1
Analiza szereg
Analiza szereg
ó
ó
w czasowych i analiza indeksowa
w czasowych i analiza indeksowa
Analiza szeregów czasowych jest badaniem zmienno
ś
ci pewnych cech statystycznych w
czasie. Odpowiada na pytanie: Jak przedstawia si
ę
dynamika pewnych zjawisk w czasie.
Za pomoc
ą
analizy szeregów czasowych mo
ż
emy próbowa
ć
odpowiedzie
ć
na dwa
podstawowe pytania:
Zjawiska zło
ż
one nie mog
ą
by
ć
sumowane a jedynie wyra
ż
ane warto
ś
ciowo,
jednorodne mog
ą
by
ć
sumowane gdy
ż
s
ą
wyra
ż
one w konkretnych jednostkach.
Jak zmienia si
ę
obserwowane zjawisko w czasie?
→
Analiza indeksowa
Dlaczego zmienia si
ę
ono w czasie w okre
ś
lony sposób?
→
Przyczyny
składaj
ą
ce si
ę
na dynamik
ę
zjawisk.
Analiza indeksowa słu
ż
y
opisowi zmienno
ś
ci zjawisk w
czasie:
Indeksy jednorodne
(dynamika zjawisk jednorodnych np.: waga,
cena, ilo
ść
w kilogramach)
Indeksy agregatowe
(dynamika zjawisk zło
ż
onych np.: warto
ś
ci).
2
Analiza szereg
Analiza szereg
ó
ó
w czasowych: Analiza indeksowa
w czasowych: Analiza indeksowa
Przyrost absolutny informuje o ile jednostek zmienił si
ę
poziom badanego zjawiska
w okresie badanym (t=1) w porównaniu z okresem podstawowym (t=0) i mo
ż
emy
okre
ś
li
ć
go w nast
ę
puj
ą
cy sposób:
∆
y=y
1
-y
0
gdzie:
y
1
– poziom zjawiska w okresie badanym
y
0
– poziom zjawiska w okresie podstawowym (stanowi
ą
cym punkt odniesienia)
Dynamika zjawisk jednorodnych mo
ż
e by
ć
najpro
ś
ciej opisana przez przyrost
absolutny b
ą
d
ź
przyrost wzgl
ę
dny.
Przyrost wzgl
ę
dny wyra
ż
a te zmiany relatywnie i informuje w jakim stopniu zmienił
si
ę
poziom zjawiska w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym.
Wyra
ż
one za pomoc
ą
indeksów
1
1
0
1
0
0
1
0
−
=
−
=
−
=
∆
=
y
y
i
y
y
y
y
y
y
y
T
gdzie:
0
1
y
y
i
y
=
i
y
=1 – poziom zjawiska nie
uległ zmianie
i
y
<1 – poziom zjawiska obni
ż
ył
si
ę
i
y
>1 – poziom zjawiska
podniósł si
ę
3
Analiza szereg
Analiza szereg
ó
ó
w czasowych:
w czasowych:
Przyk
Przyk
ł
ł
ad warto
ad warto
ś
ś
ci bezwzgl
ci bezwzgl
ę
ę
dnych
dnych
4
Analiza indeksowa: indeksy proste
Analiza indeksowa: indeksy proste
Obserwuj
ą
c dynamik
ę
jakiego
ś
zjawiska w dłu
ż
szym okresie, składaj
ą
cym si
ę
z
wi
ę
kszej liczby podokresów lub momentów czasu mo
ż
emy wyrazi
ć
zaistniałe
zmiany ci
ą
giem indeksów. Je
ś
li punktem odniesienia jest jeden wybrany okres lub
moment czasu to uzyskuje si
ę
ci
ą
g indeksów o stałej podstawie zwanych
indeksami jednopodstawowymi:
1
1
4
1
3
1
2
,......,
,
,
,
1
y
y
y
y
y
y
y
y
n
Je
ś
li punktem odniesienia w ocenie zmian jest natomiast zawsze okres lub moment
wcze
ś
niejszy od ocenianego to uzyskuje si
ę
indeksy o zmiennej podstawie zwane
indeksami ła
ń
cuchowymi:
1
3
4
2
3
1
2
,......,
,
,
−
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
5
Analiza szereg
Analiza szereg
ó
ó
w czasowych:
w czasowych:
Przyk
Przyk
ł
ł
ad indeks
ad indeks
ó
ó
w
w
ł
ł
a
a
ń
ń
cuchowych i jednopodstawowych
cuchowych i jednopodstawowych
6
TESCO dezodoranty m
ę
skie firmy X
(styczne
ń
2003 - grudzie
ń
2004)
0
50000
100000
150000
200000
250000
s
ty
c
z
e
ń
lu
ty
m
a
rz
e
c
k
w
ie
c
ie
ń
m
a
j
c
z
e
rw
ie
c
li
p
ie
c
s
ie
rp
ie
ń
w
rz
e
s
ie
ń
p
a
ź
d
z
ie
rn
ik
li
s
to
p
a
d
g
ru
d
z
ie
ń
s
ty
c
z
e
ń
lu
ty
m
a
rz
e
c
k
w
ie
c
ie
ń
m
a
j
c
z
e
rw
ie
c
li
p
ie
c
s
ie
rp
ie
ń
w
rz
e
s
ie
ń
p
a
ź
d
z
ie
rn
ik
li
s
to
p
a
d
g
ru
d
z
ie
ń
s
z
tu
k
i
ilo
ść
w sztukach
