WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICTWA

CYFROWE UKŁADY REGULACJI

PROJEKT CIĄGŁEGO I DYSKRETNEGO UKŁADU REGULACJI Z REGULATOREM PID Z WYKORZYSTANIEM WARUNKÓW APERODYCZNOŚCI ORAZ KOMPENSACJĄ DYNAMIKI OBIEKTU

Prowadzący: dr inż. Marek Jaworowicz

Autorzy: Wojciech Żerek

Mateusz Zając

Grupa: A9U1S1

1. Sformułowanie zadania

Przedmiotem zadania jest zaprojektowanie układu regulacji z regulatorem PID w dwóch wersjach – ciągłej oraz dyskretnej. Obiekt regulacji oraz regulator opisywane są następującymi transmitancjami:

$$G_{0}\left( s \right) = \frac{K_{0}}{(T_{1}s + 1)(T_{2}s + 1)}$$

$$G_{R}\left( s \right) = K_{1} + \frac{K_{2}}{s} + \frac{K_{3}s}{T_{3}s + 1}$$

Wyjściowy model ciągłego układu regulacji opisany jest schematem:

Należy tak dobrać współczynniki regulatora, aby zapewnić aperiodyczność procesu przejściowego oraz kompensację dynamiki obiektu regulacji.

Dane:

T₁ = 2 [s]

T₂ = 5 [s]

T_MZ = 1.5 [s]

2. Wyznaczanie modelu matematycznego ciągłego układu regulacji

Transmitancję obiektu regulacji możemy przekształcić do postaci:

$$G_{0}\left( s \right) = \frac{K_{0}}{a_{0}s^{2} + b_{0}s + c_{0}}$$

gdy:

a₀ = T₁T₂

b₀ = T₁+T₂

c₀ = 1

Transmitancję regulatora przekształcamy w podobny sposób do postaci:

$$G_{R}\left( s \right) = \frac{a_{1}s^{2} + b_{1}s + c_{1}}{s(T_{3}s + 1)}$$

gdy:

a₁ = K₁T₃+K₃

b₁ = K₁+K₂T₃

c₁ = K₂

Kompensacja dynamiki obiektu oznacza z matematycznego punktu widzenia znoszenie się licznika transmitancji regulatora oraz mianownika transmitancji obiektu regulacji podczas obliczania transmitancji układu otwartego. Zatem:

$$G_{\text{OT}}\left( s \right) = G_{0}\left( s \right)*G_{R}\left( s \right) = \frac{K_{0}}{a_{0}s^{2} + b_{0}s + c_{0}}*\frac{a_{1}s^{2} + b_{1}s + c_{1}}{s\left( T_{3}s + 1 \right)} = \frac{K_{0}}{s\left( T_{3}s + 1 \right)}$$

przy założeniu:

a₀ = a₁

b₀ = b₁

c₀ = c₁

czyli:

T₁T₂ = K₁T₃+K₃

T₁+T₂ = K₁+K₂T₃

1 = K₂

Transmitancja zamkniętego układu regulacji wyrażona jest następującym wzorem:

$$G_{Z}\left( s \right) = \frac{G_{\text{OT}}\left( s \right)}{1 + G_{\text{OT}}\left( s \right)} = \frac{\frac{K_{0}}{T_{3}}}{s^{2} + \frac{1}{T_{3}}s + \frac{K_{0}}{T_{3}}}$$

Równanie charakterystyczne zamkniętego układu regulacji ma zatem następującą postać:

$$M_{z}\left( s \right) = s^{2} + \frac{1}{T_{3}}s + \frac{K_{0}}{T_{3}} = 0$$

Dla formułowania warunków na dynamikę układu wygodniej jest przyjąć model układu zamkniętego jako człon II rzędu z równaniem charakterystycznym w postaci:

$$M_{z}\left( s \right) = s^{2} + 2\xi\frac{1}{t_{r}}s + \frac{1}{{t_{r}}^{2}} = 0$$

przy założeniu:

$$\frac{1}{T_{3}} = 2\xi\frac{1}{t_{r}}$$

$$\frac{K_{0}}{T_{3}} = \frac{1}{{t_{r}}^{2}}$$

Ze względu na wymaganie zachowania aperiodyczności procesu przejściowego (ξ – współczynnik tłumienia):

ξ = 1

Dla powyższej wartości współczynnika tłumienia przyjmujemy (t_r – czas regulacji, T_MZ – zastępcza stała czasowa):

t_r = 5 * T_MZ = 7.5

Wyznaczenie transmitancji obiektu regulacji, regulatora oraz otwartego i zamkniętego układu regulacji sprowadza się zatem do rozwiązania następujących równań:

T₁T₂ = K₁T₃+K₃ (1)

T₁+T₂ = K₁+K₂T₃ (2)

1 = K₂ (3)

$\frac{1}{T_{3}} = 2\xi\frac{1}{t_{r}}$ (4)

$\frac{K_{0}}{T_{3}} = \frac{1}{{t_{r}}^{2}}$ (5)

Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy wartości współczynników:

K₀ = 0.067

K₁ = 3.25

K₂ = 1

K₃ = -2.188

T₃ = 3.75

Po podstawieniu obliczonych współczynników transmitancje obiektu, regulatora, otwartego oraz zamkniętego układu regulacji wyrażone są następującymi wzorami:

$$G_{0}\left( s \right) = \frac{0.067}{10s^{2} + 7s + 1}$$

$$G_{R}\left( s \right) = \frac{10s^{2} + 7s + 1}{s(3.75s + 1)}$$

$$G_{\text{OT}}\left( s \right) = \frac{0.067}{3.75s^{2} + s}$$

$$G_{Z}\left( s \right) = \frac{0.0179}{s^{2} + 0.2667s + 0.0179}$$

3. Modele numeryczne układów regulacji

Za pomocą programu Matlab stworzone zostały 2 modele numeryczne zadanego układu regulacji - model ciągły, na podstawie wcześniejszych wyliczeń, oraz model dyskretny powstały po zdyskretyzowaniu modelu ciągłego. Otrzymano następujące transmitancje oraz realizacje w przestrzeni stanów.

3.1 Model ciągły

Transmitancja obiektu:

G_o_c =

Regulator w postaci równoległej oraz jego transmitancja:

PID_c =

Transmitancja otwartego układu regulacji:

G_ur_ot_c =

Transmitancja zamkniętego układu regulacji:

G_ur_z_c =

Otwarty układ regulacji w SS:

Zamknięty układ regulacji w SS:

Czasy regulacji dla obiektu oraz zamkniętego układu regulacji:

Obiekt	tr [s]
G_o_c	22.1133
G_ur_z_c	43.7558

3.2 Układ dyskretny

Okres dyskretyzacji T_p został dobrany na podstawie zależności

$$\frac{T_{p}}{T_{d}} = 0.1 \div 0.5$$

gdzie T_d jest stałą czasową części różniczkującej regulatora (w naszym przypadku T₃). Zatem T_p = 1 [s].

Transmitancja obiektu:

G_o_d =

Regulator w wersji dyskretnej został zamodelowany poprzez dyskretyzację jego wersji ciągłej przy uzyciu tych samych parametrów. Do dyskretyzacji części rózniczkującej zastosowano metodę prostokątów wstecz, do części całkującej - metodę biliniową.

Regulator w postaci równoległej oraz jego transmitancja:

PID_d =

Transmitancja otwartego układu regulacji:

G_ur_ot_d =

Transmitancja zamkniętego układu regulacji:

G_ur_z_d =

Otwarty układ regulacji w SS:

Zamknięty układ regulacji w SS:

Czasy regulacji dla obiektu oraz zamkniętego układu regulacji:

Obiekt	tr [s]
G_o_d	23
G_ur_z_d	41

4. Charakterystyki układów regulacji

Na podstawie uzyskanych w programie Matlab transmitancji układów regulacji wygenerowane zostały charakterystyki czasowe, częstotliwościowe oraz wykresy stabilności dla dwóch wariantów - modelu ciągłego oraz dyskretnego.

4.1 Model ciągły

Rozmieszczenie zer i biegunów

Charakterystyka skokowa:

Charakterystyka amplitudowa

4.2 Model dyskretny

Rozmieszczenie zer i biegunów

Charakterystyka skokowa:

Charakterystyka amplitudowa:

5. Wnioski

• Na podstawie otrzymanych czasów regulacji możemy wywnioskować, że zarówno dla modelu ciągłego, jak i dyskretnego obiekt regulacji był stabilny już przed wprowadzeniem regulatora do układu. Spełnienie warunku kompensacji dynamiki obiektu odbyło się w tym przypadku kosztem znacznego (niemal dwukrotnego) wydłużenia czasu regulacji. Po wprowadzeniu regulatora PID układy regulacji zachowały swoją stabilność.

• W przypadku modelu ciągłego warunek kompensacji dynamiki obiektu zostaje spełniony całkowicie. W przypadku modelu dyskretnego nie zachodzi całkowita kompensacja - dzieje się tak dlatego, że modelem pierwotnym był model ciągły i dla niego przeprowadzane były obliczenia. Model dyskretny powstał w wyniku dyskretyzacji modelu ciągłego przy zachowaniu parametrów regulatora.

• Warunek aperiodyczności procesu przejściowego został spełniony zarówno w układzie ciągłym, jak i w dyskretnym.

• Na podstawie charakterystyk amplitudowych możemy zauważyć, że pasmo przenoszenia kończy się przy wartości około 0.01 Hz. Na tej podstawie możemy wywnioskować, że powyższe układy regulacji nadają się wyłącznie do procesów wolnozmiennych.

• Parametrem mającym zasadniczy wpływ na szybkość działania układu regulacji jest zastępcza stała czasowa T_MZ. Przy zmniejszeniu wartości zastępczej stałej czasowej oraz okresu próbkowania o rząd wielkości czasy regulacji układu ciągłego oraz dyskretnego również zmniejszają się o rząd wielkości, a granica pasma przenoszenia zwiększa się do około 0.1 Hz.

  Załączniki:

• m-plik z modelami numerycznymi układów regulacji