1. Test t-Studenta (hipotezy, statystyka, wnioskowanie)

H0 :   αk = 0	parametr ∝k nieistotnie różni się od zera, tj. zmienna objaśniająca Xk statystycznie nieistotnie wpływa na zmienną objaśnianą Y
H1 :   αk ≠ 0	parametr ∝k istotnie różni się od zera, tj. zmienna objaśniająca Xk statystycznie istotnie wpływa na zmienną objaśnianą Y

Wartość statystyki z próby t_αk wyznacza się na podstawie wzoru:

$$t_{\alpha_{k}} = \frac{\alpha_{k}}{S(\alpha_{k})}$$

gdzie:

α_k −  ocena parametru α_k

S(α_k) − sredni blad resztowy parametru α_k

Wartość krytyczną testu t_{α,    N − k − 1} odczytuje się z tablic rozkładu przy poziomie istotności α i (N-k-1) liczbie stopni swobody. Rozkład prawdopodobieństwa statystyki t-Studenta jest obustronny.

|tαk| ≥ tα,    N − k − 1	Przy poziomie istotności α odrzucam hipotezę zerową H0 na korzyść hipotezy alternatywnej H1, co oznacza, że parametr αk stojący przy zmiennej Xk istotnie różni się od zera, czyli zmienna objaśniająca Xk istotnie wpływa na zmienną objaśnioną Y.
|tαk| < tα,    N − k − 1	Przy poziomie istotności α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerową H0, co oznacza, że parametr αk stojący przy zmiennej Xk nieistotnie różni się od zera, czyli zmienna objaśniająca Xk nieistotnie wpływa na zmienną objaśnioną Y.

1. Test F (hipotezy, statystyka, wnioskowanie, wybór stopnia wielomianu trendu)

H₀  :  σ₁² =  σ₂²

H₁  :  σ₁² >  σ₂²

$$F = \ \frac{\text{Se}_{1}^{2}}{\text{Se}_{2}^{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sim F_{\alpha,\ r_{1},r_{2}}$$

gdzie

α – poziom istotności

r₁ = n₁ – K₁ – 1

r₂ = n₂ – K₂ – 1

K – ilość parametrów danego trendu

n – liczba obserwacji danego trendu

Se₁² - wariancja resztowa dla modelu I

Se₂² – wariancja resztowa dla modelu II

F_{α,  r1, r2}- wartość krytyczna statystyki odczytana z tablic testu Fishera Snedecora dla poziomu istotności α oraz dla r₁ i r₂ stopni swobody

F < Fα,  r1, r2	Przy poziomie istotności α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0­. Przy przejściu od modelu trendu _____ (podajemy trend z modelu I) do modelu trendu _____ (podajemy trend z modelu II) nie nastąpił istotny spadek wariancji, a zatem modele I i II są równie dobre, więc wybieramy model prostszy (model I).
F ≥ Fα,  r1, r2	Przy poziomie istotności α odrzucamy hipotezę H0­ na korzyść hipotezy H1. Przy przejściu od modelu trendu _____ (podajemy trend z modelu I) do modelu trendu _____ (podajemy trend z modelu II) nastąpił istotny spadek wariancji. Model II charakteryzuje się istotnie mniejszą wariancją.

Wybór stopnia wielomianu trendu

1. Za pomocą testu t-Studenta sprawdzamy istotność parametrów dla modelu trendu liniowego, kwadratowego i sześciennego. Do dalszego badania bierzemy tylko te trendy, w których parametr stojący przy najwyższej zmiennej czasowej jest istotny statystycznie.

2. Badamy czy istotnie spadła wariancja składnika resztowego, kiedy przechodzimy do modelu jednego trendu do drugiego. Zaczynamy od najmniejszego do największego.

3. Liczymy statystykę testu i porównujemy ją z wartością krytyczną, którą pobieramy z dystrybuanty rozkładu F. Rozkład F jest jednostronny.

