Obliczenie współrzędnych punktu za pomocą wcięcia liniowego

Szukane:
P (X_P, Y_P)


Dane:
A (X_A, Y_A)
B (X_B, Y_B)

Pomierzone:
d_AP, d_BP

Chcąc obliczyć współrzędne punktu P na podstawie współrzędnych dwóch punktów A i B oraz pomierzonych długości boków AP oraz BP wykorzystujemy metodę wcięcia liniowego. W pierwszej kolejności wykonujemy szkic umieszczając punktu w układzie współrzędnych (Rys.1.).
Obliczamy przyrosty Δx_AB = X_B – X_A, Δy_AB = Y_B – Y_A, które są niezbędne do wyznaczenia azymutu* A_AB oraz długości* boku AB:

D_AB = $\sqrt{\text{Δx}\text{AB}2\ + \ \Delta y\text{AB}2}$

Odległości pomierzone w terenie:

P3-B=19,8m

P3-A=16,2m

Dab=25,51m

Współrzędne punktów; x,y

A= (1000.00, 1000.00) B=(1021.02, 985.54)

Po uzyskaniu ze współrzędnych długości odcinka AB(c=AB),można obliczyć wartości kątów 𝜶,β (oraz kąta ϒ- dla kontroli) na podstawie twierdzenia Carnota(cosinusów) w oparciu o znane długości boków trójkąta ABP.

cos 𝜶=$\frac{- a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2\text{bc}}$=$\frac{C_{a}}{2\text{bc}}$ cos 𝜶 = 0,6305444246 𝜶= 56,56633264ᵍ

cos β =$\frac{+ a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2\text{ac}}$=$\frac{C_{b}}{2\text{bc}}$ cos β = 0,7724838546 β = 43,802818ᵍ

cos ϒ =$\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2\text{ab}}$=$\frac{C_{c}}{2\text{bc}}$ cos ϒ= 0,005798572141 ϒ = 99,63084936 ᵍ

Kontrola: 𝜶+ β + ϒ = 200ᵍ

Dalej można postępować analogiczne do kątowego wcięcia w przód. Ja wykorzystam symbole rachunkowe Hausbrandta i oblicze współrzędnepunktu P w oparciu o wzór:

(X_P,Y_P )=$\left| \frac{X_{A}}{- 4P}\frac{Y_{A}}{C_{b}} \right|\left. \ \frac{X_{B}}{4P}\frac{Y_{B}}{C_{a}} \right|$

X_P=$\frac{X_{A}*C_{b} + Y_{A}*4P + X_{B}*C_{a} - Y_{B}*4P}{C_{a} + C_{b}}$ X_P= 1015,53

Y_P=$\frac{- X_{A}*4P + Y_{A}*C_{b} + X_{B}*4P + Y_{B}*C_{a}}{C_{a} + C_{b}}$ Y_P=1004,58

4P – poczwórne pole trójkąta ABP, które mozżna obliczyć na podstawie karnotianów ze wzoru:

4P=$\sqrt{C_{a}*C_{b} + C_{a}*C_{c} + C_{b}*C_{c}}$ 4P= 642,33

C_a=521,1601

C_b=782,3601

C_c=3,7199