Analiza indeksowa: Przyk
Analiza indeksowa: Przyk
ł
ł
ad
ad
7
TESCO dezodoranty m
ę
skie firmy X
(styczne
ń
2003 - grudzie
ń
2004)
0
50000
100000
150000
200000
250000
s
ty
c
z
e
ń
lu
ty
m
a
rz
e
c
k
w
ie
c
ie
ń
m
a
j
c
z
e
rw
ie
c
li
p
ie
c
s
ie
rp
ie
ń
w
rz
e
s
ie
ń
p
a
ź
d
z
ie
rn
ik
li
s
to
p
a
d
g
ru
d
z
ie
ń
s
ty
c
z
e
ń
lu
ty
m
a
rz
e
c
k
w
ie
c
ie
ń
m
a
j
c
z
e
rw
ie
c
li
p
ie
c
s
ie
rp
ie
ń
w
rz
e
s
ie
ń
p
a
ź
d
z
ie
rn
ik
li
s
to
p
a
d
g
ru
d
z
ie
ń
s
z
tu
k
i
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
in
d
e
k
s
ilo
ść
w sztukach
indeks jednopodstawowy
Analiza indeksowa: Przyk
Analiza indeksowa: Przyk
ł
ł
ad
ad
8
TESCO dezodoranty m
ę
skie firmy X
(styczne
ń
2003 - grudzie
ń
2004)
0
50000
100000
150000
200000
250000
s
ty
c
z
e
ń
lu
ty
m
a
rz
e
c
k
w
ie
c
ie
ń
m
a
j
c
z
e
rw
ie
c
li
p
ie
c
s
ie
rp
ie
ń
w
rz
e
s
ie
ń
p
a
ź
d
z
ie
rn
ik
li
s
to
p
a
d
g
ru
d
z
ie
ń
s
ty
c
z
e
ń
lu
ty
m
a
rz
e
c
k
w
ie
c
ie
ń
m
a
j
c
z
e
rw
ie
c
li
p
ie
c
s
ie
rp
ie
ń
w
rz
e
s
ie
ń
p
a
ź
d
z
ie
rn
ik
li
s
to
p
a
d
g
ru
d
z
ie
ń
s
z
tu
k
i
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
in
d
e
k
s
ilo
ść
w sztukach
indeks ła
ń
cuchowy
indeks jednopodstawowy
Analiza indeksowa: Przyk
Analiza indeksowa: Przyk
ł
ł
ad
ad
9
Ś
rednie tempo zmian wyznaczamy za pomoc
ą ś
redniej geometrycznej :
Indeksy proste:
Indeksy proste:
ś
ś
rednie tempo zmian
rednie tempo zmian
PRZYKŁAD:
O ile procent zmieni
ł
a si
ę
liczba cudzoziemców studiuj
ą
cych w Polsce w roku 2004 w
porównaniu z rokiem 1998.
1
0
1
1
1
1
1
/
−
−
−
−
=
−
=
=
∏
n
n
n
n
t
t
t
y
y
i
i
t
i
1
−
=
t
t
t
y
y
i
- Indeks ła
ń
cuchowy wyznaczony jako:
6
,
1
08
,
1
09
,
1
13
,
1
03
,
1
07
,
1
09
,
1
1998
/
1999
1999
/
2000
2000
/
2001
2001
/
2002
2002
/
2003
2003
/
2004
1998
/
2004
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
i
i
i
i
i
i
i
1,09
1,07
1,03
1,13
1,09
1,08
1,02
1,03
1,02
1
indeksy ła
ń
cuchowe
(rok poprzedni=1)
1,7
1,56
1,46
1,42
1,26
1,16
1,07
1,05
1,02
1
indeksy jednopodstawowe
(1995=1)
5100
4680
4380
4260
3780
3480
3210
3150
3060
3000
Liczba cudzoziemców
2004
2003
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
1995
Rok
%
60
1
6
,
1
6
,
1
3210
5100
=
−
=
=
=
t
y
i
T
6
,
1
07
,
1
:
7
,
1
:
1995
/
1998
1998
/
2004
1998
/
2004
=
=
=
i
i
i
10
Wyznaczy
ć ś
rednie tempo zmian w latach 2000 – 1998.
PRZYKŁAD CD:
1,09
1,07
1,03
1,13
1,09
1,08
1,02
1,03
1,02
1
indeksy ła
ń
cuchowe
(rok poprzedni=1)
1,7
1,56
1,46
1,42
1,26
1,16
1,07
1,05
1,02
1
indeksy jednopodstawowe
(1995=1)
5100
4680
4380
4260
3780
3480
3210
3150
3060
3000
Liczba cudzoziemców
2004
2003
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
1995
Rok
Indeksy proste:
Indeksy proste:
ś
ś
rednie tempo zmian
rednie tempo zmian
8%
100%
1)
-
(1,08
r
08
,
1
6
,
1
07
,
1
:
7
,
1
6
1
7
=
∗
=
=
=
=
−
g
i
%
7
%
100
)
1
07
,
1
(
r
07
,
1
59
,
1
3210
5100
7
7
1998
/
2004
=
∗
−
=
=
=
=
i
%
8
%
100
)
1
08
,
1
(
r
1,08
59
,
1
08
,
1
09
,
1
13
,
1
03
,
1
07
,
1
09
,
1
6
6
1
7
1998
/
1999
1999
/
2000
2000
/
2001
2001
/
2002
2002
/
2003
2003
/
2004
1998
/
2004
=
∗
−
=
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
−
i
i
i
i
i
i
i
Warto
ś
ci absolutne
Indeksy ła
ń
cuchowe
Indeksy
jednopodstawowe
11
Analiza indeksowa: indeksy z
Analiza indeksowa: indeksy z
ł
ł
o
o
ż
ż
one (agregatowe)
one (agregatowe)
Opis dynamiki zjawisk zło
ż
onych dokonuje si
ę
za pomoc
ą
indeksów agregatowych.