Aby można było przeprowadzić test musi być niezależność 2 prób (milczące założenie).

1. Jeżeli odrzucamy H₀ to badamy test w następującej kolejności: liniowy z kwadratowym, kwadratowy z sześciennym, liniowy z sześciennym.

1. Test DW (hipotezy, statystyka, wnioskowanie)

H₀ :  ρ = 0 (brak autokorelacji I rzędu składnika losowego)

H₁ : ρ ≠ 0 (autokorelacja I rzędu składnika losowego)

Jeżeli:

DW ∈   < 0; 2 >     to H₁ : ρ > 0 – autokorelacja dodatnia;

DW ∈ (2; 4 >       to H₁ : ρ < 0 – autokorelacja ujemna.

$$\text{DW} = \ \frac{\sum_{t = 2}^{T}{{\ (e}_{t}{- e}_{t - 1})}^{2}}{\sum_{t = 1}^{T}e_{t}^{2}}$$

gdzie:

e_t −  reszty modelu z okresu t 

e_t − 1 − reszty modelu z okresu t − 1

Tablice statystyczne są od <0,2> dlatego stosujemy tablicę pomocniczą DW* = 4 - DW

Jeżeli DW, DW* > d_U, wówczas nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H₀, stwierdza sie brak autokorelacji I rzędu składnika losowego.

Jeżeli d_L < DW, DW* ≤ d_U, stwierdza się obszar niekonkluzywności, test nie daje odpowiedzi, należy zastosować testy alternatywne do rozstrzygnięcia hipotez (test PACF, test mnożnika Lagrange'a, test Ljunga-Boxa).

Jeżeli DW, DW* ≤ d_L, wówczas odrzuca się hipotezę zerową H₀ na rzecz hipotezy alternatywnej H₁, mówiącej o występowaniu autokorelacji I rzędu składnika losowego.

Występowanie autokorelacji jest błędem specyfikacji modelu i jest zjawiskiem niepożądanym. Przyczyną występowania autokorelacji dodatniej jest na ogół uwzględnienie zbyt małej liczby zmiennych objaśniających w modelu, natomiast przyczyną autokorelacji ujemnej jest uwzględnienie zbyt dużej liczby zmiennych objaśniających. Autokorelację może też powodować błędna postać analityczna modelu lub niewłaściwa transformacja zmiennych objaśniających.

Jeśli występuje to nie jest spełnione założenie KMNK, że zmienne objaśniające są nielosowe i tym samym nie są skorelowane ze składnikiem losowym.

Służy tylko do korelacji I rzędu.

Nie zawsze możliwe jest uzyskanie statystyki.

Występuje obszar niekonkluzywny.

Nie możemy go stosować, gdy wśród zmiennych jest zmienna objaśniona opóźniona w czasie.

1. Test Quenouille’a (hipotezy, statystyka, wnioskowanie)

Jest to de facto test t-studenta dla współczynników autokorelacji cząstkowej.

Hipotezy:

H₀ :  φ_ττ = 0

H₁ :  φ_ττ ≠ 0

Sprawdzianem powyższej hipotezy jest statystyka t postaci:

$$t = \frac{\varphi_{\text{ττ}}}{S(\varphi_{\text{ττ}})}\ $$

Błąd standardowy współczynnika autokorelacji cząstkowej wynosi:

$$S\left( \varphi_{\text{ττ}} \right) = \frac{1}{\sqrt{n}}$$

Porównujemy to z:

$$\varphi_{\text{ττ}}\ \geq \frac{z_{\alpha}}{\sqrt{n}}$$

n − liczebnosc proby

z_α − wartosc krytyczna z dystrybuanty rozkladu normalnego przy poziomie α

Przy poziomie istotności α odrzucamy hipotezę zerową H₀, na korzyść hipotezy alternatywnej H₁. Współczynnik autokorelacji rzędu τ jest statycznie istotny.

