1

Analiza szereg

Analiza szereg

ó

ó

w czasowych i analiza indeksowa

w czasowych i analiza indeksowa

Analiza  szeregów  czasowych  jest  badaniem  zmienno

ś

ci  pewnych  cech  statystycznych  w 

czasie. Odpowiada na pytanie: Jak przedstawia si

ę

dynamika pewnych zjawisk w czasie.

Za  pomoc

ą

analizy  szeregów  czasowych  mo

Ŝ

emy  próbowa

ć

odpowiedzie

ć

na  dwa 

podstawowe pytania:

Zjawiska zło

Ŝ

one nie mog

ą

by

ć

sumowane a jedynie wyra

Ŝ

ane warto

ś

ciowo, 

jednorodne mog

ą

by

ć

sumowane gdy

Ŝ

s

ą

wyra

Ŝ

one w konkretnych jednostkach.

Jak zmienia si

ę

obserwowane zjawisko w czasie? 

→

Analiza indeksowa

Dlaczego  zmienia  si

ę

ono  w  czasie  w  okre

ś

lony  sposób? 

→

Przyczyny 

składaj

ą

ce si

ę

na dynamik

ę

zjawisk.

Analiza indeksowa słu

Ŝ

y 

opisowi zmienno

ś

ci zjawisk w 

czasie:

Indeksy jednorodne
(dynamika zjawisk jednorodnych np.: waga, 
cena, ilo

ść

w kilogramach)

Indeksy agregatowe
(dynamika zjawisk zło

Ŝ

onych np.: warto

ś

ci).

2

Analiza szereg

Analiza szereg

ó

ó

w czasowych: Analiza indeksowa

w czasowych: Analiza indeksowa

Przyrost absolutny informuje o ile jednostek zmienił si

ę

poziom badanego zjawiska 

w  okresie  badanym  (t=1)  w  porównaniu  z  okresem  podstawowym  (t=0)  i  mo

Ŝ

emy 

okre

ś

li

ć

go w nast

ę

puj

ą

cy sposób:

∆

y=y

1

-y

0  

gdzie:

y

1

– poziom zjawiska w okresie badanym

y

0

– poziom zjawiska w okresie podstawowym (stanowi

ą

cym punkt odniesienia) 

Dynamika  zjawisk  jednorodnych  mo

Ŝ

e  by

ć

najpro

ś

ciej  opisana  przez  przyrost 

absolutny b

ą

d

ź

przyrost wzgl

ę

dny.

Przyrost wzgl

ę

dny wyra

Ŝ

a te zmiany relatywnie i informuje w jakim stopniu zmienił

si

ę

poziom zjawiska w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym.

Wyra

Ŝ

one za pomoc

ą

indeksów

1

1

0

1

0

0

1

0

−

=

−

=

−

=

∆

=

y

y

i

y

y

y

y

y

y

y

T

gdzie:

0

1

y

y

i

y

=

i

y

=1 – poziom zjawiska nie 

uległ zmianie 

i

y

<1 – poziom zjawiska obni

Ŝ

ył

si

ę

i

y

>1 – poziom zjawiska 

podniósł si

ę

3

Analiza szereg

Analiza szereg

ó

ó

w czasowych: 

w czasowych: 

Przyk

Przyk

ł

ł

ad warto

ad warto

ś

ś

ci bezwzgl

ci bezwzgl

ę

ę

dnych

dnych

4

Analiza indeksowa: indeksy proste

Analiza indeksowa: indeksy proste

Obserwuj

ą

c  dynamik

ę

jakiego

ś

zjawiska  w  dłu

Ŝ

szym  okresie,  składaj

ą

cym  si

ę

z 

wi

ę

kszej  liczby  podokresów  lub  momentów  czasu  mo

Ŝ

emy  wyrazi

ć

zaistniałe 

zmiany  ci

ą

giem  indeksów.  Je

ś

li  punktem  odniesienia  jest  jeden  wybrany  okres  lub 

moment  czasu  to  uzyskuje  si

ę

ci

ą

g  indeksów  o  stałej  podstawie  zwanych 

indeksami jednopodstawowymi:

1

1

4

1

3

1

2

,......,

,

,

,

1

y

y

y

y

y

y

y

y

n

Je

ś

li punktem odniesienia w ocenie zmian jest natomiast zawsze okres lub moment 

wcze

ś

niejszy  od  ocenianego  to  uzyskuje  si

ę

indeksy  o  zmiennej  podstawie  zwane 

indeksami ła

ń

cuchowymi:

1

3

4

2

3

1

2

,......,

,

,

−

n

n

y

y

y

y

y

y

y

y

5

Analiza szereg

Analiza szereg

ó

ó

w czasowych:

w czasowych:

Przyk

Przyk

ł

ł

ad indeks

ad indeks

ó

ó

w 

w 

ł

ł

a

a

ń

ń

cuchowych i jednopodstawowych

cuchowych i jednopodstawowych

6

TESCO dezodoranty m

ę

skie firmy X

(styczne

ń

 2003 - grudzie

ń

 2004)

0

50000

100000

150000

200000

250000

s

ty

c

z

e

ń

lu

ty

m

a

rz

e

c

k

w

ie

c

ie

ń

m

a

j

c

z

e

rw

ie

c

li

p

ie

c

s

ie

rp

ie

ń

w

rz

e

s

ie

ń

p

a

ź

d

z

ie

rn

ik

li

s

to

p

a

d

g

ru

d

z

ie

ń

s

ty

c

z

e

ń

lu

ty

m

a

rz

e

c

k

w

ie

c

ie

ń

m

a

j

c

z

e

rw

ie

c

li

p

ie

c

s

ie

rp

ie

ń

w

rz

e

s

ie

ń

p

a

ź

d

z

ie

rn

ik

li

s

to

p

a

d

g

ru

d

z

ie

ń

s

z

tu

k

i

ilo

ść

 w sztukach

Analiza indeksowa: Przyk

Analiza indeksowa: Przyk

ł

ł

ad

ad

7

TESCO dezodoranty m

ę

skie firmy X

(styczne

ń

 2003 - grudzie

ń

 2004)

