Badania zmęczeniowe próbek gładkich prowadzi się przy $\varepsilon_{a} = \text{const}.,\frac{\varepsilon_{\min}}{\varepsilon_{\max}} = - 1$. Rejestruje się pętlę histerezy, której kształt stabilizuje się najpóźniej w połowie trwałości. Z każdego badania otrzymuje się punkt (ε_a,  N_f) lub parę punktów (ε_ae,N_f) i (ε_ap,  N_f ), przy czym Liczba cykli Nf odpowiada momentowi zniszczenia próbki, lub oznacza liczbę cykli po której amplituda naprężeń σ_a spadła do 50% wartości początkowej. Przy czym $\varepsilon_{a} = \varepsilon_{\text{ae}} + \varepsilon_{\text{ap}} = \frac{\sigma_{a}}{E} + \varepsilon_{\text{ap}}$[1] ; gdzie ε_ap,  ε_ae,  σ_a odczytuje się z ustabilizowanej pętli histerezy. Zazwyczaj punkty wykresów (ε_ae,N_f) i (ε_ap,  N_f ) układają się na krzywych, które można opisać równaniami: $\varepsilon_{\text{ae}} = \frac{\sigma_{a}}{E} = \frac{\sigma_{'f}}{E}{({2N}_{f})}^{b}$, ε_ap = ε′_f(2N_f)^c [2] Pozdsawiając równania 2 do 1 otrzymujemy rów. Coffina – Mansona : $\varepsilon_{a} = \frac{{\sigma'}_{f}}{E}{({2N}_{f})}^{b} + {\varepsilon'}_{f}{({2N}_{f})}^{c}$ opis matematyczny krzywej ε_a −  N_f (E,b,c, ε′_f, σ′_f − stale materialowe)W metodzie odkształcenia lokalnego trwałość elementu jest uzależniona od amplitudy lokalnego odkształcenia w miejscu inicjacji pęknięcia. Niskie trwałości, materiały ciągliwe - znaczne strefy plastyczne w miejscach koncentracji naprężeń. Metoda odkształcenia lokalnego jest znacznie dokładniejsza, niż metoda naprężenia nominalnego.Wysokie trwałości, gdy można pominąć wpływ uplastycznienia. Metoda odkształceń lokalnych daje wyniki tożsame z metodą naprężeń nominalnych. Lokalne odkształcenia i naprężenia ε_a i σ_a trzeba oszacować w miejscu najbardziej prawdopodobnej inicjacji pęknięcia. Korzystamy z krzywych σ_a −  ε_a oraz ε_a −  N_f otrzymanych z badań na próbkach gładkich obciążonych osiowo.

Jeżeli materiał w strefie karbu uplastycznia się, to lokalne odkształcenia są większe, niż kt S/E, a lokalne naprężenia niższe niż ktS. Należy, więc zdefiniować oddzielnie współczynniki koncentracji dla naprężeń i odkształceń: $k_{\sigma} = \frac{\sigma}{S}$, $k_{\varepsilon} = \frac{\varepsilon}{e}$, [1] gdzie e-odkształcenie nominalne związane z naprężeniem nom. S, (S=f(e)). Jeżeli S ≤ Re(co zazwyczaj ma miejsce) to: e=S/E [2]. Reg. Neubera $\sqrt{k_{\sigma} \bullet k_{\varepsilon}} = k_{t}\left\lbrack 3 \right\rbrack$. Uwzględniając powyższe równania otrzymujemy $\sigma \bullet \varepsilon = \frac{{(k_{t}S)}^{2}}{E}$ [4]; Z rów. Ramberga-Osgooda $\varepsilon = \frac{\sigma}{E} + {(\frac{\sigma}{H})}^{\frac{1}{n}}$[5], podstawiając 5 do 4:$\text{\ \ σ}^{2} + \left( \frac{E}{H^{\frac{1}{n}}} \right)\sigma^{\left( \frac{1}{n} + 1 \right)} - {(k}_{t}S) = 0$ [6], z 6 rów. Wyznaczamy σ (względnie σ_a, σ_max) a następnie podstawiamy do row.4 i wyliczamy ε(względnie ε_a, ε_max). Row. 6 obliczamy przybliżoną metodą Newtona. Jeżeli x0 jest przybliżoną wartością pierwiastka równania f(x) = 0, to lepsze przybliżenie daje wartość: $x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}$ i kolejno $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$; Proces kontynuowany jest, póki (x_i+1 – x_i ) nie spadnie poniżej pewnej ustalonej wartości. Szereg {x_i} jest zbieżny do pierwiastka równania, o ile f’(x_i)≠0; ${\lbrack\sigma}_{i + 1} = \sigma_{i} - \frac{{\sigma_{i}}^{2} + \left( \frac{E}{H^{\frac{1}{n}}} \right){\sigma_{i}}^{\left( \frac{1}{n} + 1 \right)} - {(k_{t}S)}^{2}}{2\sigma_{i} + (\frac{1}{n} + 1)\left( \frac{E}{H^{\frac{1}{n}}} \right){\sigma_{i}}^{\left( \frac{1}{n} \right)}}\rbrack$

