9  4

1

2 2

2 1

2 2

2  4 4  1

δ ⋅EI = ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 2 + ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 2 +  ⋅  : = 60494

,

15

22

2

9 3

9 2

9 3

9  9 9  4

1

5 2 5 1

5 2 5  7 7  1

δ ⋅EI = ⋅ 7 ⋅1 ⋅ ⋅1 + ⋅ 2 ⋅1 ⋅ ⋅1 +  ⋅  : = 67901

,

9

33

2

9 3 9 2

9 3 9  9 9  4

1

5 2 1 1

1  2 2 1 1  1

5  2 1 1 2 

δ ⋅EI = ⋅ 2 ⋅1 ⋅ ⋅1 + ⋅ 2 ⋅1 ⋅ ⋅ 2 + ⋅1  + ⋅ 2 ⋅1 ⋅ ⋅1 + ⋅ 2  +

12

2

9 3 9 2

9  3 9 3 9  2

9  3 9 3 9 

1

1 2

2  2 4  1

+ ⋅ 5 ⋅1 ⋅ ⋅ 2 +  ⋅  : = 02469

,

10

2

9 3

9  9 9  4

1

5 2 4 1

5  2 4 1 5  1

4  2 5 1 4 

δ ⋅EI = ⋅ 2 ⋅1 ⋅ ⋅ + ⋅ 5 ⋅1 ⋅ ⋅ + ⋅1  + ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅1 + ⋅  +

13

2

9 3 9 2

9  3 9 3 9  2

9  3 9 3 9 

1

4 2 5  2 7  1

+ ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅1 +  ⋅  : = 09877

,

6

2

9 3 9  9 9  4

1

2 2 8 1

2  2 8 1 5  1

8  2 5 1 8

δ ⋅EI = ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ ⋅ + ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ ⋅ + ⋅1  + ⋅ 3 ⋅ ⋅

⋅1





+ ⋅  +

23

2

9 3 9 2

9  3 9 3 9  2

9  3 9 3 9 

1

8 2 5  4 7  1

+ ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅1 +  ⋅  : = 41975

,

10

2

9 3 9  9 9  4

Piotr Siniecki grupa III

2004-04-24

Dynamika – ujęcie klasyczne

- 5 -



••

••

••



m ⋅ q

m

1

⋅ q

m

2

⋅

q1 + 45679

,

7

⋅

+ 03704

,

15

⋅

+ 57408

,

4

⋅

q3 = 0



EI

EI

EI



••

••

••



m ⋅ q

m

1

⋅ q

m

2

⋅ q

q

2 +

02469

,

10

⋅

+ 40741

,

23

⋅

+ 81481

,

7

⋅

3 = 0



EI

EI

EI



••

••

••



m ⋅ q

m

1

⋅ q

m

2

⋅

q3 + 09877

,

6

⋅

+ 62963

,

15

⋅

+ 25926

,

7

⋅

q3 = 0



EI

EI

EI



Jest to układ równań różniczkowych jednorodnych, który rozwiązujemy poprzez następujące podstawienie:

q = A ⋅

ω

i

i

(

sin t)

•q = ω⋅A ⋅cos ω

i

i

( t)

•

•q

2

= −ω ⋅ A ⋅

ω

i

i

(

sin t)

dzieląc wszystkie trzy równania przez sin(ωt) otrzymujemy:



m⋅ω2

m⋅ω2

m⋅ω2

A1 − 45679

,

7

⋅

⋅ A1 − 03704

,

15

⋅

⋅ A2 − 57408

,

4

⋅

⋅ A3 = 0



EI

EI

EI



m⋅ω2

m⋅ω2

m⋅ω2

A

2 −

02469

,

10

⋅

⋅ A1 − 40741

,

23

⋅

⋅ A2 − 81481

,

7

⋅

A3 = 0



EI

EI

EI



m⋅ω2

m⋅ω2

m⋅ω2

A3 − 09877

,

6

⋅

⋅ A1 − 62963

,

15

⋅

⋅ A2 − 25926

,

7

⋅

A3 = 0



EI

EI

EI

m ⋅ ϖ2

podstawiając

= λ otrzymujemy:

EI

(1− 45679

,

7

⋅ λ)⋅ A1 − 03704

,

15

⋅ λ ⋅ A2 − 4 57408

,

⋅ λ ⋅ A3 = 0

− 02469

,

10

⋅ λ ⋅ A

1 + (1 −

)

40741

,

23

⋅ λ ⋅ A2 − 81481

,

7

⋅ λA3 = 0

− 09877

,

6

⋅ λ ⋅ A1 − 62963

,

15

⋅ λ ⋅ A2 + (1− 25926

,

7

)⋅λA3 = 0

Korzystam z programu do obliczenia uogólnionego problemu własnego macierzy

(A−λ⋅B)⋅q=0

−

−

−

−

gdzie:

1 0 0

 45679

,

7

03704

,

15



57408

,

4





A = 0 1 0





B =

02469

,

10

40741

,

23

81481

,

7

−





−





0 0







1

 09877

,

6

62963

,

15

25926

,

7







Piotr Siniecki grupa III

2004-04-24

Dynamika – ujęcie klasyczne

- 6 -

Wartości własne macierzy:

λ1 = 02825

,

0

λ ⋅EI



ω =

λ

m

2 =

45853

,

0

λ

E = 205 GPa = 205 E9 N/m2

3 =

82170

,

1

I = 935 cm4 = 9,35 E-6 m4

EI = 1916750 N/m2

rad

ϖ = 45421

,

16

1

s

rad

ϖ = 29055

,

66

2

s

rad

ϖ =

13144

,

132

3

s

Wektory własne

q1 = (

;

52127

,

0

;

79904

,

0

55689

,

0

)

−

q2 = (−

;

56427

,

0

−

;

12776

,

0

07085

,

1

)

−

q3 = (−

;

00000

,

1

;

62755

,

0

− 55282

,

0

)

−

rad

I postać drgań ϖ =

45421

,

16

1

s

0,79904

0,52127

0,55689

k

rad

II postać drgań ϖ =

29055

,

66

2

s

1,07085

k

-0,12776

-0,56427

rad

III postać drgań ϖ =

13144

,

132

3

s

0,62755

k

-0,55282

-1,00000

Piotr Siniecki grupa III

2004-04-24

Dynamika – ujęcie klasyczne

- 7 -

Obliczenie amplitudy drgań wymuszonych przez zadane obciążenie harmoniczne, znalezienie sił dynamicznych działających na układ oraz sporządzenie obwiedni dynamicznych momentów zginających.

Pcos(pt)

m1

m2

m3

k

2,00

2,00

3,00

2,00

P = 12000 N

p = 36 Hz

rad

2 ⋅ π⋅36 Hz =

19

,

226

s





•• 



•• 



•• 

q

Pcospt m q

m q

m q

1 = δ11 ⋅ 

− 1 ⋅ 1  + δ12 ⋅− 2 ⋅ 2  + δ13 ⋅− 3 ⋅ 3 



















•• 



•• 



•• 

q

Pcospt m q

m q

m q

2 = δ21 ⋅ 

− 1 ⋅ 1  + δ22 ⋅− 2 ⋅ 2  + δ23 ⋅− 3 ⋅ 3 



















•• 



•• 



•• 

q

Pcospt m q

m q

m q

3 = δ31 ⋅ 

− 1 ⋅ 1  + δ32 ⋅− 2 ⋅ 2  + δ33 ⋅− 3 ⋅ 3 

















••

••

••



m⋅ q

m

1

⋅ q

m

2

⋅

q1 + 45679

,

7

⋅

+ 03704

,

15

⋅

+ 4 57408

,

⋅

q3 = 45679

,

7

⋅Pcospt



EI

EI

EI

EI



••

••

••



m⋅ q

m

1

⋅ q

m

2

⋅ q

02469

,

10

q

2 +

02469

,

10

⋅

+ 40741

,

23

⋅

+ 81481

,

7

⋅

3 =

⋅Pcospt



EI

EI

EI

EI



••

••

••



m⋅ q

m

1

⋅ q

m

2

⋅

q3 + 09877

,

6

⋅

+ 62963

,

15

⋅

+ 25926

,

7

⋅

q3 = 09877

,

6

⋅Pcospt



EI

EI

EI

EI



q = A ⋅cos

i

i

(pt)

•q = −p⋅A ⋅

i

i

(

sin pt)

••

q = p2

− ⋅ A ⋅

i

i

(

sin pt)

Piotr Siniecki grupa III

2004-04-24

Dynamika – ujęcie klasyczne

- 8 -

−

80735

,

38

⋅ A1 − 27377

,

80

⋅ A2 − 41828

,

24

⋅ A3 = 046684

,

0

− 51583

,

53

⋅ A

1 −

95818

,

123

⋅ A2 − 71860

,

41

⋅ A3 = 062761

,

0

− 55769

,

32

⋅ A1 − 43726

,

83

⋅ A2 − 75285

,

37

⋅ A3 = 038182

,

0

A1 = -1,53679 E-3 m

A2 = 2,01039 E-4 m

A1 = -1,30369 E-4 m

B = m

− ⋅ − ⋅

= −

1

( p2 A1)

725

,

15

kN

B = − 5

,

1 ⋅m⋅ − ⋅

=

2

( p2 A2) 086

,

3

kN

B = − 75

,

0

⋅m⋅ − ⋅

= −

1

( p2 A3)

000

,

1

kN

Ekstremalne wartości sił [kN]: 1,000

15,725

k

12,000

3,086

2,00

2,00

3,00

2,00

Obwiednia momentów dynamicznych [kNm]

2,782

0,372

k

1,885

2,00

2,00

3,00

2,00

Piotr Siniecki grupa III

2004-04-24

Dynamika – ujęcie klasyczne

- 9 -

Ponowne sprawdzenie zaprojektowanego przekroju.

M = 1,2 * Mst + 5 * Mdyn = 1,2 * 7,111 + 5 * 2,782 = 22,4432 kNm = 2244,32 kNcm M = 1,2 * Mst + 5 * Mdyn = 1,2 * 10,222 + 5 * 1,885 = 21,6914 kNm = 2169,14 kNcm Do obliczeń biorę większy moment.

M ≤215 MPa

W

M

kN

≤ 5,

21

W

cm2

32

,

2244

kN

≤ 5,

21

117

cm2

82

,

191

MPa ≤ 215 MPa

Obliczony wcześniej przekrój przeniesie zadane obciążenia.

Piotr Siniecki grupa III

2004-04-24