0

50000

100000

150000

200000

250000

s

ty

c

z

e

ń

lu

ty

m

a

rz

e

c

k

w

ie

c

ie

ń

m

a

j

c

z

e

rw

ie

c

li

p

ie

c

s

ie

rp

ie

ń

w

rz

e

s

ie

ń

p

a

ź

d

z

ie

rn

ik

li

s

to

p

a

d

g

ru

d

z

ie

ń

s

ty

c

z

e

ń

lu

ty

m

a

rz

e

c

k

w

ie

c

ie

ń

m

a

j

c

z

e

rw

ie

c

li

p

ie

c

s

ie

rp

ie

ń

w

rz

e

s

ie

ń

p

a

ź

d

z

ie

rn

ik

li

s

to

p

a

d

g

ru

d

z

ie

ń

s

z

tu

k

i

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

in

d

e

k

s

ilo

ść

 w sztukach

indeks jednopodstawowy

Analiza indeksowa: Przyk

Analiza indeksowa: Przyk

ł

ł

ad

ad

8

TESCO dezodoranty m

ę

skie firmy X

(styczne

ń

 2003 - grudzie

ń

 2004)

0

50000

100000

150000

200000

250000

s

ty

c

z

e

ń

lu

ty

m

a

rz

e

c

k

w

ie

c

ie

ń

m

a

j

c

z

e

rw

ie

c

li

p

ie

c

s

ie

rp

ie

ń

w

rz

e

s

ie

ń

p

a

ź

d

z

ie

rn

ik

li

s

to

p

a

d

g

ru

d

z

ie

ń

s

ty

c

z

e

ń

lu

ty

m

a

rz

e

c

k

w

ie

c

ie

ń

m

a

j

c

z

e

rw

ie

c

li

p

ie

c

s

ie

rp

ie

ń

w

rz

e

s

ie

ń

p

a

ź

d

z

ie

rn

ik

li

s

to

p

a

d

g

ru

d

z

ie

ń

s

z

tu

k

i

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

in

d

e

k

s

ilo

ść

 w sztukach

indeks ła

ń

cuchowy

indeks jednopodstawowy

Analiza indeksowa: Przyk

Analiza indeksowa: Przyk

ł

ł

ad

ad

9

Ś

rednie tempo zmian wyznaczamy za pomoc

ą ś

redniej geometrycznej :

Indeksy proste: 

Indeksy proste: 

ś

ś

rednie tempo zmian

rednie tempo zmian

PRZYKŁAD:

O ile  procent  zmieni

ł

a  si

ę

liczba  cudzoziemców  studiuj

ą

cych  w  Polsce  w  roku  2004  w 

porównaniu z rokiem 1998.

1

0

1

1

1

1

1

/

−

−

−

−

=

−

=

=

∏

n

n

n

n

t

t

t

y

y

i

i

t

i

1

−

=

t

t

t

y

y

i

- Indeks ła

ń

cuchowy wyznaczony jako: 

6

,

1

08

,

1

09

,

1

13

,

1

03

,

1

07

,

1

09

,

1

1998

/

1999

1999

/

2000

2000

/

2001

2001

/

2002

2002

/

2003

2003

/

2004

1998

/

2004

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

i

i

i

i

i

i

i

1,09

1,07

1,03

1,13

1,09

1,08

1,02

1,03

1,02

1

indeksy ła

ń

cuchowe

(rok poprzedni=1)

1,7

1,56

1,46

1,42

1,26

1,16

1,07

1,05

1,02

1

indeksy jednopodstawowe
(1995=1)

5100

4680

4380

4260

3780

3480

3210

3150

3060

3000

Liczba cudzoziemców 

2004

2003

2002

2001

2000

1999

1998

1997

1996

1995

Rok 

%

60

1

6

,

1

  

6

,

1

3210

5100

=

−

=

=

=

t

y

i

T

6

,

1

07

,

1

:

7

,

1

:

1995

/

1998

1998

/

2004

1998

/

2004

=

=

=

i

i

i

10

Wyznaczy

ć ś

rednie tempo zmian w latach 2000 – 1998.

PRZYKŁAD CD:

1,09

1,07

1,03

1,13

1,09

1,08

1,02

1,03

1,02

1

indeksy ła

ń

cuchowe

(rok poprzedni=1)

1,7

1,56

1,46

1,42

1,26

1,16

1,07

1,05

1,02

1

indeksy jednopodstawowe
(1995=1)

5100

4680

4380

4260

3780

3480

3210

3150

3060

3000

Liczba cudzoziemców 

2004

2003

2002

2001

2000

1999

1998

1997

1996

1995

Rok 

Indeksy proste: 

Indeksy proste: 

ś

ś

rednie tempo zmian

rednie tempo zmian

8%

100%

1)

-

(1,08

r

   

08

,

1

6

,

1

07

,

1

:

7

,

1

6

1

7

=

∗

=

=

=

=

−

g

i

%

7

%

100

)

1

07

,

1

(

r

   

07

,

1

59

,

1

3210

5100

7

7

1998

/

2004

=

∗

−

=

=

=

=

i

%

8

%

100

)

1

08

,

1

(

r

 

1,08

59

,

1

08

,

1

09

,

1

13

,

1

03

,

1

07

,

1

09

,

1

6

6

1

7

1998

/

1999

1999

/

2000

2000

/

2001

2001

/

2002

2002

/

2003

2003

/

2004

1998

/

2004

=

∗

−

=

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

−

i

i

i

i

i

i

i

Warto

ś

ci absolutne

Indeksy ła

ń

cuchowe

Indeksy 
jednopodstawowe

11

Analiza indeksowa: indeksy z

Analiza indeksowa: indeksy z

ł

ł

o

o

Ŝ

Ŝ

one (agregatowe)

one (agregatowe)

Opis dynamiki zjawisk zło

Ŝ

onych dokonuje si

ę

za pomoc

ą

indeksów agregatowych. 

