Całki

1. ∫_a^b[f(x)+h(x)]dx =  ∫_a^bf(x)dx +  ∫_a^bh(x)dx

2. ∫_a^bc f(x)dx =  c ∫_a^bf(x)dx

3. ∫_a^bf(x)dx =  ∫_a^cf(x)dx +  ∫_c^bf(x)dx , gdzie c ∈(a, b)

4. ∫_a^bf(x)dx =   −  ∫_b^af(x)dx

5. ∫[α f(x)+ β g(x)]dx =  α∫f(x)dx +  β∫g(x) dx

6. ∫0 dx = C

7. $\int_{}^{}{x^{\text{n\ }}dx = \ \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\ \ }$

8. $\int_{}^{}{\frac{1}{x}dx = \ln\left| x \right| + C}\text{\ \ }$

9. $\int_{}^{}{a^{x}\ dx = \ \frac{a^{x}}{\ln\text{a\ }} + C}\text{\ \ }$

10. ∫e^xdx =  e^x + C

11. ∫sinx dx =   − cosx + C  

12. ∫cosx dx = sinx + C    

13. $\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x + C\ \ }$

14. $\int_{}^{}{\frac{\text{dx}}{1 + x^{2}} = arctg\ x\ }$

15. ∫u(x)v^′(x)dx = u(x)v(x) −  ∫u^′(x)v(x)dx

16. $\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln\left| f\left( x \right) \right| + C}$

17. $I_{n} = \int_{}^{}\frac{\text{dx}}{{(x^{2} + 1)}^{n}};\ \ \ I_{n} = \ \frac{x}{2(n - 1){(1 + x^{2})}^{n - 1}} + \ \frac{2n - 3}{2n - 2}\ I_{n - 1}$

18. $\int_{}^{}{\frac{\text{dx}}{\sqrt{x^{2} + k}} = \ln\left| x + \sqrt{x^{2} + k} \right| + C\ \ \ }$

19. $\int_{}^{}{\frac{\text{dx}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \arcsin{\frac{x}{|a|} + C\ \ \ }}$

20. $\int_{}^{}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}dx = \ \frac{a^{2}\arcsin\frac{x}{a}}{2} + \frac{\text{x\ }\sqrt{a^{2} + x^{2}}}{2} + C\ \ \ \ }$

21. $\int_{}^{}\sqrt{x^{2} + k}dx = \ \frac{1\ }{2}x\sqrt{x^{2} + k} + \ \frac{1}{2}k\ln\left| x + \ x^{2} + k \right| + C$

22. $\int_{}^{}{\frac{\text{dx}}{a^{2}\ + \ x^{2}} = \ \frac{1}{a}\text{arctg}\frac{x}{a} + C}$

23. $\int_{}^{}{\frac{\text{dx}}{a^{2} - \ x^{2}} = \ \frac{1}{2a}ln|\frac{x\ - \ a}{x + \ a}| + C}$

24. $\int_{}^{}{e^{\text{a\ x}}dx = \ }\frac{1}{a}\ e^{\text{a\ x}} + C$

25. ∫sinax dx =   − cosax + C  

26. ∫cosax dx = sinax + C    

27. $\int_{}^{}{\frac{\text{dx}}{ax + b} = \ \frac{1}{a}\ln\left| ax + b \right| + C}$

28. $I_{n} = \ \int_{}^{}{\sin^{n}x\ dx;\ \ I_{n} = \ - \frac{1}{n}}\sin^{n - 1}x\cos{x + \ \frac{n + 1}{n}\ I_{n - 2}}$

I twierdzenie główne rachunku całkowego

Jeżeli f jest R – całkowalna na przedziale [a,b], i α ∈ [a, b], to funkcja F określona F(x)=∫_α^xf(x)dx ma pochodną F’(x)=f(x), czyli

$$\frac{d}{\text{dx}}\int_{\alpha}^{x}{f\left( x \right)dx = f(x)}$$

II twierdzenie główne rachunku całkowego

Jeżeli f(x) jest ciągła na przedziale [a,b], a F(x) jest jakąkolwiek pierwotną dla f(x) na tym przedziale, to

∫_a^bf(x)dx = F(b) − F(a)

Funkcję pierwotną F(x) nazywamy całką nieoznaczoną i oznaczamy ∫f(x)dx.

Całkowanie funkcji wymiernych $\frac{\mathbf{P(x)}}{\mathbf{Q(x)}}$

Uwaga: Jeśli dep(P(x))>=dep(Q(x)), to wykonujemy dzielenie $\frac{P(x)}{Q(x)} = D\left( x \right) + \frac{R(x)}{Q(x)}$, gdzie dep(R(x))<dep(Q(x)), czyli możemy przyjąć, że dep(P(x))<dep(Q(x))

• Całkowanie ułamków prostych I rodzaju

$$\int_{}^{}{\frac{A}{{(x - a)}^{n}}dx = A\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{(1 - n){(x - a)}^{n - 1}} + C,\ n \neq 1 \\ \ln\left| x - a \right| + C,\ n = 1 \\ \end{matrix} \right.\ }$$

• Całkowanie ułamków prostych II rodzaju

Korzystając z wzoru 16 rozbić na dwie całki, jedna taka jak we wzorze, druga po wyciągnięciu stałej przed całkę przyjmuje postać:

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{{(x - p)}^{2} + q}$, wykonujemy podstawienia x-p=$\sqrt{q}\text{\ t}$.

