„Matematyka podobna jest do

wieży, której fundamenty

położono przed wiekami, a do

której dobudowuje się coraz

wyższe piętra. Aby zobaczyć

postęp budowy, trzeba iść na

piętro najwyższe, a schody są

strome i składają się z licznych

stopni.”

Hugo Steinhaus.

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW

RÓWNAŃ – METODA

WYZNACZNIKÓW.

Z tej lekcji dowiesz się w jaki sposób
rozwiązać

układ

równań

metodą

wyznaczników.

Jest

to

materiał

wykraczający po za podstawę programową
gimnazjum, jednak opisana metoda nie jest
wcale trudna. Opisaliśmy tu samą metodę,
bez zagłębiania się w teorię, która już taka
łatwa nie jest.

WYZNACZNIK STOPNIA 2.

Oto wyznacznik stopnia 2:

a, b, c, d – dowolne liczby.
Przykłady:

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD

RÓWNAŃ ZA POMOCĄ

WYZNACZNIKÓW?

Przykład:
Rozwiąż układ równań:

Najpierw tworzymy i obliczamy tak zwany
wyznacznik główny W, którego pierwszą
kolumnę tworzą współczynniki stojące przy
x, a drugą współczynniki stojące przy y.

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ

ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW?

Teraz tworzymy wyznacznik W

x

, wstawiając

do W w miejsce współczynników przy x
wyrazy wolne (oznaczone w układzie kolorem

fioletowym

).

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ

ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW?

Następnie tworzymy wyznacznik W

y

,

wstawiając do W w miejsce współczynników
przy y wyrazy wolne (oznaczone w układzie
kolorem

fioletowym

).

JAK ROZWIĄZAĆ UKŁAD RÓWNAŃ

ZA POMOCĄ WYZNACZNIKÓW?

Mamy zatem:
W = -80, W

x

= -320, W

y

= 160.

Obliczamy niewiadome:

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb
x = 4, y = -2.

WZORY.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2.

Dla ułatwienia porządkujemy układ równań tak,
żeby x stały pod x, y pod y a wyrazy wolne pod
wyrazami wolnymi.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2-ciąg dalszy.

Rozwiązaniem tego układu równań jest para

liczb

x

=

2,

y = 3.

WYZNACZNIK STOPNIA 3.

Wyznacznik ten obliczamy tzw. metodą Sarrusa. Dopisujemy
pod wyznacznikiem dwa pierwsze wersy i mnożymy po skosie.
Iloczyny

od lewej do prawej

dodajemy, a

od prawej do lewej

odejmujemy.

WYZNACZNIK STOPNIA 3.

Przykład:
Oblicz wyznacznik

+

3 ∙ 1 ∙ 3 = 9

+

(-1) ∙ (-2) ∙ 1 = 2

+

4 ∙ 2 ∙ 2 = 16

-

1 ∙ 1 ∙ 4 = 4

-

2 ∙ (-2) ∙ 3 = -12

-

3 ∙ 2 ∙ (-1) = -6

=

========= 41

= 9 + 2 + 16 – 4 – (-12) – (-6) = 41

PRZYKŁAD.

Rozwiąż

układ

równań

metodą

wyznaczników.

W pierwszym równaniu nie ma z, a więc
współczynnik przy tej niewiadomej jest
równy 0.

= 3 + 0 + (-1) – 0 – 2 – (-3) = 3

= 0 + 0 + (-9) – 0 – 0 – (-12) =
3

= 12 + 0 + 0 – 9 – 0 – 0 = 3

PRZYKŁAD.

= 9 + 0 + (-4) – 0 – 8 – (-9) = 6

Rozwiązaniem układu równań jest trójka liczb x
= 1, y = 1, oraz z = 2.