Jednym z takich indeksów jest indeks warto

ś

ci. Agreguje on ilo

ść

(q) oraz cen

ę

(p).

∑

∑

=

=

=

=

n

i

i

i

n

i

i

i

w

p

q

p

q

W

W

I

1

0

0

1

1

1

0

1

Warto

ść

i-tego  dobra  (przy  i=1,…,n)  w  okresie  badanym,  na  któr

ą

składa si

ę

jego ilo

ść

(q) oraz cena jednostkowa (p) w tym okresie

Warto

ść

i-tego  dobra  (przy  i=1,…,n)  w  okresie  podstawowym,  na 

któr

ą

składa  si

ę

jego  ilo

ść

na  którym  składa  si

ę

jego  ilo

ść

(q)  oraz 

cena jednostkowa (p) w tym okresie

Na zmiany warto

ś

ci mog

ą

składa

ć

si

ę

zmiany cen oraz ilo

ś

ci, z okresu na okres. 

Mo

Ŝ

emy  dlatego  zada

ć

pytanie  jak  zmieniłaby  si

ę

warto

ść

gdyby  ceny  nie  uległy 

zmianie  b

ą

d

ź

,  jak  zmieniłaby  si

ę

warto

ść

przy  zało

Ŝ

eniu  niezmienno

ś

ci  ilo

ś

ci 

sprzedawanych dóbr. 

W celu  okre

ś

lenia  takiego  wpływu  musimy  przyj

ąć

stabilno

ść

jednego  z  czynników 

czyli ceny albo ilo

ś

ci: 

12

Je

ś

li  przyjmiemy  stało

ść

jednego  z  czynników  na  poziomie  okresu 

podstawowego s

ą

to wówczas reguły indeksowe Laspeyers’a

Je

ś

li przyjmiemy stało

ść

jednego z czynników na poziomie okresu badanego s

ą

to wówczas reguły indeksowe Paaschego

Analiza indeksowa: indeksy z

Analiza indeksowa: indeksy z

ł

ł

o

o

Ŝ

Ŝ

one (agregatowe)

one (agregatowe)

Okres podstawowy 

(t=0)

Okres badany 

(t=1)

Stało

ść

cen b

ą

d

ź

ilo

ś

ci z t=0 na t=1

Reguły indeksowe Laspeyersa

Stało

ść

cen b

ą

d

ź

ilo

ś

ci z t=1 na t=0

Reguły indeksowe Paaschego

13

Analiza indeksowa: Regu

Analiza indeksowa: Regu

ł

ł

y indeksowe 

y indeksowe 

Laspeyersa

Laspeyersa

Z  reguły  indeksowe  Laspeyersa korzystamy  je

ś

li  chcemy  przyj

ąć

stało

ść

jednego  z 

czynników na poziomie okresu podstawowego.

i

n

i

qi

n

i

i

i

n

i

i

i

L

q

v

i

p

q

p

q

I

0

1

1

0

0

1

0

1

∗

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

i

pi

– indywidualny indeks ceny i-tego dobra

Wska

ź

nik struktury warto

ś

ci w okresie podstawowym okre

ś

laj

ą

cy udział warto

ś

ci i_tego dobra 

w całej warto

ś

ci z okresu podstawowego

∑

=

=

=

n

i

i

i

i

i

i

i

p

q

p

q

W

w

v

1

0

0

0

0

0

0

0

i

n

i

pi

n

i

i

i

n

i

i

i

L

p

v

i

p

q

p

q

I

0

1

1

0

0

1

1

0

∗

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

In

d

e

k

s

 i

lo

ś

c

i

In

d

e

k

s

 c

e

n

i

qi

– indywidualny indeks ilo

ś

ci i-tego dobra

Indeks  ten  wyra

Ŝ

a  hipotetyczne  zmiany  warto

ś

ci  przy 

zało

Ŝ

eniu  niezmienno

ś

ci  ilo

ś

ci  (q

0i

) poszczególnych 

dóbr w obu okresach i utrzymywaniu si

ę

ich na poziomie 

z okresu podstawowego.

Indeks  ten  wyra

Ŝ

a  hipotetyczne  zmiany  warto

ś

ci  przy 

zało

Ŝ

eniu niezmienno

ś

ci cen (p

0i

) poszczególnych dóbr 

w  obu  okresach  i  utrzymywaniu  si

ę

ich  na  poziomie  z 

okresu podstawowego.

Jest 

to 

wielko

ść

ś

rednia 

(arytmetyczna) 

z 

indywidualnych  indeksów  cen  poszczególnych  dóbr 
wa

Ŝ

onych struktur

ą

warto

ś

ci.

St

ą

d  okre

ś

la  on  przeci

ę

tn

ą

dynamik

ę

cen  przy 

przyj

ę

tych wy

Ŝ

ej zało

Ŝ

eniach.

Jest 

to 

wielko

ść

ś

rednia 

(arytmetyczna) 

z 

indywidualnych  indeksów  ilo

ś

ci  poszczególnych  dóbr 

wa

Ŝ

onych struktur

ą

warto

ś

ci.

St

ą

d  okre

ś

la  on  przeci

ę

tn

ą

dynamik

ę

ilo

ś

ci  przy 

przyj

ę

tych wy

Ŝ

ej zało

Ŝ

eniach.

14

Analiza indeksowa: Regu

Analiza indeksowa: Regu

ł

ł

y indeksowe 

y indeksowe 

Paaschego

Paaschego

Z  reguły  indeksowe  Paaschego korzystamy  je

ś

li  chcemy  przyj

ąć

stało

ść

jednego  z 

czynników na poziomie okresu badanego.

