Akademia Górniczo - Hutnicza

im. Stanisława Staszica w Krakowie

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn

Praca przejściowa

Temat pracy:

Analiza numeryczna przepływu powietrza i wymiany ciepła w

rekuperatorze. (Model MES rekuperatora)

Autor:

Wojciech Wełna

rok III 2011/2012

gr. I

semestr letni

Promotor pracy:

mgr inż. Jerzy Wołoszyn

Spis treści

Spis treści 2

1. Wstęp 3

2. Podstawy teoretyczne 3

3. Literatura 16

1. Wstęp

Celem pracy jest przeprowadzenie analizy Analiza numeryczna przepływu powietrza i wymiany ciepła w rekuperatorze oraz sporządzenie modelu MES tego rekuperatora. W pracy przejściowej chcę się skupić nad teoretyczną częścią zagadnienia przedstawiając wszystkie niezbędne definicje, a także wzory potrzebne do obliczeń wyżej wymienionego tematu.

2. Podstawy teoretyczne.

W mojej pracy zacznę od opisów najbardziej ogólnych definicji oraz wzorów, a następnie przejdę do szczególnych przypadków dotyczących tematu.

Definicje:

Ciepło- jest to energia cieplna (energia kinetyczna i potencjalna mikrocząsteczek) przenosząca się stosownie do II Zasady Termodynamiki samorzutnie od jednego ciała do drugiego kierunku (i na skutek) spadku temperatury. [2]

Wymiana ciepła- jest to przekazywanie energii cieplnej z jednego ciała do drugiego, przy czym temperatury obu ciał różnią się od siebie. Kiedy zjawiska wymiany ciepła są zmienne w czasie występuje nieustalona wymiana ciepła, a w przypadku niezmienności w czasie- ustalona wymiana ciepła. [3]

Strumień Ciepła- stosunek elementarnej ilości ciepła dQ do czasu trwania wymiany tej ilości ciepła. [3]

Możemy rozróżnić trzy mechanizmy wymiany ciepła:

- przewodzenie ciepła- jest to przekazywanie energii wewnętrznej między bezpośrednio stykającymi się częściami jednego ciała lub różnych ciał. W przypadku płynów przekazywaną energią, jest energia kinetyczna atomów i cząstek, natomiast w przypadku ciał stałych przekazywana jest energia drgań atomów w sieci krystalicznej i ruchu swobodnych elektronów. W płynach zjawisko przewodzenia ciepła połączone jest z konwekcją; [3]

Przewodzenie przez przegrodę płaską.

t₁,t₂- temperatury na powierzchni przegrody [°C]

δ- grubość przegrody [m]

λ- współczynnik przewodzenia ciepła [$\frac{W}{m*K}$]

q- gęstość strumienia ciepła [$\frac{W}{m^{2}}$]

$q = \frac{d\dot{Q}}{\text{dt}}$ (1.1)

Strumień ciepła

$\dot{Q} = \frac{\text{dQ}}{\text{dt}}$ (1.2)

Równanie Fouriera dla przegrody płaskiej

$\dot{Q} = - A\lambda\frac{\partial T}{\partial n}$ (1.3)

A- pole powierzchni przegrody

T- temperatura w rozpatrywanym punkcie przegrody

$\frac{\partial}{\partial n}$ – pochodna w kierunku normalnej do powierzchni

Opór przewodzenia ciepła przegrody

$R_{\lambda} = \frac{\delta}{A\lambda}$ (1.4)

Przewodzenie przez przegrodę płaską wielowarstwową.

t_i,t_e- temperatury na powierzchni wewnętrznej i zewnętrznej przegrody [°C]

δ₁, δ₂, δ_n- grubości kolejnych przegród [m]

λ_1, λ₂ , λ_n, - współczynniki przewodzenia ciepła kolejnych przegród[$\frac{W}{m*K}$]

q- gęstość strumienia ciepła [$\frac{W}{m^{2}}$]

Opór przewodzenia ciepła przegrody

$R_{\lambda} = \sum_{i}^{}\frac{\delta_{i}}{A\lambda_{i}}$ (1.5)

Przewodzenie ciepła przez przegrodę cylindryczną.