Jednym z takich indeksów jest indeks warto
ś
ci. Agreguje on ilo
ść
(q) oraz cen
ę
(p).
∑
∑
=
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
w
p
q
p
q
W
W
I
1
0
0
1
1
1
0
1
Warto
ść
i-tego dobra (przy i=1,…,n) w okresie badanym, na któr
ą
składa si
ę
jego ilo
ść
(q) oraz cena jednostkowa (p) w tym okresie
Warto
ść
i-tego dobra (przy i=1,…,n) w okresie podstawowym, na
któr
ą
składa si
ę
jego ilo
ść
na którym składa si
ę
jego ilo
ść
(q) oraz
cena jednostkowa (p) w tym okresie
Na zmiany warto
ś
ci mog
ą
składa
ć
si
ę
zmiany cen oraz ilo
ś
ci, z okresu na okres.
Mo
ż
emy dlatego zada
ć
pytanie jak zmieniłaby si
ę
warto
ść
gdyby ceny nie uległy
zmianie b
ą
d
ź
, jak zmieniłaby si
ę
warto
ść
przy zało
ż
eniu niezmienno
ś
ci ilo
ś
ci
sprzedawanych dóbr.
W celu okre
ś
lenia takiego wpływu musimy przyj
ąć
stabilno
ść
jednego z czynników
czyli ceny albo ilo
ś
ci:
12
Je
ś
li przyjmiemy stało
ść
jednego z czynników na poziomie okresu
podstawowego s
ą
to wówczas reguły indeksowe Laspeyers’a
Je
ś
li przyjmiemy stało
ść
jednego z czynników na poziomie okresu badanego s
ą
to wówczas reguły indeksowe Paaschego
Analiza indeksowa: indeksy z
Analiza indeksowa: indeksy z
ł
ł
o
o
ż
ż
one (agregatowe)
one (agregatowe)
Okres podstawowy
(t=0)
Okres badany
(t=1)
Stało
ść
cen b
ą
d
ź
ilo
ś
ci z t=0 na t=1
Reguły indeksowe Laspeyersa
Stało
ść
cen b
ą
d
ź
ilo
ś
ci z t=1 na t=0
Reguły indeksowe Paaschego
13
Analiza indeksowa: Regu
Analiza indeksowa: Regu
ł
ł
y indeksowe
y indeksowe
Laspeyersa
Laspeyersa
Z reguły indeksowe Laspeyersa korzystamy je
ś
li chcemy przyj
ąć
stało
ść
jednego z
czynników na poziomie okresu podstawowego.
i
n
i
qi
n
i
i
i
n
i
i
i
L
q
v
i
p
q
p
q
I
0
1
1
0
0
1
0
1
∗
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
i
pi
– indywidualny indeks ceny i-tego dobra
Wska
ź
nik struktury warto
ś
ci w okresie podstawowym okre
ś
laj
ą
cy udział warto
ś
ci i_tego dobra
w całej warto
ś
ci z okresu podstawowego
∑
=
=
=
n
i
i
i
i
i
i
i
p
q
p
q
W
w
v
1
0
0
0
0
0
0
0
i
n
i
pi
n
i
i
i
n
i
i
i
L
p
v
i
p
q
p
q
I
0
1
1
0
0
1
1
0
∗
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
In
d
e
k
s
i
lo
ś
c
i
In
d
e
k
s
c
e
n
i
qi
– indywidualny indeks ilo
ś
ci i-tego dobra
Indeks ten wyra
ż
a hipotetyczne zmiany warto
ś
ci przy
zało
ż
eniu niezmienno
ś
ci ilo
ś
ci (q
0i
) poszczególnych
dóbr w obu okresach i utrzymywaniu si
ę
ich na poziomie
z okresu podstawowego.
Indeks ten wyra
ż
a hipotetyczne zmiany warto
ś
ci przy
zało
ż
eniu niezmienno
ś
ci cen (p
0i
) poszczególnych dóbr
w obu okresach i utrzymywaniu si
ę
ich na poziomie z
okresu podstawowego.
Jest
to
wielko
ść
ś
rednia
(arytmetyczna)
z
indywidualnych indeksów cen poszczególnych dóbr
wa
ż
onych struktur
ą
warto
ś
ci.
St
ą
d okre
ś
la on przeci
ę
tn
ą
dynamik
ę
cen przy
przyj
ę
tych wy
ż
ej zało
ż
eniach.
Jest
to
wielko
ść
ś
rednia
(arytmetyczna)
z
indywidualnych indeksów ilo
ś
ci poszczególnych dóbr
wa
ż
onych struktur
ą
warto
ś
ci.
St
ą
d okre
ś
la on przeci
ę
tn
ą
dynamik
ę
ilo
ś
ci przy
przyj
ę
tych wy
ż
ej zało
ż
eniach.
14
Analiza indeksowa: Regu
Analiza indeksowa: Regu
ł
ł
y indeksowe
y indeksowe
Paaschego
Paaschego
Z reguły indeksowe Paaschego korzystamy je
ś
li chcemy przyj
ąć
stało
ść
jednego z
czynników na poziomie okresu badanego.