∑

=

=

=

n

i

i

i

i

i

i

i

p

q

p

q

W

w

v

1

1

1

1

1

1

1

0

i

pi

– indywidualny indeks ceny i-tego dobra

Wska

ź

nik  struktury  warto

ś

ci  w  okresie  badanym  okre

ś

laj

ą

cy  udział warto

ś

ci  i_tego dobra  w 

całej warto

ś

ci z okresu badanego

In

d

e

k

s

 i

lo

ś

c

i

In

d

e

k

s

 c

e

n

i

qi

– indywidualny indeks ilo

ś

ci i-tego dobra

Indeks  ten  wyra

Ŝ

a  hipotetyczne  zmiany  warto

ś

ci  przy 

zało

Ŝ

eniu  niezmienno

ś

ci  ilo

ś

ci  (q

1i

) poszczególnych 

dóbr w obu okresach i utrzymywaniu si

ę

ich na poziomie 

z okresu badanego.

Indeks  ten  wyra

Ŝ

a  hipotetyczne  zmiany  warto

ś

ci  przy 

zało

Ŝ

eniu niezmienno

ś

ci cen (p

0i

) poszczególnych dóbr 

w  obu  okresach  i  utrzymywaniu  si

ę

ich  na  poziomie  z 

okresu badanego.

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

n

i

qi

i

n

i

i

i

n

i

i

i

P

q

i

v

p

q

p

q

I

1

1

1

1

0

1

1

1

1

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

n

i

pi

i

n

i

i

i

n

i

i

i

P

p

i

v

p

q

p

q

I

1

1

1

0

1

1

1

1

1

Jest 

to 

wielko

ść

ś

rednia 

(harmoniczna) 

z 

indywidualnych  indeksów  cen  poszczególnych  dóbr 
wa

Ŝ

onych struktur

ą

warto

ś

ci okresu badanego.

St

ą

d,  okre

ś

la  on  przeci

ę

tn

ą

dynamik

ę

cen  przy 

przyj

ę

tych wy

Ŝ

ej zało

Ŝ

eniach.

Jest 

to 

wielko

ść

ś

rednia 

(harmoniczna) 

z 

indywidualnych  indeksów  ilo

ś

ci  poszczególnych  dóbr 

wa

Ŝ

onych struktur

ą

warto

ś

ci okresu badanego.

St

ą

d  okre

ś

la  on  przeci

ę

tn

ą

dynamik

ę

ilo

ś

ci  przy 

przyj

ę

tych wy

Ŝ

ej zało

Ŝ

eniach.

15

Analiza indeksowa: R

Analiza indeksowa: R

ó

ó

wno

wno

ś

ś

ci w regu

ci w regu

ł

ł

ach indeksowych

ach indeksowych

Je

ś

li  indeksy  cen  oraz  ilo

ś

ci  liczone  powy

Ŝ

szymi  regułami  nie  wykazuj

ą

wyra

ź

nych 

rozbie

Ŝ

no

ś

ci  w  dynamice  ilo

ś

ci  oraz  cen,  to  reguła  Fishera pozwala  ustali

ć

przeci

ę

tn

ą

dynamik

ę

tych kategorii bez odwoływania si

ę

do jakichkolwiek zało

Ŝ

e

ń

:

P

p

L

p

F

p

I

I

I

∗

=

P

q

L

q

F

q

I

I

I

∗

=

Przeci

ę

tna (geometryczna) dynamika ilo

ś

ci

Przeci

ę

tna (geometryczna) dynamika cen

Pomi

ę

dzy  wyznaczonymi  trzema  grupami  reguł indeksowych  zachodzi  relacja  zwana 

równo

ś

ci

ą

indeksow

ą

:

F

q

F

p

P

p

L

q

P

q

L

p

w

I

I

I

I

I

I

I

∗

=

∗

=

∗

=

16

Analiza indeksowa: Przyk

Analiza indeksowa: Przyk

ł

ł

adowe zadanie

adowe zadanie

Produkcja  pewnego  przedsi

ę

biorstwa  skupiona  jest  w  trzech  zakładach 

produkcyjnych: A (produkuje dzianin

ę

), B (produkuje dresy), C (produkuje włóczk

ę

). 

Poni

Ŝ

sza tabela przedstawia dane odno

ś

nie produkcji zakładów i cen rynkowych  w 

dwóch kolejnych latach 1991 oraz 1992.

1992 – okres badany (t=1)

1991 – okres podstawowy (t=0)

1 kg włóczki: 
40 PLN

15 tys. kg włóczki

1 kg 
włóczki: 20 
PLN

20 tys. kg włóczki

C

1 dres: 80 
PLN

20 tys. sztuk 
dresów

1 dres: 60 
PLN

10 tys. sztuk 
dresów

B

Metr 
dzianiny:  45 
PLN

50 tys. metrów 
dzianiny

Metr 
dzianiny: 35 
PLN

50 tys. metrów 
dzianiny

A

Ceny

Produkcja

Ceny

Produkcja

Zakład

Zanalizowa

ć

dynamik

ę

cen, ilo

ś

ci oraz warto

ś

ci oraz oceni

ć

znaczenie zmian cen oraz 

ilo

ś

ci dla dynamiki warto

ś

ci sprzeda

Ŝ

y w latach 1991-1992

17

Analiza indeksowa: Przyk

Analiza indeksowa: Przyk

ł

ł

adowe zadanie

adowe zadanie

1 kg włóczki: 40 PLN

15 tys. kg włóczki

1 kg włóczki: 20 
PLN

20 tys. kg włóczki

C

1 dres: 80 PLN

20 tys. sztuk dresów

1 dres: 60 PLN

10 tys. sztuk dresów

B

Metr  dzianiny:  45 
PLN

50 tys. metrów 
dzianiny

Metr  dzianiny:  35 
PLN

50 tys. metrów 
dzianiny

A

Ceny 1992

Produkcja 1992

Ceny 1991

Produkcja 1991

Zakład

Obliczamy: 

i

qA

=50/50=1

i

qB

=20/10=2

i

qC

=15/20=0,75

i

pA

=45/35=1,29

i

pB

=80/60=1,33

i

pC

=40/20=2

indeksy cen

indeksy ilo

ś

ci

Indeks warto

ś

ci

∑

∑

=

=

=

=

n

i

i

i

n

i

i

i

w

p

q

p

q

W

W

I

1

0

0

1

1

1

0

1

62

,

1

2750

4450

20

*

20

60

*

10

35

*

50

40

*

15

80

*

20

45

*

50

=

=

+

+

+

+

=

w

I

18

Analiza indeksowa: Przyk

Analiza indeksowa: Przyk

ł

ł

adowe zadanie

adowe zadanie

1992 (t=1)

