„Matematyka podobna jest do 

wieży, której fundamenty 

położono przed wiekami, a do 

której dobudowuje się coraz 

wyższe piętra. Aby zobaczyć 

postęp budowy, trzeba iść na 

piętro najwyższe, a schody są 

strome i składają się z licznych 

stopni.”

Hugo Steinhaus.

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW 

RÓWNAŃ – METODA 

WYZNACZNIKÓW.

Z  tej  lekcji  dowiesz  się  w  jaki  sposób 
rozwiązać 

układ 

równań 

metodą 

wyznaczników. 

Jest 

to 

materiał 

wykraczający  po  za  podstawę  programową 
gimnazjum,  jednak  opisana  metoda  nie  jest 
wcale  trudna.  Opisaliśmy  tu  samą  metodę, 
bez  zagłębiania  się  w  teorię,  która  już  taka 
łatwa nie jest.

WYZNACZNIK STOPNIA 2.

Oto wyznacznik stopnia 2:

a, b, c, d – dowolne liczby.
Przykłady: 

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD 

RÓWNAŃ ZA POMOCĄ 

WYZNACZNIKÓW?

Przykład:
Rozwiąż układ równań:

Najpierw  tworzymy  i  obliczamy  tak  zwany 
wyznacznik  główny  W,  którego  pierwszą 
kolumnę  tworzą  współczynniki  stojące  przy 
x, a drugą współczynniki stojące przy y.

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ 

ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW?

Teraz  tworzymy  wyznacznik  W

x

  ,  wstawiając 

do  W  w  miejsce  współczynników  przy  x 
wyrazy wolne (oznaczone w układzie kolorem 

fioletowym

).

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ 

ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW?

Następnie  tworzymy  wyznacznik  W

y

  , 

wstawiając  do  W  w  miejsce  współczynników 
przy  y  wyrazy  wolne  (oznaczone  w  układzie 
kolorem 

fioletowym

).

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ 

ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW?

Mamy zatem:
W = -80, W

x 

= -320, W

y 

= 160.

Obliczamy niewiadome:

Rozwiązaniem  układu  równań  jest  para  liczb 
x = 4, y = -2.

WZORY.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2.

Dla ułatwienia porządkujemy układ równań tak, 
żeby x stały pod x, y pod y a wyrazy wolne pod 
wyrazami wolnymi.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2-ciąg dalszy.

Rozwiązaniem  tego  układu  równań  jest  para 

liczb 

x 

= 

2, 

y = 3.

WYZNACZNIK STOPNIA 3.

Wyznacznik  ten  obliczamy  tzw.  metodą  Sarrusa.  Dopisujemy 
pod wyznacznikiem dwa pierwsze wersy i mnożymy po skosie. 
Iloczyny 

od  lewej  do  prawej 

dodajemy,  a 

od  prawej  do  lewej 

odejmujemy.

WYZNACZNIK STOPNIA 3.

Przykład:
Oblicz wyznacznik

+ 

3 ∙ 1 ∙ 3 = 9

+ 

(-1) ∙ (-2) ∙ 1 = 2

+ 

4 ∙ 2 ∙ 2 = 16

- 

1 ∙ 1 ∙ 4 = 4

- 

2 ∙ (-2) ∙ 3 = -12

- 

3 ∙ 2 ∙ (-1) = -6

= 

=========  41

= 9 + 2 + 16 – 4 – (-12) – (-6) = 41

PRZYKŁAD.

Rozwiąż 

układ 

równań 

metodą 

wyznaczników.

W pierwszym równaniu nie ma z, a więc 
współczynnik przy tej niewiadomej jest 
równy 0.

= 3 + 0 + (-1) – 0 – 2 – (-3) = 3

= 0 + 0 + (-9) – 0 – 0 – (-12) = 
3

= 12 + 0 + 0 – 9 – 0 – 0 = 3

PRZYKŁAD.

= 9 + 0 + (-4) – 0 – 8 – (-9) = 6

Rozwiązaniem układu równań jest trójka liczb x 
= 1, y = 1, oraz z = 2.