∑
=
=
=
n
i
i
i
i
i
i
i
p
q
p
q
W
w
v
1
1
1
1
1
1
1
0
i
pi
– indywidualny indeks ceny i-tego dobra
Wska
ź
nik struktury warto
ś
ci w okresie badanym okre
ś
laj
ą
cy udział warto
ś
ci i_tego dobra w
całej warto
ś
ci z okresu badanego
In
d
e
k
s
i
lo
ś
c
i
In
d
e
k
s
c
e
n
i
qi
– indywidualny indeks ilo
ś
ci i-tego dobra
Indeks ten wyra
ż
a hipotetyczne zmiany warto
ś
ci przy
zało
ż
eniu niezmienno
ś
ci ilo
ś
ci (q
1i
) poszczególnych
dóbr w obu okresach i utrzymywaniu si
ę
ich na poziomie
z okresu badanego.
Indeks ten wyra
ż
a hipotetyczne zmiany warto
ś
ci przy
zało
ż
eniu niezmienno
ś
ci cen (p
0i
) poszczególnych dóbr
w obu okresach i utrzymywaniu si
ę
ich na poziomie z
okresu badanego.
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
n
i
qi
i
n
i
i
i
n
i
i
i
P
q
i
v
p
q
p
q
I
1
1
1
1
0
1
1
1
1
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
n
i
pi
i
n
i
i
i
n
i
i
i
P
p
i
v
p
q
p
q
I
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Jest
to
wielko
ść
ś
rednia
(harmoniczna)
z
indywidualnych indeksów cen poszczególnych dóbr
wa
ż
onych struktur
ą
warto
ś
ci okresu badanego.
St
ą
d, okre
ś
la on przeci
ę
tn
ą
dynamik
ę
cen przy
przyj
ę
tych wy
ż
ej zało
ż
eniach.
Jest
to
wielko
ść
ś
rednia
(harmoniczna)
z
indywidualnych indeksów ilo
ś
ci poszczególnych dóbr
wa
ż
onych struktur
ą
warto
ś
ci okresu badanego.
St
ą
d okre
ś
la on przeci
ę
tn
ą
dynamik
ę
ilo
ś
ci przy
przyj
ę
tych wy
ż
ej zało
ż
eniach.
15
Analiza indeksowa: R
Analiza indeksowa: R
ó
ó
wno
wno
ś
ś
ci w regu
ci w regu
ł
ł
ach indeksowych
ach indeksowych
Je
ś
li indeksy cen oraz ilo
ś
ci liczone powy
ż
szymi regułami nie wykazuj
ą
wyra
ź
nych
rozbie
ż
no
ś
ci w dynamice ilo
ś
ci oraz cen, to reguła Fishera pozwala ustali
ć
przeci
ę
tn
ą
dynamik
ę
tych kategorii bez odwoływania si
ę
do jakichkolwiek zało
ż
e
ń
:
P
p
L
p
F
p
I
I
I
∗
=
P
q
L
q
F
q
I
I
I
∗
=
Przeci
ę
tna (geometryczna) dynamika ilo
ś
ci
Przeci
ę
tna (geometryczna) dynamika cen
Pomi
ę
dzy wyznaczonymi trzema grupami reguł indeksowych zachodzi relacja zwana
równo
ś
ci
ą
indeksow
ą
:
F
q
F
p
P
p
L
q
P
q
L
p
w
I
I
I
I
I
I
I
∗
=
∗
=
∗
=
16
Analiza indeksowa: Przyk
Analiza indeksowa: Przyk
ł
ł
adowe zadanie
adowe zadanie
Produkcja pewnego przedsi
ę
biorstwa skupiona jest w trzech zakładach
produkcyjnych: A (produkuje dzianin
ę
), B (produkuje dresy), C (produkuje włóczk
ę
).
Poni
ż
sza tabela przedstawia dane odno
ś
nie produkcji zakładów i cen rynkowych w
dwóch kolejnych latach 1991 oraz 1992.
1992 – okres badany (t=1)
1991 – okres podstawowy (t=0)
1 kg włóczki:
40 PLN
15 tys. kg włóczki
1 kg
włóczki: 20
PLN
20 tys. kg włóczki
C
1 dres: 80
PLN
20 tys. sztuk
dresów
1 dres: 60
PLN
10 tys. sztuk
dresów
B
Metr
dzianiny: 45
PLN
50 tys. metrów
dzianiny
Metr
dzianiny: 35
PLN
50 tys. metrów
dzianiny
A
Ceny
Produkcja
Ceny
Produkcja
Zakład
Zanalizowa
ć
dynamik
ę
cen, ilo
ś
ci oraz warto
ś
ci oraz oceni
ć
znaczenie zmian cen oraz
ilo
ś
ci dla dynamiki warto
ś
ci sprzeda
ż
y w latach 1991-1992
17
Analiza indeksowa: Przyk
Analiza indeksowa: Przyk
ł
ł
adowe zadanie
adowe zadanie
1 kg włóczki: 40 PLN
15 tys. kg włóczki
1 kg włóczki: 20
PLN
20 tys. kg włóczki
C
1 dres: 80 PLN
20 tys. sztuk dresów
1 dres: 60 PLN
10 tys. sztuk dresów
B
Metr dzianiny: 45
PLN
50 tys. metrów
dzianiny
Metr dzianiny: 35
PLN
50 tys. metrów
dzianiny
A
Ceny 1992
Produkcja 1992
Ceny 1991
Produkcja 1991
Zakład
Obliczamy:
i
qA
=50/50=1
i
qB
=20/10=2
i
qC
=15/20=0,75
i
pA
=45/35=1,29
i
pB
=80/60=1,33
i
pC
=40/20=2
indeksy cen
indeksy ilo
ś
ci
Indeks warto
ś
ci
∑
∑
=
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
w
p
q
p
q
W
W
I
1
0
0
1
1
1
0
1
62
,
1
2750
4450
20
*
20
60
*
10
35
*
50
40
*
15
80
*
20
45
*
50
=
=
+
+
+
+
=
w
I
18
Analiza indeksowa: Przyk
Analiza indeksowa: Przyk
ł
ł
adowe zadanie
adowe zadanie
1992 (t=1)
1991 (t=0)
1 kg włóczki: 40 PLN
15 tys. kg włóczki
1 kg włóczki: 20
PLN
20 tys. kg włóczki
C
1 dres: 80 PLN