Jeżeli zaś

$$\varphi_{\text{ττ}} < \frac{z_{\alpha}}{\sqrt{n}}$$

Przy poziomie istotności α nie ma podstaw do odrzucenia H₀. Następuje zanikanie autokorelacji cząstkowej, rząd modelu AR nie będzie większy od τ.

1. Test Ljunga-Boxa (hipotezy, statystyka, wnioskowanie)

Test Boxa-Ljunga (autokorelacja dowolnego rzędu)

$$H_{0}:\ \bigwedge_{i}^{}{\rho_{i} = 0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{brak}\ \text{autokorelacji})$$

$$H_{1}:\ \bigvee_{i}^{}{\rho_{i} \neq 0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (be\text{dziemy}\ \text{mieli}\ "\mathrm{model\ AR\ rzedu\ p"}\ \text{albo}\ "\mathrm{model\ MA\ rzedu\ p"})$$

$$Q^{'} = \text{LB} = \ T\left( T + 2 \right)\sum_{i = 1}^{p}\frac{\rho_{i}^{2}}{T - i}$$

Gdzie:

T – liczba obserwacji

ρ_i – współczynnik autokorelacji rzędu i

i – rząd opóźnienia autoregresyjnego

e_t – reszty dowolnego modelu

e_t-i – reszty okresu opóźnione o i

$$r_{j} = \ \frac{\sum_{t = j + 1}^{T}{e_{t}e_{t - i}}}{\sum_{t = 1}^{T}e_{t}^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i} \leq p$$

Q^′ ∼ χ²(p)

Statystyka Q' ma rozkład zgodny ze statystyką χ² o p stopniach swobody.

Jeżeli Q^′ ≥ χ²(p), wówczas odrzuca się hipotezę zerową H₀ na rzecz hipotezy alternatywnej H₁. Występuje autokorelacja p rzędu składnika losowego.

Jeżeli Q^′ < χ²(p), to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H₀, autokorelacja badanego rzędu nie występuje.

1. Model trendu (hipoteza modelowa, zapisanie otrzymanego modelu)

$$P_{t} = \sum_{j = 0}^{r}{\alpha_{j}t^{j}}$$

gdzie:

t − zmienna czasowa przyjmujaca wartosci t = 1, 2, …, n ;

        jest przyjmowana wtedy,  gdy nie mamy zadnych informacji jaka jest postac trendu

r − stopien wielomianu trendu

α_j − parametry modelu trendu

W zależności od parametru r, hipotezy modelowe przyjmują postać:

r = 0      to Y_t = α₀ + η_t      − trend nie wystepuje

r = 1     wtedy Y_t = α₀ + α₁t + η_t     − trend liniowy

r = 2     wtedy Y_t = α₀ + α₁t + α₂t² + η_t     − trend kwadratowy

r = 3     wtedy Y_t = α₀ + α₁t + α₂t² + α₃t³ + η_t      − trend trzeciego stopnia

1. Model sezonowości (hipoteza modelowa, zapisanie otrzymanego modelu, wskaźniki sezonowości)

$$S_{t} = \sum_{k = 1}^{m}{d_{k}Q_{\text{kt}}}$$

Gdzie:

d_k – parametry modelu sezonowości oznaczające o ile wartość zjawiska odchyla się od poziomu średniego, wyłącznie z tytułu wahań sezonowych,

Σd_k = 0 – co oznacza, że wahania sezonowe w skali roku wznoszą się wzajemnie,

m – liczba podokresów w roku,

Q_kt – zmienna zero-jedynkowa przyjmująca wartość jeden zawsze w okresie gdy (t-k) dzieli się bez reszty przez m i zero w pozostałych okresach,

$$Q_{\text{kt}} = \ \left\{ \begin{matrix} 1 - zjawisko\ wystepuje - zmienna\ zerojedynkowa \\ 0 - nie\ wystepuje\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ $$

Hipoteza modelowa:

Model sezonowości kwartalnej ma następującą postać:

S_t= d₁Q_1t + d₂Q_2t + d₃Q_3t + d₄Q_4t

Model sezonowości kwartalnej bez stałej:

Y_t = d₁Q_1t + d₂Q_2t + d₃Q_3t + d₄Q_4t + η_t

Model sezonowości kwartalnej ze stałą ma następującą postać:

Y_t = α₀ + d₁Q_1t + d₂Q_2t + d₃Q_3t + d₄Q_4t + η_t

Model sezonowości kwartalnej ze stałą i trendem liniowym ma postać:

Y_t = α₀ + α₁t + d₁Q_1t + d₂Q_2t + d₃Q_3t + d₄Q_4t + η_t

Wskaźniki sezonowości:

1. dodajemy zmienne sezonowe (wersja ze stałą)

2. dodajemy zmienne sezonowe bez stałej

   1. tutaj wychodzą duże współczynniki, bowiem stała znalazła się w parametrach

3. tworzymy nowe zmienne, tzw. oczyszczone wskaźniki sezonowości

   1. najbardziej korzystne

1. Model AR(p) (hipoteza modelowa, zapisanie otrzymanego modelu)

$$Y_{t} = \ \propto_{1}Y_{t - 1} + \propto_{2}Y_{t - 2} + \ldots + \propto_{p}Y_{t - p} + \ \varepsilon_{t}\ = \ \sum_{i = 1}^{P}{\propto_{i}Y_{t - i} + \ \varepsilon_{t}}$$

Gdzie:

p- rząd autoregresji, czyli maksymalne opóźnienie zmiennej objaśnianej,

α₁,α₂,α₃,...,α_p – parametry modelu autoregresyjnego

ε_t - proces resztowy (biały szum)

Podstawiając do równania odpowiednio p=1, p=2, p=3 otrzymujemy:

• proces autoregresji pierwszego rzędu (p=1) Y_t =  ∝₁Y_t − 1 +  ε_t

• proces autoregresji drugiego rzędu (p=2) Y_t =  ∝₁Y_t − 1 + ∝₂Y_t − 2 +  ε_t

• proces autoregresji trzeciego rzędu (p=3) Y_t =  ∝₁Y_t − 1 + ∝₂Y_t − 2 + ∝₃Y_t − 3 +  ε_t

1. Procedura budowy modelu zgodnego (hipoteza modelowa, zapisanie modelu końcowego)

$$Y_{t} = \ m_{t} + \ \sum_{s = 1}^{q}{\beta_{s}Y_{t - S}} + \ \sum_{s = 0}^{P}{\alpha_{s}X_{t - S} + \ \varepsilon_{t}}$$

Gdzie:

 m_t- wartość średnia procesu, która może przybierać postać: $\left\{ \begin{matrix} m_{t} = \text{const} \\ m_{t} = \ P_{t} \\ m_{t} = \ S_{t} \\ m_{t} = \ P_{t}{+ S}_{t} \\ \end{matrix} \right.\ $

Y_t, Y_t − S- proces endogeniczny w czasie bieżącym (t) i w czasie opóźnionym (t-s)

X_t − S, X_t - proces egzogeniczny w czasie bieżącym (t) i w czasie opóźnionym (t-s)

ε_t - składnik losowy, biały szum

Etapy specyfikacji dynamicznego liniowego modelu zgodnego dla procesów niestacjonarnych w wartości średniej:

1. Badanie struktury wewnętrznej procesów

   1. Wyodrębnienie trendu

   2. Wyodrębnienie składnika sezonowego

   3. Ustalenie rzędu opóźnień poszczególnych procesów

2. Sformułowanie zgodnego modelu zawierającego max stopień wielomianu trendu, sezonowość oraz max rząd autoregresji dla każdego procesu

3. Oszacowanie postaci pierwotnej modelu zgodnego uwzględniającej wszystkie wyspecyfikowane składniki

4. Weryfikacja modelu na podstawie badania istotności zmiennych oraz własności reszt (nie powinny zawierać autokorelacji)