T_s1- temperatura powierzchni ścianki wewnątrz cylindra

T_s2- temperatura powierzchni ścianki na zewnątrz cylindra

λ- współczynnik przewodzenia

q_l- gęstość strumienia ciepła

d₁- średnica wewnętrzna cylindra

d₂- średnica zewnętrzna cylindra

Równanie Fouriera dla przegrody cylindrycznej

$\dot{Q} = - \lambda 2\pi rL\frac{\partial T}{\partial n}$ (1.6)

Pole powierzchni

A = 2πrL [m²] (1.7)

Strumień ciepła

$\dot{Q} = 2\pi L\lambda\frac{T_{s1} - T_{s2}}{ln(\frac{d_{2}\ }{d_{1}})}\ \lbrack W\rbrack$ (1.8)

Opór cieplny przegrody walcowej

$R_{w} = \frac{ln(\frac{d_{2}\ }{d_{1}})}{2\pi L\lambda}\ \lbrack\frac{K}{W}\rbrack$ (1.9)

Średnia logarytmiczna powierzchnia

$A_{w} = \frac{A_{2}{- A}_{1}}{ln(\frac{A_{2}\ }{A_{1}})}\ \lbrack m^{2}\rbrack$ (1.10)

- konwekcję ciepła- jest to zjawisko związane z przepływem płynów. Transport energii występuje pomiędzy miejscami o różnej temperaturze, poprzez przemieszczanie się całych pakietów (elementów, cząstek) płynu, a nie jak ma to miejsce w przewodzeniu- przez pojedyncze molekuły. Strugi płynu mieszają się ze sobą, przez co transport ciepła jest o wiele szybszy niż w przypadku przewodzenia. Istnieją dwa typy konwekcji- wymuszona i swobodna: [1]

a) Konwekcja wymuszona- ruch płynu i ciepła jest skutkiem wymuszenia przepływu przez: pompę, wentylator, mieszadło, sprężarkę lub inne urządzenie; [1]

b) Konwekcja swobodna- ruch płynu i ciepła następuje samoistnie, poprzez wystąpienie sił wyporu termicznego. Jest to spowodowane faktem, iż płyn cieplejszy ma mniejszą gęstość, przez co unosi się do góry, gdzie miesza się z płynem zimnym i przekazuje mu część swojego ciepła. Jako przykład może posłużyć kaloryfer- zimne powietrze przechodzi pomiędzy jego ściankami (gdzie rośnie jego temperatura) do góry, a następnie mieszając się i ogrzewając zimniejsze powietrze krąży po pomieszczeniu; [1]

- promieniowanie- jest to zjawisko polegające na przekazywaniu energii za pomocą promieniowania elektromagnetycznego, takiego jak promieniowanie świetlne lecz w całym zakresie długości fal (głównie fal podczerwonych). Każde ciało posiadające temperaturę większą od zera bezwzględnego pochłania oraz wypromieniowuje ciepło. Promieniowanie zachodzi także w próżni; [2]

- wnikanie ciepła- ( przejmowanie ciepła) jest to proces wymiany ciepła pomiędzy powierzchnią ciała stałego, a opływającym to ciało płynem. Strumień ciepła przepływającego pomiędzy strugą płynu, a powierzchnią przegrody opisuje równanie Newtona. Zjawisko wnikania ciepła zawiera w sobie konwekcję oraz przewodzenie ciepła; [3]

W przypadku burzliwego przepływu płynu wzdłuż przegrody warstwa graniczna przyjmuje następujący kształt:

Rys.1.4 Warstwa przyścienna w opływie ściany płaskiej: 1- warstwa laminarna, 2- obszar przejściowy, 3- warstwa turbulentna, 4- podwarstwa laminarna, 5- podwarstwa buforowa.

Laminarna warstwa graniczna wynosi ok. 10^-6m i zachodzi w niej przewodzenie. W dalszej odległości od przegrody występuje konwekcja.

Strumień ciepła dla przegrody płaskiej określa równanie Newtona

$\backslash n\dot{Q} = \alpha A\Delta T$ (1.11)

$\dot{Q}$- strumień ciepła [$\frac{J}{s}$]

α- współczynnik wnikania ciepła [$\frac{W}{m^{2}K}$], jest to ilość ciepła w dżulach przekazywana w czasie 1s na powierzchni 1m, gdy ΔT = 1K

1. pole powierzchni przegrody [m²]

ΔT- różnica temperatury w rdzeniu płynu i na powierzchni przegrody [°C]

Współczynnik wnikania ciepła jest funkcją bardzo wielu elementów, np. ciśnienia, przewodzenia ciepła, gęstość lepkość, ciepło właściwie. Samo wnikanie ciepła jest bardzo skomplikowanym procesem, przez co obliczenie współczynnika wnikania dokonuje się za pomocą programów komputerowych wykorzystujących MES.