20 tys. sztuk dresów
1 dres: 60 PLN
10 tys. sztuk dresów
B
Metr dzianiny: 45
PLN
50 tys. metrów
dzianiny
Metr dzianiny: 35
PLN
50 tys. metrów
dzianiny
A
Ceny
Produkcja
Ceny
Produkcja
Zakład
Wska
ź
niki struktury warto
ś
ci sprzeda
ż
y
14
,
0
2750
400
2750
20
*
20
22
,
0
2750
600
2750
60
*
10
64
,
0
2750
1750
2750
35
*
50
0
0
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
C
B
A
v
v
v
13
,
0
4450
600
4450
40
*
15
36
,
0
4450
1600
4450
80
*
20
51
,
0
4450
2250
4450
45
*
50
1
1
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
C
B
A
v
v
v
19
Analiza indeksowa:
Analiza indeksowa: Wyznaczanie wpływu zmiany cen i ilo
ś
ci
metod
ą
Laspeyersa
1992 (t=1)
1991 (t=0)
1 kg włóczki: 40 PLN
15 tys. kg włóczki
1 kg włóczki: 20 PLN
20 tys. kg włóczki
C
1 dres: 80 PLN
20 tys. sztuk dresów
1 dres: 60 PLN
10 tys. sztuk dresów
B
Metr dzianiny: 45 PLN
50 tys. metrów dzianiny
M. dzianiny: 35 PLN
50 tys. m. dzianiny
A
Ceny
Produkcja
Ceny
Produkcja
Zakład
4
,
1
2750
3850
20
*
20
60
*
10
35
*
50
40
*
20
80
*
10
45
*
50
1
0
0
1
1
0
=
=
+
+
+
+
=
=
∑
∑
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
L
p
p
q
p
q
I
4
,
1
14
,
0
*
2
22
,
0
*
33
,
1
64
,
0
*
29
,
1
0
1
=
+
+
=
∗
=
∑
=
i
n
i
pi
L
p
v
i
I
18
,
1
2750
3250
20
*
20
60
*
10
35
*
50
20
*
15
60
*
20
35
*
50
1
0
0
1
0
1
=
=
+
+
+
+
=
=
∑
∑
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
L
q
p
q
p
q
I
18
,
1
14
,
0
*
75
,
0
22
,
0
*
2
64
,
0
*
1
0
1
=
+
+
=
∗
=
∑
=
i
n
i
qi
L
q
v
i
I
Indeks
cen
(przeci
ę
tna
dynamika cen): gdyby zmianie
uległy jedynie ceny indeks
warto
ś
ci wzrósł by o 40%
Indeks
ilo
ś
ci
(przeci
ę
tna
dynamika ilo
ś
ci): gdyby zmianie
uległy jedynie ilo
ś
ci indeks
warto
ś
ci wzrósł by o 18%
20
Analiza indeksowa:
Analiza indeksowa: Wyznaczanie wpływu zmiany cen i ilo
ś
ci
metod
ą
Paaschego
1992 (t=1)
1991 (t=0)
1 kg włóczki: 40 PLN
15 tys. kg włóczki
1 kg włóczki: 20 PLN
20 tys. kg włóczki
C
1 dres: 80 PLN
20 tys. sztuk dresów
1 dres: 60 PLN
10 tys. sztuk dresów
B
Metr dzianiny: 45 PLN
50 tys. metrów dzianiny
M. dzianiny: 35 PLN
50 tys. m. dzianiny
A
Ceny
Produkcja
Ceny
Produkcja
Zakład
Indeks
cen
(przeci
ę
tna
dynamika cen): gdyby zmianie
uległy jedynie ceny indeks
warto
ś
ci wzrósł by o 37%
Indeks
ilo
ś
ci
(przeci
ę
tna
dynamika ilo
ś
ci): gdyby zmianie
uległy jedynie ilo
ś
ci indeks
warto
ś
ci wzrósł by o 16%
37
,
1
3250
4450
20
*
15
60
*
20
35
*
50
40
*
15
80
*
20
45
*
50
1
0
1
1
1
1
=
=
+
+
+
+
=
=
∑
∑
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
P
p
p
q
p
q
I
37
,
1
73
,
0
1
2
13
,
0
33
,
1
36
,
0
29
,
1
51
,
0
1
1
1
1
=
=
+
+
=
=
∑
=
n
i
pi
i
P
p
i
v
I
16
,
1
3850
4450
40
*
20
80
*
10
45
*
50
40
*
15
80
*
20
45
*
50
1
1
0
1
1
1
=
=
+
+
+
+
=
=
∑
∑
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
P
q
p
q
p
q
I
16
,
1
86
,
0
1
75
,
0
13
,
0
2
36
,
0
1
51
,
0
1
1
1
1
=
=
+
+
=
=
∑
=
n
i
qi
i
P
q
i
v
I
21
Analiza indeksowa: R
Analiza indeksowa: R
ó
ó
wno
wno
ś
ś
ci w regu
ci w regu
ł
ł
ach indeksowych
ach indeksowych
Korzystaj
ą
c z reguły Fishera
ustalamy przeci
ę
tn
ą
dynamik
ę
indeksów
agregatowych:
17
,
1
16
,
1
*
18
,
1
=
=
∗
=
P
p
L
p
F
p
I
I
I
385
,
1
37
,
1
*
4
,
1
=
=
∗
=
P
q
L
q
F
q
I
I
I
Sprawdzamy czy zachodzi równo
ść
indeksowa:
17
,
1
*
385
,
1
16
,
1
*
4
,
1
37
,
1
*
18
,
1
62
,
1
=
=
=
∗
=
∗
=
∗
=
F
q
F
p
P
p
L
q
P
q
L
p
w
I
I
I
I
I
I
I
22
Analiza szereg
Analiza szereg
ó
ó
w czasowych: Analiza przyczyn
w czasowych: Analiza przyczyn
sk
sk
ł
ł
adaj
adaj
ą
ą
cych si
cych si
ę
ę
na dynamik
na dynamik
ę
ę
zjawisk
zjawisk
Drugim zagadnieniem jest badanie oddziaływania ró
ż
nych czynników na dynamik
ę
zjawiska. Nie identyfikujemy tutaj konkretnych zmiennych które mog
ą
wyja
ś
nia
ć
dane zjawisko (jak w przypadku regresji) lecz raczej zespoły pewnych czynników
okre
ś
lane jako:
Analiza szeregów czasowych polega na wyodr
ę
bnieniu tendencji rozwojowej
(przyczyn głównych), waha
ń
okresowych oraz waha
ń
przypadkowych.