5. Interpretacje ocen parametrów strukturalnych oraz ocena dopasowania modelu

1. Błędy ex ante i ex post (wzory, interpretacja)

Błędy ex ante (dopuszczalność prognozy)

– informują o spodziewanej wielkości odchyleń rzeczywistych wartości zmiennej prognozowanej od prognoz

D = y_TP − Y_T = y_TP − E(Y_T)

• Błąd predykcji – błąd bezwzględny

- wariancja predykcji

- błąd średni predykcji

Interpretacja –w okresie prognozowanym rzeczywiste wartości zmiennej prognozowanej będą się różnić od wartości prognoz średnio o +/- V_T

• Względny błąd predykcji

Interpretacja : - prognoza dopuszczalna (V_g*=5-10%)

Błędy ex post (trafność prognozy)

– informują o rzeczywistej różnicy między rzeczywistymi wartościami zmiennej prognozowanej (realizacje) a prognozami

δ_T = y_T − y_TP

• Średni błąd predykcji ME – błąd bezwzględny

ME>0 prognozy niedoszacowane

ME<0 prognozy przeszacowane

Wada: Dodatnie i ujemne błędy się redukują.

• Średni absolutny błąd predykcji MAE

Mówi o różnicach absolutnych

• Błąd średniokwadratowy MSE

Wyznaczany i analizowany w celu umożliwienia wstępnej oceny, czy wariancja błędu prognozy jest stała, czy zmienia się w czasie.

Nie ma interpretacji.

• Pierwiastek błędu średniokwadratowego

Interpretacja – rzeczywiste wartości zmiennej prognozowanej w całym okresie prognozowanym różniły się średnio od wyznaczonych prognoz o RMSE

• Średni błąd procentowy MPE

- prognozy trafne

Różnica wyrażona procentowo

• Średni absolutny procentowy (względny) błąd prognoz

Pozwala na porównywanie prognoz. Przedział od 0 do 200.

• Współczynnik Janusowy

J=0 rząd dokładności predykcji jest równy rzędowi dokładności modelu w próbie,

J>1 dezaktualizacja modelu

• Współczynnik Theila

,

– w okresie prognozowanym przeciętny względny błąd predykcji wyniósł I

Im mniejszy, tym bardziej trafna prognoza. Ograniczony przez 0 z lewej. Z prawej nieograniczony -> nie możemy porównywać z modelami.

I²= I₁² +  I₂² +  I₃²

$I^{2} = \ \frac{(\overline{y} - \overline{y_{\text{TP\ }}})}{\frac{1}{h}*\sum_{T = n + 1}^{n + h}{y}_{T}}$ + $\frac{(S - S_{\text{TP}})}{\frac{1}{h}*\sum_{T = n + 1}^{n + h}{y}_{T}}$ + $\ \frac{2*S*S_{\text{TP}}*\left( 1 - r \right)}{\frac{1}{h}*\sum_{T = n + 1}^{n + h}{y}_{T}}$

S –odchylenie standardowe

r – współczynnik korelacji

I₁² - obciążoność predykcji

I₂² - niedostateczna elastyczność/wahania

I₃² - niedostateczna zgodność

1. Prognoza przedziałowa (zapis, interpretacja)

Przedział liczbowy, w którym z zadanym prawdopodobieństwem zawiera się nieznana wartość zmiennej objaśnianej Y w okresie T.

Założenie! zmienna prognozowana ma rozkład normalny, z prawdopodobieństwem 1-α można sądzić, że rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej będzie w przedziale:

średni błąd predykcji (miara ex ante)

wartość dystrybuanty rozkładu normalnego odpowiadająca wiarygodności , odczytujemy ją z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego (dla ).

