1
Wyznaczanie rozwiązań układu równań liniowych
(układy typu Cramera)
Zakładamy, że układ równań liniowych AX = B ma rozwiązania, czyli rząd macierzy
współczynników A jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej [A|B]. Przyjmijmy, że układ ma
n niewiadomych (równań może być więcej niż n lub mniej niż n); oznaczmy ten wspólny rząd
obu macierzy literą r, czyli R(A) = R([A|B]) = r.
Mogą więc zachodzić dwa przypadki:
1° r = n, czyli liczba równań jest równa liczbie niewiadomych (bo rząd wynosi n, tyle ile
równań – to będą wiersze macierzy i tyle ile niewiadomych – bo to będą kolumny
macierzy współczynników); wtedy układ równań ma dokładnie jedno
rozwiązanie; taki układ nazywamy układem Cramera.
2° r < n, czyli liczba równań jest różna od liczby niewiadomych; wtedy układ ma
nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n
−
r parametrów, czyli zmiennych,
którym można nadawać dowolne wartości liczbowe.
Formalnie biorąc, rozwiązywanie układów równań liniowych, w tym również badanie
istnienia i jednoznaczności rozwiązań ( w obu przypadkach) sprowadza się do przeprowadzania
macierzy rozszerzonej układu [A | B] do postaci [ I | X ] i umiejętnego przeczytania tego re-
zultatu, gdzie I oznacza macierz jednostkową, X macierz, z której odczytujemy rozwiązania.
Ten sposób nazywa się metodą eliminacji Gaussa i wymaga wykonywania przekształceń ele-
mentarnych wyłącznie na wierszach macierzy.
Jeśli układ równań jest układem Cramera, to macierz A współczynników jest macierzą
kwadratową nieosobliwą (n równań o n niewiadomych oraz det A
≠
0).
Definicja
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych AX = B, w którym A
jest macierzą kwadratową nieosobliwą (n równań o n niewiadomych oraz det A
≠
0).
Twierdzenie
Układ Cramera A
⋅
X = B ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem X = A
-1
⋅
B .
2
Uzasadnienie
Załóżmy, że układ równań liniowych AX = B jest układem Cramera. To znaczy, że det A
≠
0.
Istnieje zatem macierz A
-1
odwrotna do A.
Rozumujemy: A
⋅
X = B,
mnożymy to równanie przez A
-1
i otrzymujemy kolejno:
A
-1
( A
⋅
X) = A
-1
⋅
B
(A
-1
⋅
A)X = A
-1
⋅
B
I
⋅
X = A
-1
⋅
B , ponieważ A
-1
⋅
A = I jest macierzą jednostkową.
Stąd X = A
-1
⋅
B.
Twierdzenie to pozwala rozwiązać układ Cramera wykorzystując pojęcie macierzy odwrotnej.
Twierdzenie
Rozwiązanie r = [r
1
, r
2
,… , r
n
] układu Cramera określają wzory: r
i
=
A
A
i
det
det
,
gdzie 1
≤
i
≤
n oraz A
i
jest macierzą powstałą z macierzy A, w której kolumnę o
numerze i zastąpiono kolumną wyrazów wolnych.
Twierdzenie to pozwala wyznaczyć wprost składowe wektora rozwiązań układu Cramera
wykorzystując pojęcie wyznacznika.
Ostatecznie układy Cramera można rozwiązywać trzema sposobami: metodą eliminacji
Gaussa, wykorzystując pojęcie macierzy odwrotnej, pojęcie wyznacznika.
Przykład
Rozwiąż układ równań
=
−
−
=
−
+
−
=
+
−
0
2
1
2
0
1
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
.
Mamy: A
3
=
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0
1
2
1
, [A
3
| B
3
] =
−
−
−
−
−
0
1
1
2
1
2
1
0
1
1
2
1
, X
3
=
z
y
x
, A
3
⋅
X
3
= B
3
.
3
Sposób I (metoda eliminacji Gaussa)
Macierz [A
3
| B
3
] =
−
−
−
−
−
0
1
1
2
1
2
1
0
1
1
2
1
przekształcamy stosując operacje elementarne wy-
konywane wyłącznie na wierszach tej macierzy. A więc kolejno:
w
1
’= w
1
+ 2w
2
, w
3
’= w
3
+ w
2
, w
3
’= w
3
−
2w
2
, w
1
’= w
1
+ w
3
, w
2
’= w
2
+ w
3
,
w
3
’=
3
1
w
3
, w
2
’= w
2
+ w
3
. Otrzymujemy:
−
3
1
1
0
0
3
1
0
1
0
0
0
0
1
.
