Indeksy proste

„Zasoby” - to zjawiska na określony moment czasowy (dzień) np. liczba ludności, zasoby pieniężne

„Strumienie” - to zjawiska w określonym przedziale czasowym (miesiąc, kwartał, rok) np. liczba urodzeń

1. Średni poziom badanego zjawiska

• w szeregach czasowych okresów to średnia arytmetyczna
  

• w szeregach czasowych momentów to średnia chronologiczna

2. Wskaźniki dynamiki (tzw. indeksy)

• indeksy jednopodstawowe (indeksy o podstawie stałej)

• indeksy łańcuchowe (indeksy o podstawie zmiennej) - ukazują względne zmiany z okresu na okres

• tempo przyrostu (tzw. względny przyrost łańcuchowy, krótko tempo)

=

• średnie tempo
  ,
  

gdzie:
- średni indeks to średnia geometryczna z indeksów łańcuchowych

• Prognoza w oparciu o indeksy:
  ,

3. Zależności między indeksami

• zamiana indeksów łańcuchowych na indeksy jednopodstawowe

• zamiana indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe

• zamiana podstawy porównań (okresu podstawowego) w indeksach jednopodstawowych

Uwaga: wszystkie działania na indeksach wykonujemy na ułamkach !!!

Indeksy agregatowe

p - cena

q - ilość (rozmiar) danej wielkości fizycznej

- wartość

t - okres badany, 0 - okres podstawowy

to wartość wszystkich składników agregatu np.

- | | - - | | - - | | - w okresie badanym, w cenach z okresu badanego,

- | | - - | | - - | | - w okresie podstawowym, w cenach z okresu podstawowego,

1. Agregatowy indeks wartości:
   .

Int. Wartość agregatu w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym zmieniła się (wzrosła/spadła) o .... % na skutek zmian zarówno cen i ilości.

2. 
   Agregatowy indeks cen:
   
   

Agregatowy indeks cen Laspeyrensa: Int. pokazuje, o ile przeciętnie zmieniły się ceny przy założeniu stałych ilości z okresu podstawowego.

Agregatowy indeks cen Paaschego: Int. pokazuje, o ile przeciętnie zmieniły się ceny przy założeniu stałych ilości z okresu badanego.




Int. pokazuje o ile procent zmieni się wartość agregatu na skutek zmian cen przy założeniu stałych ilości z okresu podstawowego.

Int. pokazuje o ile procent zmieni się wartość agregatu na skutek zmian cen przy założeniu stałych ilości z okresu badanego.




3. 
   Agregatowy indeks ilości:
   

Agregatowy indeks ilości Laspeyrensa Int. pokazuje, o ile przeciętnie zmieniły się rozmiary (ilość) agregatu przy założeniu stałych cen z okresu podstawowego. Int. pokazuje o ile procent zmieniłaby się wartość agregatu na skutek zmian ilości przy założeniu stałych cen z okresu podstawowego.

Agregatowy indeks ilości Paaschego Int. pokazuje, o ile przeciętnie zmieniły się rozmiary (ilość) agregatu przy założeniu stałych cen z okresu badanego. Int. pokazuje o ile procent zmieniłaby się wartość agregatu na skutek zmian ilości przy założeniu stałych cen z okresu badanego.

4. Indeksy Fishera:
   

5. Równość indeksowa:


Funkcje trendu

Liniowa funkcja trendu:


„b” - współczynnik zmian w czasie

Int. „b” W okresie od ... do ... poziom zjawiska Y wzrastał (b>0) [malał (b<0)] z okresu na okres przeciętnie o b jednostek.

„a” - wyraz wolny

Int. „a” W okresie t=0 poziom zjawiska Y wynosił teoretycznie a jednostek.

Nieliniowe funkcje trendu:

1. Wykładnicza funkcja trendu (tryb Exp)
   

(z kalkulatora odczytujemy B, a interpretujemy b=
)

Int. „b” Z okresu na okres występowały zmiany zjawiska Y średnio o (b-1)100%

Int. „a” W okresie t=0 poziom badanego zjawiska Y wynosił teoretycznie a jednostek.

2. Potęgowa funkcja trendu (tryb PWR)
   

Int. „b” Z upływem czasu o 1% okresu poziom zjawiska Y wzrastał (b>0) [malał (b<0)] średnio o b%

Int. „a” W okresie t=1 poziom badanego zjawiska Y wynosił teoretycznie a jednostek.

3. Hiperboliczna funkcja trendu (tryb …….)
   

Int. Jeżeli b>0, to poziom zjawiska Y maleje do nieprzekraczalnego-minimalnego poziomu a.

Int. Jeżeli b<0, to poziom zjawiska Y rośnie do nieprzekraczalnego-maksymalnego poziomu a.

Miary dopasowania funkcji trendu do danych empirycznych.

1. Współczynnik zbieżności (indeterminancji):
   

Int.
² W ................. zmiany w poziomie .......................................... nie zostały wyjaśnione upływem czasu (nie zostały wyjaśnione przez liniową funkcję trendu).

2. Współczynnik determinancji
   

Int. R² W .................. zmiany w poziomie ........................................... zostały wyjaśnione upływem czasu (zostały wyjaśnione przez liniową funkcję trendu).