1991 (t=0)

1 kg włóczki: 40 PLN

15 tys. kg włóczki

1 kg włóczki: 20 
PLN

20 tys. kg włóczki

C

1 dres: 80 PLN

20 tys. sztuk dresów

1 dres: 60 PLN

10 tys. sztuk dresów

B

Metr  dzianiny:  45 
PLN

50 tys. metrów 
dzianiny

Metr  dzianiny:  35 
PLN

50 tys. metrów 
dzianiny

A

Ceny

Produkcja

Ceny

Produkcja

Zakład

Wska

ź

niki struktury warto

ś

ci sprzeda

Ŝ

y

14

,

0

2750

400

2750

20

*

20

22

,

0

2750

600

2750

60

*

10

64

,

0

2750

1750

2750

35

*

50

0

0

0

=

=

=

=

=

=

=

=

=

C

B

A

v

v

v

13

,

0

4450

600

4450

40

*

15

36

,

0

4450

1600

4450

80

*

20

51

,

0

4450

2250

4450

45

*

50

1

1

1

=

=

=

=

=

=

=

=

=

C

B

A

v

v

v

19

Analiza indeksowa: 

Analiza indeksowa: Wyznaczanie wpływu zmiany cen i ilo

ś

ci 

metod

ą

Laspeyersa

1992 (t=1)

1991 (t=0)

1 kg włóczki: 40 PLN

15 tys. kg włóczki

1 kg włóczki: 20 PLN

20 tys. kg włóczki

C

1 dres: 80 PLN

20 tys. sztuk dresów

1 dres: 60 PLN

10 tys. sztuk dresów

B

Metr dzianiny: 45 PLN

50 tys. metrów dzianiny

M. dzianiny: 35 PLN

50 tys. m. dzianiny

A

Ceny

Produkcja

Ceny

Produkcja

Zakład

4

,

1

2750

3850

20

*

20

60

*

10

35

*

50

40

*

20

80

*

10

45

*

50

1

0

0

1

1

0

=

=

+

+

+

+

=

=

∑

∑

=

=

n

i

i

i

n

i

i

i

L

p

p

q

p

q

I

4

,

1

14

,

0

*

2

22

,

0

*

33

,

1

64

,

0

*

29

,

1

0

1

=

+

+

=

∗

=

∑

=

i

n

i

pi

L

p

v

i

I

18

,

1

2750

3250

20

*

20

60

*

10

35

*

50

20

*

15

60

*

20

35

*

50

1

0

0

1

0

1

=

=

+

+

+

+

=

=

∑

∑

=

=

n

i

i

i

n

i

i

i

L

q

p

q

p

q

I

18

,

1

14

,

0

*

75

,

0

22

,

0

*

2

64

,

0

*

1

0

1

=

+

+

=

∗

=

∑

=

i

n

i

qi

L

q

v

i

I

Indeks 

cen

(przeci

ę

tna 

dynamika  cen):  gdyby  zmianie 
uległy  jedynie  ceny  indeks 
warto

ś

ci wzrósł by o 40%

Indeks 

ilo

ś

ci 

(przeci

ę

tna 

dynamika ilo

ś

ci): gdyby zmianie 

uległy  jedynie  ilo

ś

ci  indeks 

warto

ś

ci wzrósł by o 18%

20

Analiza indeksowa: 

Analiza indeksowa: Wyznaczanie wpływu zmiany cen i ilo

ś

ci 

metod

ą

Paaschego

1992 (t=1)

1991 (t=0)

1 kg włóczki: 40 PLN

15 tys. kg włóczki

1 kg włóczki: 20 PLN

20 tys. kg włóczki

C

1 dres: 80 PLN

20 tys. sztuk dresów

1 dres: 60 PLN

10 tys. sztuk dresów

B

Metr dzianiny: 45 PLN

50 tys. metrów dzianiny

M. dzianiny: 35 PLN

50 tys. m. dzianiny

A

Ceny

Produkcja

Ceny

Produkcja

Zakład

Indeks 

cen

(przeci

ę

tna 

dynamika  cen):  gdyby  zmianie 
uległy  jedynie  ceny  indeks 
warto

ś

ci wzrósł by o 37%

Indeks 

ilo

ś

ci 

(przeci

ę

tna 

dynamika ilo

ś

ci): gdyby zmianie 

uległy  jedynie  ilo

ś

ci  indeks 

warto

ś

ci wzrósł by o 16%

37

,

1

3250

4450

20

*

15

60

*

20

35

*

50

40

*

15

80

*

20

45

*

50

1

0

1

1

1

1

=

=

+

+

+

+

=

=

∑

∑

=

=

n

i

i

i

n

i

i

i

P

p

p

q

p

q

I

37

,

1

73

,

0

1

2

13

,

0

33

,

1

36

,

0

29

,

1

51

,

0

1

1

1

1

=

=

+

+

=

=

∑

=

n

i

pi

i

P

p

i

v

I

16

,

1

3850

4450

40

*

20

80

*

10

45

*

50

40

*

15

80

*

20

45

*

50

1

1

0

1

1

1

=

=

+

+

+

+

=

=

∑

∑

=

=

n

i

i

i

n

i

i

i

P

q

p

q

p

q

I

16

,

1

86

,

0

1

75

,

0

13

,

0

2

36

,

0

1

51

,

0

1

1

1

1

=

=

+

+

=

=

∑

=

n

i

qi

i

P

q

i

v

I

21

Analiza indeksowa: R

Analiza indeksowa: R

ó

ó

wno

wno

ś

ś

ci w regu

ci w regu

ł

ł

ach indeksowych

ach indeksowych

Korzystaj

ą

c  z  reguły  Fishera

ustalamy  przeci

ę

tn

ą

dynamik

ę

indeksów 

agregatowych:

17

,

1

16

,

1

*

18

,

1

=

=

∗

=

P

p

L

p

F

p

I

I

I

385

,

1

37

,

1

*

4

,

1

=

=

∗

=

P

q

L

q

F

q

I

I

I

Sprawdzamy czy zachodzi równo

ść

indeksowa:

17

,

1

*

385

,

1

16

,

1

*

4

,

1

37

,

1

*

18

,

1

62

,

1

=

=

=

∗

=

∗

=

∗

=

F

q

F

p

P

p

L

q

P

q

L

p

w

I

I

I

I

I

I

I

22

Analiza szereg

Analiza szereg

ó

ó

w czasowych: Analiza przyczyn 

w czasowych: Analiza przyczyn 

sk

sk

ł

ł

adaj

adaj

ą

ą

cych si

cych si

ę

ę

na dynamik

na dynamik

ę

ę

zjawisk

zjawisk

Drugim zagadnieniem jest badanie oddziaływania ró

Ŝ

nych czynników na dynamik

ę

zjawiska.  Nie  identyfikujemy  tutaj  konkretnych  zmiennych  które  mog

ą

wyja

ś

nia

ć

dane  zjawisko  (jak  w  przypadku  regresji)  lecz  raczej  zespoły  pewnych  czynników 
okre

ś

lane jako:

Analiza szeregów czasowych polega na wyodr

ę

bnieniu tendencji rozwojowej 

(przyczyn głównych), waha

ń

okresowych oraz waha

ń

przypadkowych.

Przyczyny  główne – działaj

ą

ce  na  badane  zjawisko  stale  z  niezmiennym 

nasileniem wytyczaj

ą

ce ogólny kierunek zmian zjawiska w czasie.

Przyczyny okresowe:

•

Koniunkturalne – działaj

ą

ce  co  pewien  czas  w  dłu

Ŝ

szych  okresach  zwi

ą

zane  z 

kierunkiem zmian w otoczeniu zjawiska

•

Sezonowe – działaj

ą

regularnie  w  krótkich  cyklach,  zwi

ą

zane  ze  specyfik

ą

zjawiska, cechuje je zmienna amplituda (zale

Ŝ

na od momentu czasowego)

Przyczyny  przypadkowe – działaj

ą

ce  nieregularnie,  czynniki  o  charakterze 

losowym.  Ich  oddziaływanie  na  poziom  zjawiska  jest  nieprzewidywalne 
zarówno co do kierunku jak i siły.

23

Analiza szereg

Analiza szereg

ó

ó

w czasowych:

w czasowych:

Wyodr

Wyodr

ę

ę

bnienie tendencji rozwojowej

bnienie tendencji rozwojowej

Wyodr

ę

bnienie  tendencji  rozwojowej  czyli  tzw.  trend  zjawiska  mo

Ŝ

emy  uzyska

ć

dwiema metodami: mechaniczn

ą

oraz analityczn

ą

.

Metoda  mechaniczna

polega  na  wygładzeniu  szeregu  czasowego  przez 

oczyszczenie  go  z  waha

ń

.  Stosujemy  tutaj 

ś

rednie  ruchome oraz  wygładzanie 

wykładnicze.

Ś

rednie  ruchome: dzielimy  na  zwykłe  (z  nieparzystej  liczby  obserwacji)  oraz 

ś

rednie  scentrowane  (z  parzystej  liczby  obserwacji).  Rachunki  przedstawiaj

ą

si

ę

nast

ę

puj

ą

co:

Ś

rednie scentrowane podstawie 4:

3

2

1

2

1

2

1

1

2

4

+

+

−

−

+

+

+

+

=

k

k

k

k

k

k

y

y

y

y

y

y

Ś

rednie zwykłe o podstawie 3:

3

1

1

3

+

−

+

+

=

k

k

k

k

y

y

y

y

24

Analiza szereg

Analiza szereg

ó

ó

w czasowych:

w czasowych:

Wyodr

Wyodr

ę

ę

bnienie tendencji rozwojowej 

bnienie tendencji rozwojowej 

–

–

przyk

przyk

ł

ł

ad 

ad 

ś

ś

rednie ruchome

rednie ruchome

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

W

1

/0

3

W

6

/0

3

W

9

/0

3

W

1

2

/0

3

W

1

5

/0

3

W

1

8

/0

3

W

2

1

/0

3

W

2

4

/0

3

W

2

7

/0

3

W

3

0

/0

3

W

3

3

/0

3

W

3

6

/0

3

W

3

9

/0

3

W

4

2

/0

3

W

4

5

/0

3

W

4

8

/0

3

W

5

1

/0

3

W

2

/0

4

W

5

/0

4

W

8

/0

4

W

1

1

/0

4

W

1

4

/0

4

W

1

7

/0

4

W

2

0

/0

4

W

2

3

/0

4

W

2

6

/0

4

W

2

9

/0

4

W

3

2

/0

4

W

3

5

/0

4

W

3

8

/0

4

W

4

1

/0

4

w

a

rt

o

s

c

 w

 1

0

 t

y

s

. 

P

L

N

warto

ść

 sprzeda

Ŝ

y szamponu X w hipermarkecie Y (w 10 tys. PLN)

ś

rednie ruchome scentrowane o podstawie 12

ś

rednie ruchome scentrowane o podstawie 4

25

Analiza szereg

Analiza szereg

ó

ó

w czasowych: 

w czasowych: 

Wyodr

Wyodr

ę

ę

bnienie tendencji rozwojowej (2)

bnienie tendencji rozwojowej (2)

Wygładzanie wykładnicze:

Dokonujemy wg. nast

ę

puj

ą

cej formuły:

t

t

t

y

S

S

∗

+

∗

−

=

−

α

α

1

)

1

(

gdzie: 

α

jest stał

ą

wygładzania i przyjmuje warto

ś

ci <0;0,4>

Metoda analityczna: polega na dopasowaniu funkcji matematycznej która najlepiej 
przybli

Ŝ

a  trend  zjawiska.  Post

ę

pujemy  analogicznie  jak  w  przypadku  wyznaczania 

regresji IIgo rodzaju za pomoc

ą

MNK. 