Stąd otrzymujemy x = 0 , y =
3
1
, z =
−
3
1
. Zatem X
3
=
−
3
1
3
1
0
.
Sposób II (metoda przez odwracanie macierzy)
Dany układ równań A
3
⋅
X
3
= B
3
.
A
3
jest macierzą nieosobliwą, więc ma macierz odwrotną
1
3
−
A
. Stąd X
3
=
1
3
−
A
. B
3
.
Wyznaczamy macierz
1
3
−
A
=
1
1
1
2
2
1
0
1
2
1
−
−
−
−
−
(w sposób opisany w paragrafie
Macierz
odwrotna):
1
3
−
A
=
1
1
1
2
2
1
0
1
2
1
−
−
−
−
−
=
3
1
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0
1
2
1
=
3
1
−
−
−
−
−
1
3
2
2
3
4
3
3
3
.
X
3
=
1
3
−
A
. B
3
=
3
1
−
−
−
−
−
1
3
4
2
3
4
3
3
3
.
−
0
1
1
=
3
1
−
1
1
0
=
−
3
1
3
1
0
.
Mamy rozwiązanie: X
3
= [ 0 ,
3
1
,
−
3
1
]
Sposób III (metoda wyznaczników)
4
det A
3
= det
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0
1
2
1
= 3 , det A
x
= det
−
−
−
−
−
1
1
0
2
1
1
1
2
1
= 0,
det A
y
= det
−
−
−
1
0
2
2
1
0
1
1
1
= 1, det A
z
= det
−
−
−
0
1
2
1
1
0
1
2
1
=
−
1.
Zgodnie z cytowanym wyżej twierdzeniem mamy rozwiązanie:
X
3
= [ 0 ,
3
1
,
−
3
1
].
Ćwiczenia
1. Rozwiąż układ równań wykorzystując wzory Cramera.
a)
=
+
+
=
+
+
−
=
+
−
18
5
2
5
4
3
7
3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
, b)
=
+
+
+
−
=
+
−
+
=
+
−
+
=
−
+
0
6
4
1
2
1
7
8
4
0
3
2
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
z
y
x
.
2. Rozwiąż układ równań wykorzystując pojęcie macierzy odwrotnej.
a)
=
+
=
−
5
3
2
2
7
y
x
y
x
, b)
=
+
+
=
+
=
+
12
6
10
2
6
4
2
5
z
y
x
y
x
y
x
.
3. Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa.
a)
=
+
+
=
+
−
−
=
+
−
3
3
3
2
12
4
1
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
, b)
=
−
+
=
−
+
=
+
−
−
=
+
+
+
1
2
13
2
0
10
p
v
t
p
z
v
p
z
v
t
p
z
v
t
.
4. Wyznacz takie wartości parametru p, aby układ był układem Cramera.
a)
=
−
=
−
7
2
3
3
6
2
y
x
p
y
x
p
, b)
=
−
+
+
=
+
−
+
=
+
+
−
0
)
1
(
3
3
0
3
)
1
(
3
0
3
3
)
1
(
z
p
y
x
z
y
p
x
z
y
x
p
.
5
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
sciaga rozwiazywanie ukladow rownan liniowych za pomoca wzorow cramera, Matematyka
Rozwiązywanie układów równań
Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
4 Metody numeryczne rozwiązywania układów równań2
Rozwiazywanie ukladow rownan liniowych
matematyka, Roz uk równań wyznaczników m, Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników
Macierzowe metody rozwiązywania układów równań, t2d
Macierzowe metody rozwiązywania układów równań, 3
Rozwiązywanie układów równań liniowych
rozwiązywanie układów równań liniowych spr, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, sem III, sprawka,
Rozwiązywanie układów równań metodą graficzną
matematyka, Roz uk równań wyznaczników, Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników
Rozwiazywanie ukladów rownan liniowych W11
Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników
Macierzowe metody rozwiązywania układów równań okładka
więcej podobnych podstron