TEORIA STEROWNIA

Zajęcia nr 11

Analiza Szeregów Czasowych

SZEREGI CZASOWE

• Szereg czasowy - ciąg obserwacji pewnego zjawiska w kolejnych jednostkach czasu [def. statystyczna].

• Jeżeli zbiór obserwacji jest ciągły szereg czasowy nazywamy ciągłym. Jeśli zbiór jest dyskretny to szereg nazywamy dyskretnym.

• Time-Series Data, Time-related data - dane zmieniające się wraz z upływem czasu; dane zawierające serie (szeregi) wartości / wielkości zmieniających się w czasie.

• Wielkości mierzone na skalach liczbowych, na ogól w równych odstępach czasu; Kształt wykresu niesie istotną informacje.

Dane reprezentowane w postaci szeregów czasowych są popularne w wielu zastosowaniach, np.:

• Analiza danych giełdowych.

• Opracowywanie danych GUS (spójrz Roczniki

• Statystyczne lub Biuletyny Statystyczne).

• Wspomaganie decyzji w zarządzaniu przedsiębiorstwami, w szczególności tworzenie prognozy sprzedaży a także analiza dynamiki procesów produkcyjnych, zaopatrzenia, zapasów, finansów, siły roboczej.

• Analiza danych diagnostycznych i prognozy postępowania w medycynie.

• Analiza wyników eksperymentów naukowych.

• Analiza szeregów czasowych (ang. time series) jest powiązana z metodami prognozowania (ang. forecasting).

• Należy odróżnić time-series data od sequence data.

Szereg dyskretny:

Obserwacje szeregu czasowego w chwilach

oznaczone zostaną przez:

lub

i mierzone są w odstępach h.

Chwile czasowe można zatem opisać również następująco:

Stacjonarne procesy stochastyczne:

proces stochastyczny, w którym wszystkie momenty oraz momenty łączne są stałe.

N - obserwacji

Średnią procesu stochastycznego wyrażona jest wzorem:

gdzie p jest funkcją prawdopodobieństwa, a E oznacza wartość oczekiwaną.

Równanie to można zastąpić korzystając ze wzoru na średnią:

wzorem:

Wariancja określona jest wzorem:

Autokowariancja:

Gdzie k oznacza odstęp między

Autokorelacja:

Którą można zastąpić wzorem:

ZADANIA:

1. Niżej podane są pomiary temperatury z w reaktorze chemicznym wykonane co minuta:

200,202,208,204,207,207,204,202,199,201,198,200,202,203,205,207,211,204,206,203,203,201,198, 200,206, 207,206,200,203,203,200,200,195,202,204.

• Wykonać wykres szeregu

• Wykonać wykres zależności
  

• Wykonać wykres zależności
  

2. Pierwsze dwie autokorelacje procesu są równe niezerowe, a pozostałe równe zeru. Stwierdzić, Czy proces jest stacjonarny, czy nie?

• 
  

• 
  

Aby proces był stacjonarny macierz autokowariancji(symetryczna)

oraz odpowiadająca jej macierz autokorelacji

dla n obserwacji muszą być dodatnio określone.

Rozważając funkcję liniową zmiennych losowych
mamy:

Dla procesu stacjonarnego
wariancja równa jest:

co jest większe od zera, jeżeli nie wszystkie
są zerami.

• 
  

Załóżmy, że mamy N obserwacji. Korzystając w rozwinięcia Laplace'a do wyznaczania wyznaczników macierzy otrzymywalibyśmy kolejno rozwinięcia względem i tego wiersza i tej kolumny:

Ponieważ rozwijalibyśmy tylko za pomocą kolumny i i wiersza i wynik byłby parzysty, -1 do potęgo parzystej dawało by 1 , więc wyznacznik nie zmieniałby znaku.

Doszlibyśmy w końcu do macierzy:

Zatem wyznacznik macierzy byłby równy:

Proces byłby stacjonarny.

• 
  

Postępując analogicznie otrzymamy macierz:

3. Oblicz sty matę funkcji autokowariancji i funkcji autokorelacji dla dziesięciu wartości procesu chemicznego.

ESTYMACJA FUNKCJI AUTOKOWARIANCJI I AUTOKORELACJI

Mamy szereg czasowy
.

N- ilość obserwacji.

• Z szeregu czasowego możemy jedynie otrzymać estymatory funkcji autokorelacji.

Z obserwacji innych badaczy wynika, że najbardziej zadawalającym estymatorem autokorelacji
jest:

gdzie

- estymator kowariancji

- średnia szeregu czasowego

-estymator autokowariancji kowariancji

• Trzeba wykonać więcej niż 50 obserwacji, a estymowane autokorelacje
  powinny być obliczone dla k=0,1,2,…K gdzie K jest w przybliżeniu większe niż N/4.

EX.