Współczynnik przejmowania może też zmieniać się w czasie, jak również wzdłuż powierzchni, którą opływa.

Aby uśrednić współczynnik wnikania ciepła wykorzystuje się strumienie ciepła obliczone na dwa sposoby

$\backslash n\overset{\overline{}}{T_{f}} = \frac{1}{A}\int_{A}^{\ }T_{f}\text{dA}$ (1.12)

$\overset{\overline{}}{T_{s}} = \frac{1}{A}\int_{A}^{\ }T_{s}\text{dA}$ (1.13)

T_f- temperatura płynu [°C]

T_s- temperatura ścianki przegrody [°C]

Następnie rozdziela się zmienne i całkuje po odpowiednich granicach

$\int_{A}^{\ }\text{αdA} = \overset{\overline{}}{\alpha}A = \dot{m}c_{p}\ln\frac{\left( T_{f} - T_{s} \right)_{1}}{\left( T_{f} - T_{s} \right)_{2}}$ (1.14)

(T_f−T_s)₁- różnica temperatur na wlocie kanału

(T_f−T_s)₂- różnica temperatur na wylocie kanału

Ostatnim krokiem jest obliczenie strumienia ciepła

$\dot{Q} = \dot{m}c_{p}\left\lbrack \left( T_{f} - T_{s} \right)_{1} - \left( T_{f} - T_{s} \right)_{2} \right\rbrack = \overset{\overline{}}{\alpha}A\frac{\left( T_{f} - T_{s} \right)_{1} - \left( T_{f} - T_{s} \right)_{2}}{\ln\frac{\left( T_{f} - T_{s} \right)_{1}}{\left( T_{f} - T_{s} \right)_{2}}} = \overset{\overline{}}{\alpha}\text{AΔ}T_{m}$ (1.15)

ΔT_m- średnia logarytmiczna różnica temperatur

- przenikanie ciepła- jest to proces ruchu ciepła z głębi rdzenia jednej fazy do rdzenia drugiej fazy. Innymi słowy polega na transporcie ciepła z jednego płynu do drugiego, przy założeniu, że płyny oddzielone są przegrodą. Przenikanie zawiera trzy ( a co najmniej dwie) fazy: przejmowanie od pierwszego płynu do ścianki, przewodzenie przez ściankę i przejmowanie ciepła od ścianki do drugiego płynu. Proces ten ma miejsce w każdym przekroju wymiennika ciepła; [1]

Przenikanie ciepła przez przegrodę płaską.

T₁, T₂- temperatury płynów

T_ść1, T_ść2- temperatury powierzchni ścianek

λ- współczynnik przewodzenia ciepła

δ- grubość ścianki

Równanie Pecleta dla przegrody płaskiej

$\dot{Q} = kA\left( T_{1} - T_{2} \right)$ (1.16)

k- współczynnik przenikania ciepła, [$\frac{W}{m^{2}K}$], jest to strumień ciepła przenikający przez powierzchnię 1 m² pomiędzy dwoma fazami płynnymi w ciągu 1 s, przy czym różnica temperatur między fazami wynosi 1 K.

$\frac{1}{k} = \frac{1}{\alpha_{1}} + \frac{\delta}{\lambda} + \frac{1}{\alpha_{2}}$ (1.17)

Przekazywanie ciepła pomiędzy ścianką przegrody, a płynem może odbywać się poprzez wnikanie lub promieniowanie. Przy uwzględnieniu promieniowania należy wprowadzić zastępczy współczynnik α_r

${\dot{Q}}_{1 - 2} = \alpha_{r}A_{1}\left( T_{sc1} - T_{1} \right)$ (1.18)

$\alpha_{r} = \frac{{\dot{Q}}_{1 - 2}}{A_{1}\left( T_{sc1} - T_{1} \right)}$ (1.19)

Przy uwzględnieniu wnikania i promieniowania strumień ciepła oblicza się z następującego wzoru

$\dot{Q} = (\alpha_{k} + \alpha_{r})A_{1}\text{ΔT}$ (1.20)

α_k- współczynnik wnikania ciepła

α_r- współczynnik ruchu ciepła przez promieniowanie

Opór podczas przenikania ciepła składa się z trzech procesów tworzących układ szeregowy. Gdy opór jednego procesu jest znaczny, powoduje duże zmniejszenie strumienia ciepła całego układu.