1. Założenia predykcji na podstawie modelu ekonometrycznego

1. Dysponujemy modelem ekonometrycznym (oszacowanym, oszacowane parametry struktury stochastycznej, określone dopasowanie modelu)

2. Struktura opisywania przez model zjawisk jest stabilna w czasie

   • nie zmieniają się postaci (analityczne) modelu w okresie próby

   • nie zmieniają się parametry strukturalne modelu

3. Znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowania (X_T)

W okresie próby:

$$Y_{t} = \sum_{i = 1}^{k}{\alpha_{i}X_{\text{it}} + \eta_{t}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t = \{ 1,\ 2,\ \ldots,\ n\}$$

W okresie prognozowanym:

$$Y_{T} = \sum_{i = 1}^{k}{\alpha_{i}X_{\text{iT}} + \eta_{T}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T = \{ n + 1;n + 2;\ldots;n + k\}$$

1. Rozkład składnika losowego jest stabilny w czasie

   • gdy nie jest, a zmiany są regularne i niewielkie, to dają się opisać

   • gdy są nieregularne i duże, to nie dają się opisać

2. Dopuszczalność ekstrapolacji modelu poza obserwowany w próbie obszar zmienności zmiennych objaśniających

13. Modele adaptacyjne

• Metoda średniej ruchomej

- wygładzenie szeregu czasowego (metoda mechaniczna) –zastąpienie rzeczywistych wartości szeregu średnimi arytmetycznymi

Założenia : (brak trendu, brak sezonowości)

- poziom wartości zmiennej prognozowanej prawie stały, z niewielkimi odchyleniami losowymi (wahania przypadkowe)

- brak tendencji rozwojowej , wahań sezonowych i cyklicznych

k- stała wygładzania, czyli liczba wyrazów średniej ruchomej (k=10-15 dla danych dziennych, k=3-5 dla miesięcznych)

k=1 – model naiwny, y_Tp = y_t-1

Do wyznaczenia liczby wyrazów średniej ruchomej używa się średni kwadratowy błąd prognozy ex post ( wyraża odchylenia prognoz wygasłych od wartości zmiennej prognozowanej):

, delta = √MSE

n- liczba wyrazów szeregu czasowego zmiennej prognozowanej

Prognozy :

y_Tp = $\frac{1}{k}$ $\sum_{i = t - k}^{t - 1}y_{i}$

Wady:

- nie ma zasady: im starsza informacja tym bardziej istotna

- wadą tych modeli jest potrzeba, przy dużej wartości parametru , przechowywania dużej niekiedy liczby danych. W praktyce najmniejsze błędy prognoz daje średnia z 12 i więcej obserwacji.

- nadawanie tych samych wag (jednostkowych) wszystkim  wartościom zmiennej prognozowanej, na których podstawie wyznacza się prognozę (nowsze dane zawierają bardziej aktualne informacje o prognozowanym zjawisku, zatem powinny być im nadawane relatywnie większe wagi niż obserwacjom starszym – postulat postarzania informacji).

Zalety:

• Model Browna (prosty model wygładzania wykładniczego)

Założenia : (brak trendu, brak sezonowości)

- prawie stały poziom zmiennej prognozowanej, wahania przypadkowe

Prognozy:

y*_t = αy_t-1 + (1-α)y*_t-1 , gdzie α(0;1], α- parametr wygładzania

lub y*_t=y*_t-1 + αq_t-1 , gdzie q_t-1=y_t-1-y*_t-1

y*₁=y₁

Wady:

Zalety:

• Model Holta

Założenia : (występuje trend, nie ma sezonowości, występują nagłe nieregularne odchylenia)

- występuje trend i wahania przypadkowe

F_t-1 = αy_t-1 + (1-α)(F_t-2 + T_t-2) ,α,β[0;1]

T_t-1 = β(F_t-1- F_t-2) + (1-β)T_t-2

F _t-1 = wygładzona wartość zmiennej prognozowanej na okres t-1 ; F₁=y₁

T_t-1 = wygładzona wartość przyrostu trendu na okres t-1 ; T₁= y₂-y₁

Prognoza :