Uwagi o sta. Mate. COFFINA-MANSONA Wysokie trwałości ε_ap ≪ ε_ae krzywa ε_a(N_f)≅ε_ae(N_f); Niskie trwałości ε_ae ≪ ε_ap krzywa ε_a(N_f)≅ε_ap(N_f); Pkt przecięcia krzywych (ε_ap = ε_ae, N_tr) N_tr- trwałość przejściowa. Korzystając z równania Coffina – Mansona oraz definicji N_tr otrzymujemy : $\frac{{\sigma'}_{f}}{E}{(2N_{\text{tr}})}^{b} = {\varepsilon'}_{f}{(2N_{\text{tr}})}^{c}$ stąd $N_{\text{tr}} = \frac{1}{2}{(\frac{{\sigma'}_{f}}{{\varepsilon'}_{f}E})}^{\frac{1}{c - b}}$; zmęczenie niskocyklowe N_f  < N_tr, (ε_ap > ε_ae); zmęczenie wysokocyklowe N_f  > N_tr, (ε_ae > ε_ap); z równania ε_ap = ε′_f(2N_f )^c otrzymujemy $2N_{f\ } = {(\frac{\varepsilon_{\text{ap}}}{{\varepsilon'}_{f}})}^{\frac{1}{c}}$ [1], podstawiając 1 do równania Basquina σ_a = σ^′_f(2N_f )^b, otrzymujemy $\sigma_{a} = \frac{{\sigma^{'}}_{f}}{{{\varepsilon'}_{f}}^{\frac{b}{c}}}{\varepsilon_{\text{ap}}}^{\frac{b}{c}}\ \left\lbrack 2 \right\rbrack,\ $ z równania Ramberga-Osgooda cyklicznej krzywej σ − ε : σ_a = H′ε_ap^n′[3], porównując 2 i 3 otrzymujemy: $n^{'} = \frac{b}{c};H^{'} = \frac{{\sigma^{'}}_{f}}{{{\varepsilon'}_{f}}^{\frac{b}{c}}}$ ; Związki te wskazują, że z sześciu parametrów materiałowych n ′, b, c, H ′,ε′_f,  σ^′_f, tylko cztery są niezależne. Jednak powyższe zależności są spełnione tylko w sposób przybliżony, gdyż H’ i n’ są wyznaczane z innych eksperymentów niż pozostałe cztery stałe materiałowe.

Badania zmęczeniowe próbek gładkich prowadzi się przy $\varepsilon_{a} = \text{const}.,\frac{\varepsilon_{\min}}{\varepsilon_{\max}} = - 1$. Rejestruje się pętlę histerezy, której kształt stabilizuje się najpóźniej w połowie trwałości. Z każdego badania otrzymuje się punkt (ε_a,  N_f) lub parę punktów (ε_ae,N_f) i (ε_ap,  N_f ), przy czym Liczba cykli Nf odpowiada momentowi zniszczenia próbki, lub oznacza liczbę cykli po której amplituda naprężeń σ_a spadła do 50% wartości początkowej. Przy czym $\varepsilon_{a} = \varepsilon_{\text{ae}} + \varepsilon_{\text{ap}} = \frac{\sigma_{a}}{E} + \varepsilon_{\text{ap}}$[1] ; gdzie ε_ap,  ε_ae,  σ_a odczytuje się z ustabilizowanej pętli histerezy. Zazwyczaj punkty wykresów (ε_ae,N_f) i (ε_ap,  N_f ) układają się na krzywych, które można opisać równaniami: $\varepsilon_{\text{ae}} = \frac{\sigma_{a}}{E} = \frac{\sigma_{'f}}{E}{({2N}_{f})}^{b}$, ε_ap = ε′_f(2N_f)^c [2] Pozdsawiając równania 2 do 1 otrzymujemy rów. Coffina – Mansona : $\varepsilon_{a} = \frac{{\sigma'}_{f}}{E}{({2N}_{f})}^{b} + {\varepsilon'}_{f}{({2N}_{f})}^{c}$ opis matematyczny krzywej ε_a −  N_f (E,b,c, ε′_f, σ′_f − stale materialowe)W metodzie odkształcenia lokalnego trwałość elementu jest uzależniona od amplitudy lokalnego odkształcenia w miejscu inicjacji pęknięcia. Niskie trwałości, materiały ciągliwe - znaczne strefy plastyczne w miejscach koncentracji naprężeń. Metoda odkształcenia lokalnego jest znacznie dokładniejsza, niż metoda naprężenia nominalnego.Wysokie trwałości, gdy można pominąć wpływ uplastycznienia. Metoda odkształceń lokalnych daje wyniki tożsame z metodą naprężeń nominalnych. Lokalne odkształcenia i naprężenia ε_a i σ_a trzeba oszacować w miejscu najbardziej prawdopodobnej inicjacji pęknięcia. Korzystamy z krzywych σ_a −  ε_a oraz ε_a −  N_f otrzymanych z badań na próbkach gładkich obciążonych osiowo.