Opór cieplny przewodzenia dla ścianki płaskiej

$R_{\lambda} = \frac{\text{ΔT}}{\dot{Q}} = \frac{\delta}{\text{λA}}$ (1.21)

Opór cieplny wnikania

$R_{\alpha} = \frac{1}{\text{αA}}$ (1.22)

Opór cieplny promieniowania

$R_{r} = \frac{1}{\alpha_{r}A}$ (1.23)

Opór cieplny wnikania z promieniowaniem

$R_{\alpha + r} = \frac{1}{(\alpha_{k} + \alpha_{r})A}$ (1.24)

Opór cieplny przenikania

$R_{k} = \frac{1}{\text{kA}} = R_{\alpha_{1}} + R_{\lambda} + R_{\alpha_{2}}$ (1.25)

Przenikanie ciepła przez przegrodę cylindryczną.

T_p1 – temperatura płynu wewnątrz cylindra

T_p2 temperatura płynu na zewnątrz cylindra

T_s1- temperatura powierzchni ścianki wewnątrz cylindra

T_s2- temperatura powierzchni ścianki na zewnątrz cylindra

α₁- współczynnik przenikania ciepła płynu wewnątrz cylindra

α₂- współczynnik przenikania ciepła płynu na zewnątrz cylindra

Równania wnikania ciepła przez przegrodę cylindryczną

${\dot{Q}}_{1} = \alpha_{1}\pi d_{1}L(T_{p1} - T_{s1})$ (1.26)

${\dot{Q}}_{2} = \alpha_{2}\pi d_{2}L(T_{s2} - T_{p2})$ (1.27)

Równania przewodzenia ciepła przez przegrodę cylindryczną

$\dot{Q} = \frac{\text{πL}}{\frac{1}{2\lambda_{p}}\ln\frac{d_{2}}{d_{1}}}(T_{s1} - T_{s2})$ (1.28)

Strumień ciepła dla przegrody cylindrycznej

$\dot{Q} = \frac{\text{πL}}{\frac{1}{\alpha_{1}d_{1}} + \frac{1}{2\lambda_{p}}\ln\frac{d_{2}}{d_{1}} + \frac{1}{\alpha_{2}\pi d_{2}}}(T_{p1} - T_{p2})$ (1.29)

K_D- współczynnik przenikania dla ścianki cylindrycznej

$K_{D} = \frac{\pi}{\frac{1}{\alpha_{1}d_{1}} + \frac{1}{2\lambda_{p}}\ln\frac{d_{2}}{d_{1}} + \frac{1}{\alpha_{2}\pi d_{2}}}$ (1.30)

Strumień ciepła dla przegrody cylindrycznej po podstawieniu

$\dot{Q} = K_{D}L(T_{p1} - T_{p2})$ (1.31)

- wymiennik ciepła- jest to urządzenie służące do wymiany ciepła pomiędzy dwoma płynami oddzielonymi od siebie ścianką. Często noszą nazwy określające ich użycie, np. chłodnice, skraplacze, podgrzewacze, przegrzewacze, wytwornice pary, parowniki. Wymienniki są stosowane w przemyśle chemicznym, spożywczym i w energetyce. Wymiana ciepła może być ustalona lub nieustalona. [1,3]

Ze względu na liczbę płynów biorących udział w wymianie ciepła wymienniki można podzielić na: dwu-czynnikowe i więcej czynnikowe.

1. współprądowe- kierunek ruchu płynów jest taki sam;

Rys.1. Rozkład temperatur dla wymiennika współprądowego

b) przeciwprądowe- kierunki ruchu płynów są przeciwne;

Rys.1. Rozkład temperatur dla wymiennika przeciwprądowego

c) krzyżowy- kierunki ruchu płynów krzyżują się, średnia różnica temperatur jest obliczana tak samo, jak dla przepływu przeciwprądowego, a następnie wprowadzamy poprawkę ε;

Rys.1. Rozkład temperatur dla wymiennika krzyżowego

Średnia różnica logarytmiczna temperatur dla przepływu krzyżowego

$\Delta T_{m}^{'} = \varepsilon\Delta T_{m} = \varepsilon\frac{\Delta T_{2} - \Delta T_{1}}{\ln\frac{\Delta T_{2}}{\Delta T_{1}}}$ (1.32)