β

α

+

∗

=

t

y

t

ˆ

Podobnie jak w przypadku regresji IIgo rodzaju warto

ść

współczynnika trendu czyli 

α

informuje  nas  o  przeci

ę

tnej  zmianie  poziomu  zjawiska  wynikaj

ą

cej  z  działania 

przyczyn  głównych.  Je

ś

li  numerujemy  okresy:  t=1,…,n  wyraz  wolny  nie  ma 

interpretacji, je

ś

li numerujemy t=0,…,n-1 to wyraz wolny wyra

Ŝ

a teoretyczny poziom 

zjawiska w pierwszym okresie jaki podlegał obserwacji.

26

Analiza szereg

Analiza szereg

ó

ó

w czasowych:

w czasowych:

Wyodr

Wyodr

ę

ę

bnienie tendencji rozwojowej

bnienie tendencji rozwojowej

-

-

przyk

przyk

ł

ł

ad wyg

ad wyg

ł

ł

adzania wyk

adzania wyk

ł

ł

adniczego

adniczego

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

W

1

/0

3

W

6

/0

3

W

9

/0

3

W

1

2

/0

3

W

1

5

/0

3

W

1

8

/0

3

W

2

1

/0

3

W

2

4

/0

3

W

2

7

/0

3

W

3

0

/0

3

W

3

3

/0

3

W

3

6

/0

3

W

3

9

/0

3

W

4

2

/0

3

W

4

5

/0

3

W

4

8

/0

3

W

5

1

/0

3

W

2

/0

4

W

5

/0

4

W

8

/0

4

W

1

1

/0

4

W

1

4

/0

4

W

1

7

/0

4

W

2

0

/0

4

W

2

3

/0

4

W

2

6

/0

4

W

2

9

/0

4

W

3

2

/0

4

W

3

5

/0

4

W

3

8

/0

4

W

4

1

/0

4

w

a

rt

o

s

c

 w

 1

0

 t

y

s

. 

P

L

N

warto

ść

 sprzeda

Ŝ

y szamponu X w hipermarkecie Y (w 10 tys. PLN)

wygładzenie wykładnicze wsp. a=0.1

wygładzenie wykładnicze wsp. a=0.3

27

Analiza szereg

Analiza szereg

ó

ó

w czasowych:

w czasowych:

Wyodr

Wyodr

ę

ę

bnienie tendencji rozwojowej 

bnienie tendencji rozwojowej 

–

–

przyk

przyk

ł

ł

ad trend liniowy

ad trend liniowy

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

W

1

/0

3

W

6

/0

3

W

9

/0

3

W

1

2

/0

3

W

1

5

/0

3

W

1

8

/0

3

W

2

1

/0

3

W

2

4

/0

3

W

2

7

/0

3

W

3

0

/0

3

W

3

3

/0

3

W

3

6

/0

3

W

3

9

/0

3

W

4

2

/0

3

W

4

5

/0

3

W

4

8

/0

3

W

5

1

/0

3

W

2

/0

4

W

5

/0

4

W

8

/0

4

W

1

1

/0

4

W

1

4

/0

4

W

1

7

/0

4

W

2

0

/0

4

W

2

3

/0

4

W

2

6

/0

4

W

2

9

/0

4

W

3

2

/0

4

W

3

5

/0

4

W

3

8

/0

4

W

4

1

/0

4

w

a

rt

o

s

c

 w

 1

0

 t

y

s

. 

P

L

N

warto

ść

 sprzeda

Ŝ

y szamponu X w hipermarkecie Y (w 10 tys. PLN)

trend liniowy: Y=0.065*t+0.97

28

Analiza szereg

Analiza szereg

ó

ó

w czasowych:

w czasowych:

Wyodr

Wyodr

ę

ę

bnienie waha

bnienie waha

ń

ń

okresowych 

okresowych 

–

–

Model addytywny

Model addytywny

1) Addytywnie  co  oznacza 

Ŝ

e  warto

ść

funkcji  trendu  jest  powi

ę

kszana  lub  pomniejszana  o 

stałe niezale

Ŝ

nie od poziomu trendu czyli model waha

ń

przyjmuje posta

ć

:

t

i

t

t

z

o

y

y

+

+

=

ˆ

t

y

t

z

i

o

t

yˆ

gdzie:

- warto

ść

empiryczn

ą

- warto

ść

wynikaj

ą

c

ą

z funkcji trendu

- wpływ waha

ń

okresowych

- wpływ czynników przypadkowych

Wahania okresowe mog

ą

nakłada

ć

si

ę

na trend w sposób addytywny b

ą

d

ź

multiplikatywny

Wyznaczanie surowych wska

ź

ników sezonowo

ś

ci w przypadku modelu addytywnego. 

d

i

y

y

n

O

t

N

t

t

i

s

i

i

,...,

2

,

1

    

dla

     

)

ˆ

(

1

=

−

=

∑

∈

t

yˆ

gdzie:

-warto

ść

wynikaj

ą

c

ą

z funkcji trendu

- liczba podokresów w cyklu sezonowo

ś

ci 

(np. 4 kwartały w cyklu rocznym)

- liczba obliczonych ró

Ŝ

nic:

d

)

ˆ

(

t

t

y

y

−

n

i

Współczynnik koryguj

ą

cy:

∑

=

=

d

i

s

i

O

d

k

1

1

Wyznaczenie wska

ź

ników sezonowo

ś

ci:

k

O

o

i

s

i

−

=

Tak wyznaczone wska

ź

niki okre

ś

laj

ą

efekt absolutnych waha

ń

okresowych. 