Całkowanie wyrażeń trygonometrycznych

Stosujemy podstawienie t = tg$\frac{x}{2};\ \sin{x = \ \frac{2t}{1 + t^{2}}}\ ;\cos{x = \ \frac{1 - \ t^{2}}{1\ + \ t^{2}};\ \ \ dx = \frac{2\ dt}{1 + \ t^{2}}}.$

Lub podstawienie $t = tg\ x;\ \sin^{2}x = \ \frac{t^{2}}{1 + \ t^{2}};\ \cos^{2}x = \ \frac{1}{1 + \ t^{2}};$

$dx = \ \frac{\text{dt}}{1 + \ t^{2}};\operatorname{\ sin}{x\cos{x = \ \frac{t}{1 + \ t^{2}}}}$.

Przypadek

I =  ∫sin^kx cos^lx dx;  k=2n + 1 (lub l nieparzyste, wtedy analogicznie)

I =   − ∫sin²ⁿxcos^lx(−sinx)dx =  

|t = cosx; dt = −sinx dx|−∫t^l(1 − t²)ⁿdt

Przypadek

∫sin^kx cos^lx dx, gdzie k i l są parzyste

Stosujemy: $\sin^{2}\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2};\ \cos^{2}\frac{x}{2} = \ \frac{1 + \cos x}{2}$

Pole trapezu krzywoliniowego

P = ∫_a^bf_g(x) − f_d(x)dx, gdzie x∈[a,b],  

f_g(x) − wzor krzywej ograniczajacej figure od gory,

 f_d(x) − wzor krzywej ograniczajacej figure od dolu;

Pole ograniczone krzywą zadaną parametrycznie

x=x(t); y=y(t); t∈[t₁, t_2]

P = ∫_t1^t₂|y(t)||x^′(t)|dt

Pole wycinka krzywoliniowego

r = r(φ)

P = $\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}{r^{2}\left( \varphi \right)\text{dφ}}$

Długość krzywej

1. dla krzywej zadanej parametrycznie

x=x(t); y=y(t); t∈[t₁, t₂]

$$\left| l \right| = \ \int_{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt{{\lbrack x'\left( t \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack y^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2}}\text{\ dt}}$$

1. dla krzywej zadanej jawnie

y=y(x); x∈[a, b]

$$\left| l \right| = \ \int_{a}^{b}{\sqrt{1 + \ {\lbrack y^{'}\left( x \right)\rbrack}^{2}\ }\text{dx}}$$

1. dla krzywej zadanej biegunowo

r = r(φ); φ ∈ [α, β]

$$\left| l \right| = \ \int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{{\lbrack r\left( \varphi \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack r^{'}\left( \varphi \right)\rbrack}^{2}}\text{\ dφ}}$$

Masa krzywej

$l:\left\{ \begin{matrix} x = x(t) \\ y = y(t) \\ \end{matrix} \right.\ $; t ∈ [t₁, t₂]; gęstość ρ(x, y)

$$m = \ \int_{t_{1}}^{t_{2}}{\rho\left( x\left( t \right),y\left( t \right) \right)\sqrt{\left\lbrack x^{'}\left( t \right) \right\rbrack^{2} + \ \left\lbrack y^{'}\left( t \right) \right\rbrack^{2}\ }\text{dt}}$$

Całka krzywoliniowa na płaszczyźnie nieskierowanej

x=x(t); y=y(t); t ∈ [t₁, t₂];

$$\int_{l}^{}{f\left( x,y \right)dl = \ }\int_{t_{1}}^{t_{2}}{f(x\left( t \right),y\left( t \right))\sqrt{{\lbrack x'\left( t \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack y^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2}}}\text{\ dt}$$

Całka krzywoliniowa w przestrzeni

x=x(t); y=y(t); z=z(t); t ∈ [t₁, t₂];

$$\int_{l}^{}{f\left( x,y,z \right)dl = \ }\int_{t_{1}}^{t_{2}}{f(x\left( t \right),y\left( t \right),z(t))\sqrt{{\lbrack x'\left( t \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack y^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack z^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2}}}\text{\ dt}$$

Objętość bryły obrotowej

y=y(x)

V =  ∫_a^bπ y² dx

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej

x=x(t); y=y(t);

$$P = \ \int_{t_{1}}^{t_{2}}{2\ \pi\ y\sqrt{{\lbrack x'\left( t \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack y^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2}}}\text{\ dt}$$

Całka niewłaściwa

1. całka z funkcji nieograniczonej

∫₀¹f(x)dx ∫_A¹f(x)dx , gdzie f(x) to funkcja nieograniczona

1. całka na przedziale nieograniczonym

∫_−∞⁰f(x)dx =  ∫_A⁰f(x)dx

Szeregi liczbowe

Ciąg (S_n) nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$.

