Rozwiązywanie układów równań liniowych za pomocą wzorów Cramera

Układ n równań liniowych z n niewiadomymi ma postać

(*)

Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych x₁, x₂, ..., x_n nazywamy wyznacznikiem głównym i oznaczamy symbolem W:

.

Z wyznacznika W tworzymy n nowych wyznaczników W₁, W₂, ..., W_n w ten sposób, że zastępujemy odpowiednio pierwszą, drugą, ..., ostatnią jego kolumnę kolumną wyrazów wolnych.

Mogą zachodzić następujące przypadki:

1° W ≠ 0; wówczas układ (*) ma dokładnie jedno rozwiązanie

.

Wzory te nazywamy wzorami Cramera. W tym przypadku układ (*) jest oznaczony.

2° W = 0 oraz nie wszystkie wyznaczniki W_i (1 ≤ i ≤ n) są jednocześnie równe zeru. Wówczas układ (*) jest sprzeczny.

3° W = W₁ = W₂ =...= W_n = 0; wówczas układ (*) może być sprzeczny lub nieozna­czony. Sposób postępowania w tym przypadku podamy dalej.

Uwaga. Wszystkie rachunki wykonujemy na kalkulatorze ClassPad 300.

Przykład 1. Rozwiązać układ równań:

Obliczamy kolejno wyznaczniki

Zachodzi przypadek 1°, wobec tego

Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie: .

Sprawdzenie:

Przykład 2. Rozwiązać układ równań:

Obliczamy kolejno wyznaczniki

Ponieważ zachodzi przypadek 1°, więc układ jest oznaczony i ma dokładnie jedno rozwiązanie:

Sprawdzenie:

Przykład 3. Rozwiązać układ równań:

Ponieważ wyznacznik główny tego układu jest równy 0, zaś wyznacznik po x jest różny od 0:

więc stwierdzamy, że układ jest sprzeczny.

Sprawdzenie:

Szczególnym przypadkiem układu równań (*) jest układ równań liniowych jedno­rodnych, to jest układ postaci

(**)

Jeżeli wyznacznik główny układu (**) jest różny od zera, to układ ten ma tylko jedno rozwiązanie postaci x₁ = 0, x₂ = 0, ..., x_n = 0, które nazywamy rozwiązaniem zerowym.

W przeciwnym przypadku, tj. gdy W = 0, to układ (**) ma nieskończenie wiele rozwiązań, w tym rozwiązanie zerowe.

Przykład 4. Rozwiązać układ równań:

Obliczamy wyznacznik główny układu

Ponieważ W = 0, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Zauważmy, że minor jest różny od zera. Pomijamy więc trzecie równanie (nie zawiera elementów tego minora), a pozostałe dwa równania zapisujemy w następujący sposób:

.

Niewiadoma z zostaje tym samym potraktowana jak parametr, a obliczony minor staje się wyznacznikiem głównym nowego układu.

Ponieważ
są równe odpowiednio

więc

Sprawdzenie:

Podstawiając za z dowolne wartości otrzymujemy nieskończenie wiele rozwiązań (w tym rozwiązanie zerowe), na przykład

Przykład 5. Rozwiązać układ równań:

Obliczamy wyznacznik główny układu

Skoro wyznacznik główny układu jest równy 0, więc układ ma jedynie rozwiązanie zerowe.

---