Powierzchnia wymiany ciepła wymiennika

$A = \frac{\dot{Q}}{\text{kεΔ}T_{m}}$ (1.33)

Ze względu na zasadę działania wymienniki można podzielić na:

a) rekuperatory- są to przeponowe wymienniki ciepła, płyny, pomiędzy którymi następuje wymiana ciepła są rozdzielone metalową ścianką (podczas wymiany występuje przenikanie). W rekuperatorze występują ustalone warunki pracy, oprócz krótkiego czasu po włączeniu, zatrzymaniu oraz zmiany warunków pracy. Przepływ płynów może być współprądowy, przeciwprądowy, krzyżowy lub krzyżowy mieszany. [3]

Ze względu na liczbę dróg przepływu rozróżnia się rekuperatory:

a) dwudrożne i wielodrożne;

b) dwuciągowe i wielociągowe;

b) regeneratory- są wypełnione np. cegłami, kulkami, blachami falistymi, itp. ciałami o rozwiniętej powierzchni przejmowania ciepła (ceramicznymi lub wykonanymi z metali). W pierwszym okresie styku (z cieplejszym płynem) ciało wypełniające gromadzi energię cieplną, którą oddaje zimniejszemu płynowi w drugim okresie styku. [3]

Ze względu na rodzaj wypełnienia, rozróżnia się regeneratory:

a) z nieruchomym wypełnieniem- mają dwie komory, do których trafiają płyny o różnych temperaturach nie mając ze sobą kontaktu, działają w sposób powtarzający się okresowo; [3]

b) z ruchomym wypełnieniem- podczas obrotu wypełnienia, ich elementy opływa na przemian płyn cieplejszy i zimniejszy, działają w sposób ciągły; [3]

c) mieszalniki- proces wymiany ciepła polega na wymieszaniu dwóch płynów o różnych temperaturach. Poza wymianą ciepła następuje wymiana substancji. Za przykład może posłużyć chłodnia kominowa, w której woda jest chłodzona przez powietrze atmosferyczne.

Obliczanie wielkości wymiennika oparte na jego sprawności.

Jedną z metod obliczania wymienników ciepła jest metoda oparta na liczbie wymiany jednostek- NTU (Number of Transfer Units). Jest ona oparta na sprawności (efektywności) wymiennika ciepła η. Efektywność wymiennika ciepła jest stosunkiem jego wydajności do wydajności, jaką uzyskałby, w przypadku uzyskania przez czynnik o mniejszym równoważniku wodnym przepływu wykorzystał całkowicie maksymalną różnicę temperatury ΔT_max = T_a1 − T_b1 w tym wymienniku. [4]

(1.34)

Całkowite wykorzystanie ΔT_max jest możliwe w wymienniku przeciwprądowym o nieograniczonej powierzchni. W przypadku wymiennika współprądowego jest to możliwe wyłącznie w przypadku, kiedy jeden z równoważników wodnych przepływu jest nieskończenie duży (skraplacz, wyparka). Płyn o mniejszym równoważniku wodnym (W_min) doświadcza większej zmiany temperatury. Dla założenia W_b=W_min - jak dla przeciwprądu, to przy nieskończenie dużej powierzchni wymiany temperatury płynu b na wylocie i płynu a na wlocie będą równe. [4]

${\dot{Q}}_{\max} = W_{\min}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{bp}} \right) = W_{\min}\Delta T_{\text{miax}}$ (1.35)

$\dot{Q} = W_{\max}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{bp}} \right) = W_{\max}\Delta T_{\min}$ (1.36)

$\eta = \frac{W_{a}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{ak}} \right)}{W_{b}\left( T_{\text{bp}} - T_{\text{bk}} \right)_{\max}} = \frac{W_{\max}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{ak}} \right)}{W_{\min}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{bp}} \right)}$ (1.37)

Gdy płyn gorący jest płynem minimum, to ostatnie wyrażenie przyjmie postać:

$\eta = \frac{W_{b}\left( T_{\text{bk}} - T_{\text{bp}} \right)}{W_{a}\left( T_{ap} - T_{ak} \right)_{\max}} = \frac{W_{\max}\left( T_{\text{bk}} - T_{\text{bp}} \right)}{W_{\min}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{bp}} \right)}$ (1.38)

W licznikach powyższych wzorów występuje strumień ciepła $\dot{Q}$, zatem możemy napisać, że:

$\backslash t\dot{Q} = \eta W_{\min}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{bp}} \right)$ (1.39)