Przyczyny główne – działaj
ą
ce na badane zjawisko stale z niezmiennym
nasileniem wytyczaj
ą
ce ogólny kierunek zmian zjawiska w czasie.
Przyczyny okresowe:
•
Koniunkturalne – działaj
ą
ce co pewien czas w dłu
ż
szych okresach zwi
ą
zane z
kierunkiem zmian w otoczeniu zjawiska
•
Sezonowe – działaj
ą
regularnie w krótkich cyklach, zwi
ą
zane ze specyfik
ą
zjawiska, cechuje je zmienna amplituda (zale
ż
na od momentu czasowego)
Przyczyny przypadkowe – działaj
ą
ce nieregularnie, czynniki o charakterze
losowym. Ich oddziaływanie na poziom zjawiska jest nieprzewidywalne
zarówno co do kierunku jak i siły.
23
Analiza szereg
Analiza szereg
ó
ó
w czasowych:
w czasowych:
Wyodr
Wyodr
ę
ę
bnienie tendencji rozwojowej
bnienie tendencji rozwojowej
Wyodr
ę
bnienie tendencji rozwojowej czyli tzw. trend zjawiska mo
ż
emy uzyska
ć
dwiema metodami: mechaniczn
ą
oraz analityczn
ą
.
Metoda mechaniczna
polega na wygładzeniu szeregu czasowego przez
oczyszczenie go z waha
ń
. Stosujemy tutaj
ś
rednie ruchome oraz wygładzanie
wykładnicze.
Ś
rednie ruchome: dzielimy na zwykłe (z nieparzystej liczby obserwacji) oraz
ś
rednie scentrowane (z parzystej liczby obserwacji). Rachunki przedstawiaj
ą
si
ę
nast
ę
puj
ą
co:
Ś
rednie scentrowane podstawie 4:
3
2
1
2
1
2
1
1
2
4
+
+
−
−
+
+
+
+
=
k
k
k
k
k
k
y
y
y
y
y
y
Ś
rednie zwykłe o podstawie 3:
3
1
1
3
+
−
+
+
=
k
k
k
k
y
y
y
y
24
Analiza szereg
Analiza szereg
ó
ó
w czasowych:
w czasowych:
Wyodr
Wyodr
ę
ę
bnienie tendencji rozwojowej
bnienie tendencji rozwojowej
–
–
przyk
przyk
ł
ł
ad
ad
ś
ś
rednie ruchome
rednie ruchome
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
W
1
/0
3
W
6
/0
3
W
9
/0
3
W
1
2
/0
3
W
1
5
/0
3
W
1
8
/0
3
W
2
1
/0
3
W
2
4
/0
3
W
2
7
/0
3
W
3
0
/0
3
W
3
3
/0
3
W
3
6
/0
3
W
3
9
/0
3
W
4
2
/0
3
W
4
5
/0
3
W
4
8
/0
3
W
5
1
/0
3
W
2
/0
4
W
5
/0
4
W
8
/0
4
W
1
1
/0
4
W
1
4
/0
4
W
1
7
/0
4
W
2
0
/0
4
W
2
3
/0
4
W
2
6
/0
4
W
2
9
/0
4
W
3
2
/0
4
W
3
5
/0
4
W
3
8
/0
4
W
4
1
/0
4
w
a
rt
o
s
c
w
1
0
t
y
s
.
P
L
N
warto
ść
sprzeda
ż
y szamponu X w hipermarkecie Y (w 10 tys. PLN)
ś
rednie ruchome scentrowane o podstawie 12
ś
rednie ruchome scentrowane o podstawie 4
25
Analiza szereg
Analiza szereg
ó
ó
w czasowych:
w czasowych:
Wyodr
Wyodr
ę
ę
bnienie tendencji rozwojowej (2)
bnienie tendencji rozwojowej (2)
Wygładzanie wykładnicze:
Dokonujemy wg. nast
ę
puj
ą
cej formuły:
t
t
t
y
S
S
∗
+
∗
−
=
−
α
α
1
)
1
(
gdzie:
α
jest stał
ą
wygładzania i przyjmuje warto
ś
ci <0;0,4>
Metoda analityczna: polega na dopasowaniu funkcji matematycznej która najlepiej
przybli
ż
a trend zjawiska. Post
ę
pujemy analogicznie jak w przypadku wyznaczania
regresji IIgo rodzaju za pomoc
ą
MNK.