3. Wariancja resztowa


gdzie, różnicę
nazywamy resztą

4. Standardowy błąd szacunku
   

Int. Se Rzeczywisty poziom ....................................... odchyla się od teoretycznego wyznaczonego za pomocą funkcji trendu średnio o ...................................

Testy istotności dla współczynnika korelacji liniowej


(zmienne są nie skorelowane, X nie wpływa istotnie statystycznie na Y)



0 (lub <,>) (zmienne są skorelowane, X wpływa istotnie statystycznie na Y)

Test t
,


Test F



Test współczynnika korelacji liniowej Pearsona


Test istotności współczynnika korelacji rang Spearmana


(zmienne są nie skorelowane, X ...................... istotnie statystycznie na Y)



0 (zmienne są skorelowane, X ........................istotnie statystycznie na Y)

Test t
,


Test niezależności



zmienne X, Y są niezależne
zmienne X, Y są zależne


,



,



(lub
) tzw. poprawkę Yates'a

gdzie:
; n - liczba par obserwacji,
- liczebności empiryczne (z próby),
- liczebności teoretyczne tzn. są to liczebności,
-suma wiersza,
-suma kolumny

Test istotności współczynnika (regresji) zmian w czasie



to współczynnik zmian w czasie w populacji




Test t:
, „r” to współczynnik korelacji liniowej Pearsona


(odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta)

Test F:


Test liniowości regresji


(zależność pomiędzy zmienną Y i X jest liniowa)


(zależność pomiędzy zmienną Y i X nie jest liniowa)

Statystyka K (liczba serii),
;


"a" (gdy
>0), "b" (gdy
<0), wartości
=0 pomijamy.

Tablica analizy wariancji dla weryfikacji współczynnika regresji

Sumy kwadratów zmienności	Stopnie swobody	Estymator wariancji	Statystyka testowa
SKC =	n-1
SKW =	k-1
SKN=	n-k

n-liczba pomiarów, k-liczba parametrów funkcji regresji.

Sezonowość

Sezonowość bez trendu

1. Średnie jednoimienne (tzw. surowe wskaźniki sezonowości):
   

Int. Przeciętny poziom zjawiska w i-tym okresie jednoimiennym wynosi


2. Absolutne (addytywne) wskaźniki sezonowości:
   

Int: W "i-tym" okresie jednoimiennym średni poziom zjawiska różni się od przeciętnego poziomu zjawiska średnio o
jednostek.

Uwaga: Suma absolutnych wskaźników sezonowości jest równa zero (
).

3. Względne (multiplikatywne) wskaźniki sezonowości:
   

Int: W "i-tym" okresie jednoimiennym średni poziom zjawiska różni się od przeciętnego poziomu zjawiska średnio o
%.

Uwaga: Suma względnych wskaźników sezonowości jest równa liczbie okresów jednoimiennych d (d*100%) (
)

4. Ocena wahań sezonowych dla sezonowości bez trendu

Przyjmujemy, że wartościami teoretycznymi są odpowiednie średnie jednoimienne


	Zmienności w czasie badanego zjawiska nie jest wyjaśniona przez sezonowość w …………..%.
	Zmienności w czasie badanego zjawiska jest wyjaśniona przez sezonowość w …………..%.
	Wartości empiryczne odchylają się od odpowiednich średnich jednoimiennych przeciętnie o ……………….
	Natężenie wahań przypadkowych jest ……………… (Wartości empiryczne odchylają się od odpowiednich średnich jednoimiennych przeciętnie o ……………….%)

5. Prognoza w oparciu o sezonowość bez trendu:


Sezonowość z trendem

1. Wskaźniki sezonowości multiplikatywnej (surowe):
   

Jeżeli
, to wyznaczamy wskaźniki skorygowane:
;

Int.:
opisuje o ile % średnio różni się poziom zjawiska w poszczególnych okresach jednoimiennych od poziomu wyznaczonego z funkcji trendu.

2. Wskaźniki sezonowości addytywnej (surowe):
   

Jeżeli
, to wyznaczamy wskaźniki skorygowane:


Int:
opisuje o ile średnio różni się poziom zjawiska w poszczególnych okresach jednoimiennych od poziomu wyznaczonego z funkcji trendu.

3. Miary dobroci dopasowania:

Liniowa funkcja trendu


Trend i sezonowość multiplikatywna


Trend i sezonowość addytywna


	Zmienności w czasie badanego zjawiska nie jest wyjaśniona przez tendencję rozwojową i sezonowość w …………..%.
	Zmienności w czasie badanego zjawiska jest wyjaśniona przez tendencję rozwojową i sezonowość w …………..%.
	Wartości empiryczne odchylają się od poziomu funkcji trendu i odpowiednich wskaźników sezonowości (multiplikatywnej/addytywnej) przeciętnie o ……………….
	Natężenie wahań przypadkowych jest ……………… (Wartości empiryczne odchylają się od poziomu wyznaczonego przez tendencję rozwojową i odpowiednie wskaźniki sezonowości (multiplikatywne/addytywne) przeciętnie o ……………….%)

4. Prognoza w oparciu o tendencję rozwojową i sezonowość:
   

Analiza szeregów czasowych Strona 1

L P

0 t

L P

0 t

---