N=10

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
z(t)	47,00	64,00	23,00	71,00	38,00	64,00	55,00	41,00	59,00	48,00

Na początku należy obliczyć wartość średnią:

a potem odchylenia wokół wartości średniej:

t
1	-4,00
2	13,00
3	-28,00
4	20,00
5	-13,00
6	13,00
7	4,00
8	-10,00
9	8,00
10	-3,00

Następnie trzeba policzyć
:

Obliczając wszystkie
możemy przejść do obliczenia
. Otrzymujemy więc:

0	189,6	1,00
1	-149,7	-0,79
2	87,6	0,46
3	-57,1	-0,30
4	-23,4	-0,12
5	47,9	0,25
6	-43	-0,23
7	22,8	0,12
8	-7,1	-0,04
9	1,2	0,01

5. Oblicz
   dla szeregu podanego w ćwiczeniu 1. Wykonać wykres
   .

• Z szeregu czasowego możemy jedynie otrzymać estymatory funkcji autokorelacji.

Z obserwacji innych badaczy wynika, że najbardziej zadawalającym estymatorem autokorelacji
jest:

gdzie

- estymator kowariancji

- średnia szeregu czasowego

-estymator autokowariancji kowariancji

200, 202,208,204,207,207,204,202,199,201,198,200,202,203,205,207,211,204,206,203,203,201,198, 200,206, 207,206,200,203,203,200,200,195,202,204.

Na początku należy obliczyć wartość średnią:

a potem odchylenia wokół wartości średniej dla każdego t:

t
1	-2,89
2	-0,89
3	5,11
4	1,11
5	4,11
6	4,11
7	1,11
8	-0,89
9	-3,89
10	-1,89
11	-4,89
12	-2,89
13	-0,89
14	0,11
15	2,11
16	4,11
17	8,11
18	1,11
19	3,11
20	0,11
21	0,11
22	-1,89
23	-4,89
24	-2,89
25	3,11
26	4,11
27	3,11
28	-2,89
29	0,11
30	0,11
31	-2,89
32	-2,89
33	-7,89
34	-0,89
35	1,11

Następnie trzeba policzyć
:

	10,96
	5,36
	2,11

Obliczając wszystkie
możemy przejść do obliczenia
. Otrzymujemy więc:

	1
	0,49
	0,19

Model autoregresji (AR) rzędu p

Niech p początkowych wag przyjmuje wartości różne od zera

gdzie:
- skończony układ parametrów wagowych

Proces ten nazywamy procesem autoregresji rzędu p lub w skrócie AR(p).

Można również zapisać jako:

lub

gdzie operator:

Proces można traktować jako wyjście
filtru liniowego z funkcją przenoszenia
, w którym wejściem jest biały szum
, dlatego:

Model średniej ruchomej (MA) rzędu q

Niech p początkowych wag przyjmuje wartości różne od zera

gdzie:
- skończony układ parametrów wagowych

Proces ten nazywamy procesem średniej ruchomej rzędu q lub w skrócie MA(q).

Można również zapisać jako:

lub

gdzie operator:

Warunki odwracalności:

Mieszany model autoregresji i średniej ruchomej (ARMA) rzędu p i q

Niech p początkowych wag przyjmuje wartości różne od zera

gdzie:
- skończony układ parametrów wagowych

Proces ten nazywamy procesem średniej ruchomej rzędu q lub w skrócie ARMA(p,q).

Można również zapisać jako:

lub

gdzie operator:

Oznaczenia - symbole i definicje.

Dla liniowego równania różnicowe postaci:

przy czym
są nieznanymi wartościami parametrów obiektu, wielkości
znanymi wielkościami wyjścia,
znanymi wielkościami wejścia, natomiast
to zakłócenia.

Model ten nazywany jest modelem autoregresji i średniej ruchomej w skrócie ARMA.

Model ten da się zapisać za pomocą jednego wzoru:

gdzie przez
oznaczamy wektor regresji, a przez
wektor współczynników modelu.

W przypadku wyżej wymienionego modelu przez te oznaczenia rozumiemy:

Przyjmując, że zakłócenia
są zmiennymi losowymi o wartości oczekiwanej:

I macierz kowariancji:

Metoda najmniejszych kwadratów (Least Squares - LS)

Współczynniki równania można znaleźć za pomocą wzoru:

gdzie Y oznacza macierz o wymiarze
gdzie
postaci:

Rozszerzona metoda najmniejszych kwadratów (Extended Least Squares - ELS)

Metoda ELS jest rozszerzeniem metody LS na układy, w których zakłócenia są ze sobą skorelowane. Model ten da się zapisać za pomocą wzoru:

gdzie przez
oznaczamy wektor regresji, a przez
wektor współczynników modelu.

W przypadku wyżej wymienionego modelu przez te oznaczenia rozumiemy:

Współczynniki równania można znaleźć za pomocą wzoru:

gdzie Y oznacza macierz o wymiarze
gdzie
postaci:

---