Jeżeli materiał w strefie karbu uplastycznia się, to lokalne odkształcenia są większe, niż kt S/E, a lokalne naprężenia niższe niż ktS. Należy, więc zdefiniować oddzielnie współczynniki koncentracji dla naprężeń i odkształceń: $k_{\sigma} = \frac{\sigma}{S}$, $k_{\varepsilon} = \frac{\varepsilon}{e}$, [1] gdzie e-odkształcenie nominalne związane z naprężeniem nom. S, (S=f(e)). Jeżeli S ≤ Re(co zazwyczaj ma miejsce) to: e=S/E [2]. Reg. Neubera $\sqrt{k_{\sigma} \bullet k_{\varepsilon}} = k_{t}\left\lbrack 3 \right\rbrack$. Uwzględniając powyższe równania otrzymujemy $\sigma \bullet \varepsilon = \frac{{(k_{t}S)}^{2}}{E}$ [4]; Z rów. Ramberga-Osgooda $\varepsilon = \frac{\sigma}{E} + {(\frac{\sigma}{H})}^{\frac{1}{n}}$[5], podstawiając 5 do 4:$\text{\ \ σ}^{2} + \left( \frac{E}{H^{\frac{1}{n}}} \right)\sigma^{\left( \frac{1}{n} + 1 \right)} - {(k}_{t}S) = 0$ [6], z 6 rów. Wyznaczamy σ (względnie σ_a, σ_max) a następnie podstawiamy do row.4 i wyliczamy ε(względnie ε_a, ε_max). Row. 6 obliczamy przybliżoną metodą Newtona. Jeżeli x0 jest przybliżoną wartością pierwiastka równania f(x) = 0, to lepsze przybliżenie daje wartość: $x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}$ i kolejno $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$; Proces kontynuowany jest, póki (x_i+1 – x_i ) nie spadnie poniżej pewnej ustalonej wartości. Szereg {x_i} jest zbieżny do pierwiastka równania, o ile f’(x_i)≠0; ${\lbrack\sigma}_{i + 1} = \sigma_{i} - \frac{{\sigma_{i}}^{2} + \left( \frac{E}{H^{\frac{1}{n}}} \right){\sigma_{i}}^{\left( \frac{1}{n} + 1 \right)} - {(k_{t}S)}^{2}}{2\sigma_{i} + (\frac{1}{n} + 1)\left( \frac{E}{H^{\frac{1}{n}}} \right){\sigma_{i}}^{\left( \frac{1}{n} \right)}}\rbrack$

Uwagi o sta. Mate. COFFINA-MANSONA Wysokie trwałości ε_ap ≪ ε_ae krzywa ε_a(N_f)≅ε_ae(N_f); Niskie trwałości ε_ae ≪ ε_ap krzywa ε_a(N_f)≅ε_ap(N_f); Pkt przecięcia krzywych (ε_ap = ε_ae, N_tr) N_tr- trwałość przejściowa. Korzystając z równania Coffina – Mansona oraz definicji N_tr otrzymujemy : $\frac{{\sigma'}_{f}}{E}{(2N_{\text{tr}})}^{b} = {\varepsilon'}_{f}{(2N_{\text{tr}})}^{c}$ stąd $N_{\text{tr}} = \frac{1}{2}{(\frac{{\sigma'}_{f}}{{\varepsilon'}_{f}E})}^{\frac{1}{c - b}}$; zmęczenie niskocyklowe N_f  < N_tr, (ε_ap > ε_ae); zmęczenie wysokocyklowe N_f  > N_tr, (ε_ae > ε_ap); z równania ε_ap = ε′_f(2N_f )^c otrzymujemy $2N_{f\ } = {(\frac{\varepsilon_{\text{ap}}}{{\varepsilon'}_{f}})}^{\frac{1}{c}}$ [1], podstawiając 1 do równania Basquina σ_a = σ^′_f(2N_f )^b, otrzymujemy $\sigma_{a} = \frac{{\sigma^{'}}_{f}}{{{\varepsilon'}_{f}}^{\frac{b}{c}}}{\varepsilon_{\text{ap}}}^{\frac{b}{c}}\ \left\lbrack 2 \right\rbrack,\ $ z równania Ramberga-Osgooda cyklicznej krzywej σ − ε : σ_a = H′ε_ap^n′[3], porównując 2 i 3 otrzymujemy: $n^{'} = \frac{b}{c};H^{'} = \frac{{\sigma^{'}}_{f}}{{{\varepsilon'}_{f}}^{\frac{b}{c}}}$ ; Związki te wskazują, że z sześciu parametrów materiałowych n ′, b, c, H ′,ε′_f,  σ^′_f, tylko cztery są niezależne. Jednak powyższe zależności są spełnione tylko w sposób przybliżony, gdyż H’ i n’ są wyznaczane z innych eksperymentów niż pozostałe cztery stałe materiałowe.