β
α
+
∗
=
t
y
t
ˆ
Podobnie jak w przypadku regresji IIgo rodzaju warto
ść
współczynnika trendu czyli
α
informuje nas o przeci
ę
tnej zmianie poziomu zjawiska wynikaj
ą
cej z działania
przyczyn głównych. Je
ś
li numerujemy okresy: t=1,…,n wyraz wolny nie ma
interpretacji, je
ś
li numerujemy t=0,…,n-1 to wyraz wolny wyra
ż
a teoretyczny poziom
zjawiska w pierwszym okresie jaki podlegał obserwacji.
26
Analiza szereg
Analiza szereg
ó
ó
w czasowych:
w czasowych:
Wyodr
Wyodr
ę
ę
bnienie tendencji rozwojowej
bnienie tendencji rozwojowej
-
-
przyk
przyk
ł
ł
ad wyg
ad wyg
ł
ł
adzania wyk
adzania wyk
ł
ł
adniczego
adniczego
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
W
1
/0
3
W
6
/0
3
W
9
/0
3
W
1
2
/0
3
W
1
5
/0
3
W
1
8
/0
3
W
2
1
/0
3
W
2
4
/0
3
W
2
7
/0
3
W
3
0
/0
3
W
3
3
/0
3
W
3
6
/0
3
W
3
9
/0
3
W
4
2
/0
3
W
4
5
/0
3
W
4
8
/0
3
W
5
1
/0
3
W
2
/0
4
W
5
/0
4
W
8
/0
4
W
1
1
/0
4
W
1
4
/0
4
W
1
7
/0
4
W
2
0
/0
4
W
2
3
/0
4
W
2
6
/0
4
W
2
9
/0
4
W
3
2
/0
4
W
3
5
/0
4
W
3
8
/0
4
W
4
1
/0
4
w
a
rt
o
s
c
w
1
0
t
y
s
.
P
L
N
warto
ść
sprzeda
ż
y szamponu X w hipermarkecie Y (w 10 tys. PLN)
wygładzenie wykładnicze wsp. a=0.1
wygładzenie wykładnicze wsp. a=0.3
27
Analiza szereg
Analiza szereg
ó
ó
w czasowych:
w czasowych:
Wyodr
Wyodr
ę
ę
bnienie tendencji rozwojowej
bnienie tendencji rozwojowej
–
–
przyk
przyk
ł
ł
ad trend liniowy
ad trend liniowy
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
W
1
/0
3
W
6
/0
3
W
9
/0
3
W
1
2
/0
3
W
1
5
/0
3
W
1
8
/0
3
W
2
1
/0
3
W
2
4
/0
3
W
2
7
/0
3
W
3
0
/0
3
W
3
3
/0
3
W
3
6
/0
3
W
3
9
/0
3
W
4
2
/0
3
W
4
5
/0
3
W
4
8
/0
3
W
5
1
/0
3
W
2
/0
4
W
5
/0
4
W
8
/0
4
W
1
1
/0
4
W
1
4
/0
4
W
1
7
/0
4
W
2
0
/0
4
W
2
3
/0
4
W
2
6
/0
4
W
2
9
/0
4
W
3
2
/0
4
W
3
5
/0
4
W
3
8
/0
4
W
4
1
/0
4
w
a
rt
o
s
c
w
1
0
t
y
s
.
P
L
N
warto
ść
sprzeda
ż
y szamponu X w hipermarkecie Y (w 10 tys. PLN)
trend liniowy: Y=0.065*t+0.97
28
Analiza szereg
Analiza szereg
ó
ó
w czasowych:
w czasowych:
Wyodr
Wyodr
ę
ę
bnienie waha
bnienie waha
ń
ń
okresowych
okresowych
–
–
Model addytywny
Model addytywny
1) Addytywnie co oznacza
ż
e warto
ść
funkcji trendu jest powi
ę
kszana lub pomniejszana o
stałe niezale
ż
nie od poziomu trendu czyli model waha
ń
przyjmuje posta
ć
:
t
i
t
t
z
o
y
y
+
+
=
ˆ
t
y
t
z
i
o
t
yˆ
gdzie:
- warto
ść
empiryczn
ą
- warto
ść
wynikaj
ą
c
ą
z funkcji trendu
- wpływ waha
ń
okresowych
- wpływ czynników przypadkowych
Wahania okresowe mog
ą
nakłada
ć
si
ę
na trend w sposób addytywny b
ą
d
ź
multiplikatywny
Wyznaczanie surowych wska
ź
ników sezonowo
ś
ci w przypadku modelu addytywnego.
d
i
y
y
n
O
t
N
t
t
i
s
i
i
,...,
2
,
1
dla
)
ˆ
(
1
=
−
=
∑
∈
t
yˆ
gdzie:
-warto
ść
wynikaj
ą
c
ą
z funkcji trendu
- liczba podokresów w cyklu sezonowo
ś
ci
(np. 4 kwartały w cyklu rocznym)
- liczba obliczonych ró
ż
nic:
d
)
ˆ
(
t
t
y
y
−
n
i
Współczynnik koryguj
ą
cy:
∑
=
=
d
i
s
i
O
d
k
1
1
Wyznaczenie wska
ź
ników sezonowo
ś
ci:
k
O
o
i
s
i
−
=
Tak wyznaczone wska
ź
niki okre
ś
laj
ą
efekt absolutnych waha
ń
okresowych.