Wyrazy tego ciągu nazywamy sumami częściowymi.

Szereg nazywamy zbieżnym jeśli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej. W przeciwnym razie szereg nazywamy rozbieżnym.

Granicę S_n nazywamy sumą szeregu.

1. $\text{k\ }\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n} \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{k\ }a_{n}}\ }$

2. $\sum_{n = 1}^{\infty}{(a_{n} + \ b_{n}) \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n} + \ \sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}}}$

Jeżeli szeregi $\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{\text{n\ }}\text{\ i\ \ }\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}}$ są zbieżne oraz ich sumy wynoszą odpowiednio A i B, to $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{k\ }a_{n} = k\ A\ \ oraz\ \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\left( a_{n} + \ b_{n} \right) = A + B}}$.

Warunek konieczny zbieżności (niewystarczający)

Jeżeli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny to a_n = 0.

Kryteria zbieżności

1. Kryterium porównawcze

Jeżeli wyrazy szeregów $\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{\text{n\ }}\text{\ i\ \ }\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}}$ są niewymierne, a ponadto a_n≤b_n dla n≥n₀, to

• Zbieżność szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ implikuje zbieżność $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$

• Rozbieżność szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ implikuje rozbieżność $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$

Uwaga:

Do kryterium porównawczego często stosujemy tzw. szereg Dirichleta

$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}$, który jest zbieżny dla α > 1 , rozbieżny dla α ≤ 1.

1. Kryterium d’Alemberta

Jeżeli istnieje granica (właściwa lub nie) $\operatorname{}{\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = g}$, to szereg o wyrazach nieujemnych $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny dla g < 1, rozbieżny dla g > 1.

1. Kryterium Cauchy’ego

Jeżeli istnieje granica (właściwa lub nie) $\operatorname{}{\sqrt[n]{a_{n}} = g}$, to szereg o wyrazach nieujemnych $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny g < 1, rozbieżny g > 1.

1. Kryterium całkowe

Niech n₀∈N_. Jeżeli f(x) jest nierosnąca i nieujemna w przedziale [n₀,∞], to całka

$\int_{n_{0}}^{\infty}{f\left( x \right)\text{dx\ \ }\text{oraz\ szereg}\ \sum_{n = n_{0}}^{\infty}{f(n)}}$ są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

1. Kryterium Leibniza

Jeśli ciąg (a_n) jest nierosnący oraz a_n = 0,   to szereg naprzemienny 

$\sum_{n = 1}^{\infty}{{( - 1)}^{n + 1}a_{n}}\ \ jest\ zbiezny$.

Szereg zbieżny $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli $\sum_{n = 1}^{\infty}{{|a}_{n}|}$ jest zbieżny oraz warunkowo zbieżnym jeśli $\sum_{n = 1}^{\infty}{{|a}_{n}|}$ jest rozbieżny.

Jeżeli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}{{|a}_{n}|}$ jest zbieżny to $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny.

Szeregi potęgowe

$$\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}\ {(x - x_{0})}^{n}}$$

Można go sprowadzić do:

$$\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}\text{\ x}}^{n}$$

Ważne, by określić dla jakich x-ów ten szereg jest zbieżny (tzw. wyznaczenie promienia zbieżności).

Jeśli istnieje granica $\operatorname{}{\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \ \lambda}$, to promień zbieżności szeregu $\backslash n\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}\text{\ x}}^{n}$ jest następujący:

$$R = \ \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{\lambda}\ dla\ \lambda \neq 0,\ \lambda \neq \infty \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \lambda = \infty \\ \infty\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \lambda = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Uwaga:

Szereg $\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}\text{\ x}}^{n}$ jest bezwzględnie zbieżny dla dowolnego x∈(−R,R)oraz rozbiezny dla dowolnego x ∈ (−∞,−R) ∪ (R,∞).

Uwaga 2:

Promień zbieżności można też obliczyć wyznaczając $\lambda = \ \operatorname{}\sqrt[n]{|a_{n}|}$.

Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności (x∈(−R, R)), to

$$\int_{0}^{x}{\left( \sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}\ t^{n}} \right)dt = \ \sum_{n = 0}^{\infty}\left( \int_{0}^{x}{a_{n}\text{\ t}^{n}\text{\ dt}} \right)}$$

Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego

Jeżeli x należy to wnętrza przedziału zbieżności, to

$$\frac{d}{\text{dx}}\left( \sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}\ x^{n}} \right) = \ \sum_{n = 0}^{\infty}{{(a}_{n}\ x^{n})}^{'}$$