Gdy płyn zimny jest płynem minimum, to dla przeciwprądowego wymiennika ciepła mamy:

$\dot{\backslash tQ} = W_{b}\left( T_{b2} - T_{b1} \right) = kA\frac{\left( T_{a1} - T_{b1} \right) - \left( T_{a2} - T_{b2} \right)}{ln(\frac{T_{a1} - T_{b1}}{T_{a2} - T_{b2}})}$ (1.40)

Z równania (1.39) otrzymujemy sprawność wymiennika:

$\eta = \frac{W_{b}\left( T_{b2} - T_{b1} \right)}{W_{\min}\left( T_{a2} - T_{b1} \right)}$ (1.41)

Dla W_b = W_min

$T_{a2} = T_{b1} + \frac{1}{\eta}\left( T_{b2} - T_{b1} \right)$ (1.42)

Następnie odejmujemy stronami T_b2:

$T_{a2} - T_{b2} = T_{b1} - T_{b2} + \frac{1}{\eta}\left( T_{b2} - T_{b1} \right) = \left( \frac{1}{\eta} - 1 \right)\left( T_{b2} - T_{b1} \right)$ (1.43)

Ponieważ:

$\frac{W_{b}}{W_{a}} = \frac{T_{a2} - T_{a1}}{T_{b2} - T_{b1}}$ (1.44)

to po przekształceniu:

$T_{a1} = T_{a2} - \frac{W_{\max}}{W_{\min}}\left( T_{b2} - T_{b1} \right)$ (1.45)

oraz

$T_{a1} - T_{b1} = T_{a2} - T_{b1} - \frac{W_{\max}}{W_{\min}}\left( T_{b2} - T_{b1} \right)$ (1.46)

Z równania (1.42) otrzymujemy zależność:

$T_{a2} - T_{b1} = \frac{1}{\eta}\left( T_{b2} - T_{b1} \right)$ (1.47)

Następnie podstawiamy ją do równania (1.46):

$T_{a1} - T_{b1} = T_{a2} - T_{b1} - \frac{W_{\max}}{W_{\min}}\left( T_{b2} - T_{b1} \right) = \left( \frac{1}{\eta} - \frac{W_{\max}}{W_{\min}} \right)\left( T_{b2} - T_{b1} \right)$ (1.48)

Z zależności (1.43) i (1.48) podstawiamy do równania (1.40)

$\ln\frac{\frac{1}{\eta} - \frac{W_{\min}}{W_{\max}}}{\frac{1}{\eta} - 1} = \frac{\text{kA}}{W_{\min}}\left( 1 - \frac{W_{\min}}{W_{\max}} \right)$ (1.49)

Następnie pozbywamy się logarytmu i przekształcamy:

$\eta = \frac{1 - exp\left\lbrack - \frac{\text{kA}}{W_{\min}}\left( 1 - \frac{W_{\min}}{W_{\max}} \right) \right\rbrack}{1 - \frac{W_{\min}}{W_{\max}}\exp\left\lbrack - \frac{\text{kA}}{W_{\min}}\left( 1 - \frac{W_{\min}}{W_{\max}} \right) \right\rbrack}$ (1.50)

Wyrażenie $\frac{\text{kA}}{W_{\min}}$ jest to liczba jednostek wymiany NTU. Stosunek $\frac{W_{\min}}{W_{\max}}$ oznaczamy jako R i dla wymiennika przeciwprądowego dostaniemy równanie:

$\eta_{p} = \frac{1 - e^{- NTU\left( 1 - R \right)}}{1 - {Re}^{- \text{NTU}\left( 1 - R \right)}}$ (1.51)

Natomiast dla wymiennika współprądowego otrzymamy równanie:

$\eta_{w} = \frac{1 - e^{- NTU\left( 1 + R \right)}}{1 - R}$ (1.52)

Literatura

[1] Zarzycki R.: Wymiana ciepła i ruch masy w inżynierii środowiska. WNT. Warszawa 2005. Wyd. I. ISBN 83-204-3083-6

[2] Pudlik W.: Wymiana i wymienniki ciepła, Gdańsk 1998,

[3] Wiśniewski S., Wiśniewski S. T.: Wymiana ciepła, WNT. Warszawa 1997. Wyd. IV. ISBN 83-204-2110-1

[4] Kmieć A.: Procesy cieplne i aparaty, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej. Wrocław 2005. ISBN 83-7085-864-3