Podstawowe parametry układu regularnego

a=b=c, α=β=γ	Prymitywna P	Przestrzennie centrowana I	Powierzchniowo centrowana F
Objętość komórki elementarnej	a^3	a^3	a^3
Ilosc wezłow na komórke	1	2	4
Liczba koordynacyjna	6	8	12
Odleglosc najblizszych sasiadow	a	$$\frac{a\sqrt{}3}{2}$$	$$\frac{a\sqrt{}2}{2}$$
Liczba drugich sasiadów	12	6	6
Odległosc drugich sasiadów	$$a\sqrt{}2$$	a	a

Współczynnik upakowania

Dla P: $k = \frac{\frac{4}{3}\pi\left( \frac{a}{2} \right)^{3}}{a^{3}} = \frac{\pi}{6} \approx 0,52$

Dla I: $k = \frac{2*\frac{4}{3}\pi\left( \frac{a\sqrt{3}}{4} \right)^{3}}{a^{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0,68$

Dla F: $k = \frac{4*\frac{4}{3}\pi\left( \frac{a\sqrt{2}}{4} \right)^{3}}{a^{3}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6} \approx 0,74$

Obliczanie wskaźników Millera dla płaszczyzn atomowych

Obliczanie hkl przykład

1) A = 2, B = 3, C = 6

2) Tworzymy odwrotności $\frac{1}{2}$, $\ \frac{1}{3}$, $\frac{1}{6}$

3) określamy najniższy wspólny mianownik D = 6

4) obliczamy wskaźniki h = $\frac{D}{A}\ = \ \frac{6}{2}\ = \ 3$, k = $\frac{D}{B} = \ \frac{6}{3} = 2,\ $ l = $\frac{D}{C} = \ \frac{6}{6} = 1$

Jeśli płaszczyzna nie przecina którejś osi jej wskaźnik Millera wynosi 0. Wszystkie płaszczyzny równoległe do danej płaszczyzny mają te same wskaźniki Millera.

Wiązania krystaliczne

- jonowe – atom z jednym elektronem walencyjnym oddaje go atomowi któremu brakuje jednego elektrony do zapełnienia powłoki. Powstają dwa jony które przyciągają się elektrostatycznie.

V(r)=-e²/r. Przykłady: NaCl, CsCl, KJ – złe przewodniki elektryczne ( nie ma swobodnych nośników)

- wodorowe – wiązanie tworzy się pomiędzy atomem wodoru związanym z atomem o dużej elektroujemności, a atomem z wolnymi param elektronowymi. Np. HF2, H2O, DNA

- kowalencyjne tworzą dwa elektrony, każdy z atomu biorącego udział w wiązaniu. Elektrony maja spiny skierowane przeciwnie. Wiązanie cechuje silna anizotropia. Np. C, Si, Ga, SiC, BN (są półprzewodnikiem)

- metaliczne elektrony walencyjne oderwane od atomów są rozłożone równomiernie w sieci jonów tworząc gaz elektronów przewodnictwa. Elektrony oderwane od atomów tworzą gaz elektronowy, natomiast jony w węzłach sieci krystalicznej wykonują drgania. Np. metale przejściowe (Fe, Ni, W – energia spójności ~1eV/atom), metale alkaliczne (Na, Li, K – energia spójności ~3-8eV/atom)

- molekularne występuje pomiędzy atomami w których zachodzi oddziaływanie van der Waals’a tj. oddziaływanie pomiedzy fluktuującymi dipolami elektrycznymi tych atomów. Np. gazy szlachetne Nc, Ar, Kr, Xe

PRAWA LAUEGO I BRAGGA DYFRAKCJI

Warunek dyfrakcji: Długość fali użytego promieniowania jest porównywalna z odległością pomiędzy atomami w kryształach

Warunki Lauego: Różnica dróg przebytych przez fale rozproszone na atomach: ∆=a-b=dcosΦ-dcosΨ. Jeżeli spełniony jest warunek:∆=hλ (h-l. całkowita) zachodzi interferencja konstruktywna (nastąpi maksymalne wzmocnienie)

Warunki Lauego w przypadku 3-wymiarowym:

d(cosΦ₁-dcosΨ₁)=hλ

d(cosΦ₂-dcosΨ₂)=kλ

d(cosΦ₃-dcosΨ₃)=lλ

h,k,l – warunki Millera

Prawo Bragga – dyfrakcja promieniowania X

2dsinΘ=nλ

Jeżeli zajdzie taki warunek że 2dsinΘ=nλ tzn. że ta wiązka po zajściu dyfrakcji interferuje się i ma maksymalne wzmocnienie

Metody doświadczalne badania struktury krystalicznej

- Lauego - używamy wiązki białej promieniowania X (widmo ciągłe X). Służy do badania monokryształów. Próbka monokryształu ma wymiary rzędu 1mm. Obraz dyfrakcyjny jest układem plamek dyfrakcyjnych. Jeżeli ten układ nie jest symetryczny świadczy to o niedokładności kryształu.

- Obracanego kryształu - stosujemy wiązkę monochromatyczną. Próbka się obraca. Stosowana do badania monokryształów (1mm). Obrót kryształu pozwala zmienić kąt Θ i pozwala spełnić równanie Bragga

- Debye’a – Scherrera (proszkowa) – używamy fali monochromatycznej. Stosowana do badania polikryształów.

Informacji uzyskane z dyfraktogramów:

- typ sieci krystalicznej

- stałe sieci krystalicznej

- średnie rozmiary kryształów

- średni poziom odkształceń sieci

Wzór Scherrera: $D_{h\text{kl}} = \frac{\text{kλ}}{\text{Bcos}\Theta}$, k≈1 – stała Scherrera (D- śr. Wielkość kryształu w kierunku prostopadłym do płaszczyzny hkl, B-szerokość połówkowa wierzchołka dyfrakcyjnego)

Model elektronów swobodnych

a) złożenie modelu

- elektrony biorące udział w przewodzeniu prądu są elektronami walencyjnymi. W zależności od rodzaju przewodnika jest ich od 1 do 3.

- ruch elektronów jest jednowymiarowy

- elektrony nie opuszczają metalu – nie pozwala im na to bariera potencjału na powierzchni

- elektrony nie oddziałują z jonami sieci krystalicznej, czyli energia potencjału V=0

b) energia Fermiego

W temperaturze bliskiej 0K elektrony w metalu zajmuja kolejne stany energii az do pewnej energii maksymalnej zwanej energia Fermiego

c) funkcja Fermiego-Diraca

Jest to funkcja rozkładu prawdopodobieństwa obsadzenia stanu

energetycznego przez elektron:

$$f\left( E \right) = \frac{1}{e^{\frac{E - E_{F}}{\text{kT}}}} + 1$$

Z modelu elektronów swobodnych wynika że w przewodzeniu prądu elektrycznego biorą udział tylko elektrony o energiach zbliżonych do energii Fermiego.

Liczba stanów elektronów: n = ∫g(E)f(E)dE

MODEL PASMOWY