Obliczenie współrzędnych punktu za pomocą wcięcia kątowego w wstecz

Pojedyncze wcięcie wstecz polega na wyznaczeniu współrzędnych punktu wcinanego P na podstawie kątów: a₁ , a₂ na stanowisku P do trzech punktów A, B, C o znanych współrzędnych. Zadanie to ma tylko jedno rozwiązanie, ponieważ zawiera dwie obserwacje niezbędne do określenia dwu niewiadomych X_P, Y_P . Nazwa wcięcia pochodzi od nazw celowych, zwanych celowymi wewnętrznymi lub celowymi wstecz, które łączą stanowisko pomiarowe, którym jest szukany punkt P, z punktami znanymi.

Dla rozwiązania wcięcia opracowano bardzo wiele metod rachunkowych i graficznych.

Spośród nich do najbardziej znanych należą sposoby: Sneliusa-Pothenota(Kastnera), Delambrea, Collinsa, Ansermeta, Cassiniego a także inne, opisane szczegółowo w literaturze geodezyjnej. Rozwiązanie wcięcia wstecz sposobem klasycznym( sposobem Kastnera) znanym także jako zagadnienie Sneliuas_pothenota, polega na znalezieniu kątów pomocniczych: 𝞅, Ψ i sprowadzenie zadania do typowego wcięcia w przód, które dla kontroli można wyliczyć dwukrotnie z obu baz:AB=a oraz BC=b. Znajomość współrzędnych punktów A, B, C pozwala na obliczenie kąta ϒ (ABC), wyznaczenie długości: a=AB, b=BC i azymutów tych boków. Po wprowadzeniu oznaczeń: 𝞅 = PBA oraz Ψ=PCB na podstawie sumy kątów w czworoboku ABCP można napisać:

𝜶+β+ϒ+𝞅+Ψ= 400ᵍ stąd: 𝞅+Ψ=400ᵍ-( 𝜶+β+ϒ)

Celem dalszego postępowania prowadzącego do określenia wartości kątów 𝞅+Ψ jest wyznaczenie połowy różnicy tych kątów itd.

Wcięcie wstecz jest konstrukcją niewzynaczalną w przypadku, gdy na okręgu opisującym trójkąt utworzony przez punkty znane A, B, C zwanym okręgiem niebezpiecznym, znajduje się także wcinany punkt P.

Wcianany punkt B

Obliczenie azymutów A_P1A , A_P1P2, A_P2P1, A_AP1 ze współrzędnych.

A_P1A=50,77325717

A_P1P2=357,7127295

A_P2P1=199,2170676

A_AP1 = 250, 7666

$\frac{\varphi + \Psi}{2}$= 400ᵍ-(B1+B2+ Ʈ) = 97,2835

Ʈ=A_P1A-A_P1P2 = 93,0605

$\text{tg}\frac{\varphi - \Psi}{2}$=tg($\frac{\varphi + \Psi}{2}$)*tg(50-μ) arctg = 13,56302521

tgμ = $\frac{a*sinB2}{b*sinB1}$

𝞅=$\frac{\varphi + \Psi}{2} + \frac{\varphi - \Psi}{2}$= 110,8465252

Ψ=$\frac{\varphi + \Psi}{2} - \frac{\varphi - \Psi}{2}$= 83,72047479

A_AB=A_AP1+𝞅=361,6131252

A_P2B = A_P2P1 − Ψ = 115, 4965928

d_AB=$\frac{a*sin(a2 + a1 + B1)}{sinB1}$=25,03

d_BP1= 41,82

d_P2B= 53,05

ΔX_AB= d_AB * cosA_AB=21,03

ΔY_AB= d_AB * sinA_AB=-14,48

X_B = 1021,03

Y_B = 985, 52

Wcianany punkt A

Obliczenie azymutów A_P2B , A_P1P2, A_P2P1, A_BP2 ze współrzędnych.

A_P2B = 74,00957692

A_P1P2 = 357,7127295

A_P2P1 = 199,2170676

A_BP2 = 274,00957692

$\frac{\varphi + \Psi}{2}$= (400ᵍ-(a1+a2+ Ʈ))/2 = 102,663403247

Ʈ=A_P2P1-A_P2B = 83,7032

$\text{tg}\frac{\varphi - \Psi}{2}$=tg($\frac{\varphi + \Psi}{2}$)*tg(50-μ) arctg =49,58494868

tgμ = $\frac{b*sina2}{a*sina1}$ = 49,58494868

𝞅=$\frac{\varphi + \Psi}{2} + \frac{\varphi - \Psi}{2}$= 112,3751032

Ψ=$\frac{\varphi + \Psi}{2} - \frac{\varphi - \Psi}{2}$ = 93,04829675

A_P1A=A_P1P2+𝞅= 70,0878327

A_BA = A_BP2 − Ψ= 68,59090835

d_AP1=$\frac{a*sin(a2 + a1 + B1)}{sinB1}$=

d_AP2=

d_AB=

ΔX_AP1= d_AP1 * cosA_AP1=

ΔY_AB= d_AB * sinA_AB=

X_A =

Y_A=

Punkt B