0

1

=

∑

=

d

i

i

o

Dla wska

ź

ników oczyszczonych zachodzi relacja:

29

Analiza szereg

Analiza szereg

ó

ó

w czasowych: wyodr

w czasowych: wyodr

ę

ę

bnienie waha

bnienie waha

ń

ń

okresowych 

okresowych 

–

–

Model multiplikatywny

Model multiplikatywny

2) Multiplikatywnie co  oznacza 

Ŝ

e  warto

ść

funkcji  trendu  jest  powi

ę

kszana  lub 

pomniejszana proporcjonalnie czyli model waha

ń

przyjmuje posta

ć

:

t

i

t

t

z

o

y

y

∗

∗

=

ˆ

Dla modelu multiplikatywnego wyznaczamy wska

ź

niki surowe według formuły:

d

i

y

y

n

O

i

i

N

t

t

t

i

s

,...,

2

,

1

    

dla

     

ˆ

1

=

=

∑

∈

Współczynnik koryguj

ą

cy:

∑

=

=

d

i

s

i

O

d

k

1

1

Wyznaczenie oczyszczonych wska

ź

ników sezonowo

ś

ci:

k

O

o

i

s

i

:

=

Tak wyznaczone wska

ź

niki okre

ś

laj

ą

efekt relatywny waha

ń

okresowych. 

d

o

d

i

i

=

∑

=

1

Dla wska

ź

ników oczyszczonych zachodzi relacja:

30

Analiza  szereg

Analiza  szereg

ó

ó

w  czasowych:  wyodr

w  czasowych:  wyodr

ę

ę

bnienie  waha

bnienie  waha

ń

ń

okresowych 

okresowych 

–

–

Przyk

Przyk

ł

ł

ad modelu addytywnego

ad modelu addytywnego

Wyznaczenie surowych wska

ź

ników sezonowo

ś

ci:

O

s1

=1/5(260-316,3+310-367,1+350-417,9+380-

468,7+420-519,5)=-73,9

O

s2

=35,4

O

s3

=148,7

O

s4

=-110

Współczynnik koryguj

ą

cy:

=1/4(-73,9+35,4+148,7+-110)=0,05

∑

=

=

d

i

s

i

O

d

k

1

1

Wska

ź

niki skorygowane:

O

1

=O

s1

-k=-73,9-0,05=-73,95

O

2

=O

s2

-k=35,4-0,05=35,35

O

3

=O

s3

-k=148,7-0,05=148,65

O

4

=O

s4

-k=-110-0,05=-110,5

Wska

ź

niki 

skorygowane 

informuj

ą

nas 

o 

absolutnej 

zmianie 

warto

ś

ci 

sprzeda

Ŝ

y 

w 

poszczególnych  kwartałach  dla  analizowanych 
lat, 

wynikaj

ą

cej 

z 

działania 

czynników 

sezonowych.

Rok Kwartał Nr. obserwacji t

Sprzeda

Ŝ

 w tys. szt. yt

Trend liniowy y^t

1995

I

0

260

316,3

II

1

360

329

III

2

450

341,7

IV

3

260

354,4

1996

I

4

310

367,1

II

5

420

379,8

III

6

520

392,5

IV

7

310

405,2

1997

I

8

350

417,9

II

9

470

430,6

III

10

590

443,3

IV

11

350

456

1998

I

12

380

468,7

II

13

510

481,4

III

14

660

494,1

IV

15

380

506,8

1999

I

16

420

519,5

II

17

570

532,2

III

18

740

544,9

IV

19

430

557,6

31

Analiza 

szereg

Analiza 

szereg

ó

ó

w 

czasowych: 

wyodr

w 

czasowych: 

wyodr

ę

ę

bnienie 

waha

bnienie 

waha

ń

ń

okresowych 

okresowych 

–

–

Przyk

Przyk

ł

ł

ad modelu multiplikatywnego

ad modelu multiplikatywnego

Wyznaczenie surowych wska

ź

ników sezonowo

ś

ci:

O

s1

=1/4(8/9,3+9/11,9+10/14,5+11/17,1)=0,7374

O

s2

=1/4(12/9,95+16/12,55+22/15,15+28/17,75)

=13,3776

O

s3

=1,0811

O

s4

=0,7869

Współczynnik koryguj

ą

cy:

=1/4(0,7374+ 1,3776 + 1,0811 + 

0,7869)=0,996

∑

=

=

d

i

s

i

O

d

k

1

1

Wska

ź

niki skorygowane:

O

1

=O

s1

:k=0,7374:0,996=0,73

O

2

=O

s2

:k= 1,3776:0,996=1,37

O

3

=O

s3

:k= 1,0811:0,996=1,08

O

4

=O

s4

:k= 0,7869:0,996=0,78

Skorygowane  relatywne  wska

ź

niki  sezonowo

ś

ci 

informuj

ą

nas  o  wzgl

ę

dnej    zmianie  warto

ś

ci 

sprzeda

Ŝ

y  w  poszczególnych  kwartałach  dla 

analizowanych  lat,  wynikaj

ą

cej  z  działania 

czynników  sezonowych.  Oznacza  to, 

Ŝ

e  np.:  w 

pierwszym 

kwartale 

badanych 

lat 

liczba 

realizowanych  zlece

ń

była  o  27%  ((0,73-

1)100=27  ni

Ŝ

sza  od  poziomu  wynikaj

ą

cego  z 

trendu  liniowego  z  powodu  działania  czynników 
sezonowych.

Rok Kwartał Nr. obserwacji t

Liczba wykonanych 

zlece

ń

 yt

Trend liniowy y^t

1995

I

0

8

9,3

II

1

12

9,95

III

2

11

10,6

IV

3

10

11,25

1996

I

4

9

11,9

II

5

16

12,55

III

6

14

13,2

IV

7

11

13,85

1997

I

8

10

14,5

II

9

22

15,15

III

10

18

15,8

IV

11

12

16,45

1998

I

12

11

17,1

II

13

28

17,75

III

14

20

18,4

IV

15

14

19,05