0
1
=
∑
=
d
i
i
o
Dla wska
ź
ników oczyszczonych zachodzi relacja:
29
Analiza szereg
Analiza szereg
ó
ó
w czasowych: wyodr
w czasowych: wyodr
ę
ę
bnienie waha
bnienie waha
ń
ń
okresowych
okresowych
–
–
Model multiplikatywny
Model multiplikatywny
2) Multiplikatywnie co oznacza
ż
e warto
ść
funkcji trendu jest powi
ę
kszana lub
pomniejszana proporcjonalnie czyli model waha
ń
przyjmuje posta
ć
:
t
i
t
t
z
o
y
y
∗
∗
=
ˆ
Dla modelu multiplikatywnego wyznaczamy wska
ź
niki surowe według formuły:
d
i
y
y
n
O
i
i
N
t
t
t
i
s
,...,
2
,
1
dla
ˆ
1
=
=
∑
∈
Współczynnik koryguj
ą
cy:
∑
=
=
d
i
s
i
O
d
k
1
1
Wyznaczenie oczyszczonych wska
ź
ników sezonowo
ś
ci:
k
O
o
i
s
i
:
=
Tak wyznaczone wska
ź
niki okre
ś
laj
ą
efekt relatywny waha
ń
okresowych.
d
o
d
i
i
=
∑
=
1
Dla wska
ź
ników oczyszczonych zachodzi relacja:
30
Analiza szereg
Analiza szereg
ó
ó
w czasowych: wyodr
w czasowych: wyodr
ę
ę
bnienie waha
bnienie waha
ń
ń
okresowych
okresowych
–
–
Przyk
Przyk
ł
ł
ad modelu addytywnego
ad modelu addytywnego
Wyznaczenie surowych wska
ź
ników sezonowo
ś
ci:
O
s1
=1/5(260-316,3+310-367,1+350-417,9+380-
468,7+420-519,5)=-73,9
O
s2
=35,4
O
s3
=148,7
O
s4
=-110
Współczynnik koryguj
ą
cy:
=1/4(-73,9+35,4+148,7+-110)=0,05
∑
=
=
d
i
s
i
O
d
k
1
1
Wska
ź
niki skorygowane:
O
1
=O
s1
-k=-73,9-0,05=-73,95
O
2
=O
s2
-k=35,4-0,05=35,35
O
3
=O
s3
-k=148,7-0,05=148,65
O
4
=O
s4
-k=-110-0,05=-110,5
Wska
ź
niki
skorygowane
informuj
ą
nas
o
absolutnej
zmianie
warto
ś
ci
sprzeda
ż
y
w
poszczególnych kwartałach dla analizowanych
lat,
wynikaj
ą
cej
z
działania
czynników
sezonowych.
Rok Kwartał Nr. obserwacji t
Sprzeda
ż
w tys. szt. yt
Trend liniowy y^t
1995
I
0
260
316,3
II
1
360
329
III
2
450
341,7
IV
3
260
354,4
1996
I
4
310
367,1
II
5
420
379,8
III
6
520
392,5
IV
7
310
405,2
1997
I
8
350
417,9
II
9
470
430,6
III
10
590
443,3
IV
11
350
456
1998
I
12
380
468,7
II
13
510
481,4
III
14
660
494,1
IV
15
380
506,8
1999
I
16
420
519,5
II
17
570
532,2
III
18
740
544,9
IV
19
430
557,6
31
Analiza
szereg
Analiza
szereg
ó
ó
w
czasowych:
wyodr
w
czasowych:
wyodr
ę
ę
bnienie
waha
bnienie
waha
ń
ń
okresowych
okresowych
–
–
Przyk
Przyk
ł
ł
ad modelu multiplikatywnego
ad modelu multiplikatywnego
Wyznaczenie surowych wska
ź
ników sezonowo
ś
ci:
O
s1
=1/4(8/9,3+9/11,9+10/14,5+11/17,1)=0,7374
O
s2
=1/4(12/9,95+16/12,55+22/15,15+28/17,75)
=13,3776
O
s3
=1,0811
O
s4
=0,7869
Współczynnik koryguj
ą
cy:
=1/4(0,7374+ 1,3776 + 1,0811 +
0,7869)=0,996
∑
=
=
d
i
s
i
O
d
k
1
1
Wska
ź
niki skorygowane:
O
1
=O
s1
:k=0,7374:0,996=0,73
O
2
=O
s2
:k= 1,3776:0,996=1,37
O
3
=O
s3
:k= 1,0811:0,996=1,08
O
4
=O
s4
:k= 0,7869:0,996=0,78
Skorygowane relatywne wska
ź
niki sezonowo
ś
ci
informuj
ą
nas o wzgl
ę
dnej zmianie warto
ś
ci
sprzeda
ż
y w poszczególnych kwartałach dla
analizowanych lat, wynikaj
ą
cej z działania
czynników sezonowych. Oznacza to,
ż
e np.: w
pierwszym
kwartale
badanych
lat
liczba
realizowanych zlece
ń
była o 27% ((0,73-
1)100=27 ni
ż
sza od poziomu wynikaj
ą
cego z
trendu liniowego z powodu działania czynników
sezonowych.
Rok Kwartał Nr. obserwacji t
Liczba wykonanych
zlece
ń
yt
Trend liniowy y^t
1995
I
0
8
9,3
II
1
12
9,95
III
2
11
10,6
IV
3
10
11,25
1996
I
4
9
11,9
II
5
16
12,55
III
6
14
13,2
IV
7
11
13,85
1997
I
8
10
14,5
II
9
22
15,15
III
10
18
15,8
IV
11
12
16,45
1998
I
12
11
17,1
II
13
28
17,75
III
14
20
18,4
IV
15
14
19,05