Y*_t = Fn + (t-n)Tn , gdy t>n (gdy wychodzimy poza próbę) ; y*₁=y₁

MIN- średni kwadratowy błąd prognoz wygasłych

Wady:

Zalety:

• Model Wintersa

Założenia :

- występuje trend, wahania sezonowe i wahania przypadkowe

• Wersja addytywna (amplituda wahań stała, taka sama)

F_t-1 = α(y_t-1 – S_t-1-r) + (1-α)(F_t-2 + T_t-2) , α,β,γ[0;1]

T_t-1 = β(F_t-1 – F_t-2) + (1-β)T_t-2

S_t-1 = γ(y_t-1 – F_t-1) + (1-γ)S_t-1-r

F- ocena wartości średniej ;F₁=y₁ –średnia z wartości w pierwszym cyklu

T- ocena przyrostu trendu ;T1=y₂-y₁ – różnica średnich wyznaczonych dla drugiego i pierwszego okresu cyklu

S- ocena wskaźnika sezonowości; średnia różnic odpowiadających tej samej fazie cyklu wartości zmiennej prognozowanej i wygładzonych wartości trendu

r- długość cyklu sezonowego (np.dla danych miesięcznych r=12)

Prognoza:

y*_t = Fn+ (t-n)Tn + S_t-r

MIN- średni kwadratowy błąd prognoz wygasłych

• Wersja multiplikatywna (amplituda wahań zmienia się z okresu na okres)

F_t-1 = α$\frac{y_{t - 1}}{s_{t - 1 - r}}$ + (1-α)(F_t-2 + T_t-2)

T_t-1 = β(F_t-1-F_t-2) + (1-β)T_t-2

S_t-1 = γ$\ \frac{y_{t - 1}}{F_{t - 1}}$ + (1-γ)S_t-1-r

Prognoza:

y*_t = (Fn + (t-n)Tn)S_t-r

MIN- średni kwadratowy błąd prognoz wygasłych

• Model trendu pełzającego

Założenia:

- nieregularne zmiany w trendzie

k – stała wygładzania (k<n ustalana arbitralnie)

Etap I – szacowanie parametrów liniowych trendu

d(t)≤ j ≤ g(t), gdzie

d(t) = {1 t=1,2,…,k

t-k+1 t=k+1,…,n

g(t) = { t t=1,2,…,n-k+1

n-k+1 t=n-k+2,…,n.

Etap II – ustalenie średniej wartości wygładzonych wartości teoretycznych z liniowych modeli trendu

$\overline{y}$_{t =} $\frac{1}{1\ + g\left( t \right) - \ d(t)}$ $\sum_{j = d\left( t \right)}^{g\left( t \right)}{\hat{y}}_{j\ }(t)$

Prognozy :

- przyrosty funkcji trendu $\overline{w}$_t+1 = $\overline{y}$_t+1 - $\overline{y}$_t

- średnia w przyrostów $\overline{w}$ = $\sum_{t = 1}^{n - 1}c_{t + 1\ }^{n}$w_t+1

c_t + 1 ⁿ - wagi harmoniczne realizujące postulat powtarzania informacji

c_t + 1 ⁿ= $\frac{1}{n - 1}$ $\sum_{i = 1}^{t}\frac{1}{n - i}$ ; t = 1,…, n-1.

Etap III – odchylenie standardowe przyrostów trendu pełzającego

sw = [ $\sum_{t = 1}^{n - 1}c_{t + 1}^{n}$ $(w_{w + 1} - \overline{w}$)² ]^0,5

Etap IV – ekstrapolacja trendu

y*τ = $\overline{y}$_n + (τ – n)$\overline{w}$

Etap V – przedział prognozy- konstrukcja

P {y*_τ - u_τs_w ≤ y_τ ≤ y*_{τ +} u_τs_w}= p , gdzie u_τ = u $\sum_{i = 1}^{\tau - n}c_{n - i - 1}^{n}$ , n< τ ≤ 2n-1.