ANALIZA
SZEREGÓW
CZASOWYCH
ANALIZA
SZEREGÓW
CZASOWYCH
Analiza szeregów
czasowych
polega na określeniu i wyodrębnieniu z szeregu
występujących w nim prawidłowości, tendencji
oraz na oddzieleniu ich od niesystematycznych,
przypadkowych
wahań.
W
szeregach
czasowych wyróżnia się zatem dwie składowe:
składową systematyczną, będącą efektem
oddziaływań stałego zestawu czynników na
szereg czasowy oraz
składową
przypadkową
(zwaną
często
składnikiem
losowym
lub
wahaniami
przypadkowymi).
Składowa systematyczna
szeregu
może mieć postać jednego lub złożenia
kilku spośród elementów:
tendencji rozwojowej (trendu),
stałego (przeciętnego) poziomu szeregu,
składowej okresowej (składowej
periodycznej), która występuje w postaci
wahań cyklicznych lub sezonowych.
Zatem rozwój zjawiska w czasie może być
wynikiem nakładania się na siebie
następujących czynników:
trend – długookresowa skłonność do jednokierunkowych
zmian (wzrostu lub spadku) wartości badanej zmiennej, jest
rozpatrywany jako konsekwencja działania stałego zestawu
czynników, takich jak np. w przypadku sprzedaży – wzrostu
liczby potencjalnych klientów, zmian w technologii czy
preferencjach konsumentów,
wahania sezonowe – regularne odchylenia od ustalonego
poziomu lub od linii trendu, mające skłonność do
powtarzania się w określonym czasie, nie przekraczającym
jednego
roku,
odzwierciedlają
wpływ
pogody
lub
"kalendarza" na działalność gospodarczą,
wahania
cykliczne
wyrażają
się
w
postaci
długookresowych, rytmicznych wahań wartości zmiennej
wokół tendencji rozwojowej lub stałego (przeciętnego)
poziomu tej zmiennej, w ekonomii są one na ogół związane
z cyklem koniunkturalnym,
wahania przypadkowe – wszystkie zmiany o charakterze
nieregularnym z punktu widzenia przebiegu szeregu.
Identyfikację poszczególnych
składowych szeregu czasowego
konkretnej zmiennej umożliwia - w wielu
przypadkach - ocena wzrokowa
sporządzonego wykresu. Wykres
szeregu czasowego umożliwia ponadto
wykrycie obserwacji nietypowych oraz
punktów zwrotnych.
Szereg czasowy bez
składowej systematycznej
charakteryzuje się zazwyczaj nieregularnym
oscylowaniem wartości zjawiska wokół
pewnego
stałego
poziomu.
Nie
obserwujemy tu systematycznych zmian w
czasie ani regularnych odchyleń, mają
miejsce wyłącznie odchylenia przypadkowe.
Nie można przewidzieć losowych wahań
szeregu.
Dobrą metodą określenia przewidywanej
wartość zjawiska jest wyznaczenie średniej
arytmetycznej z wartości zaobserwowanych
w przeszłości.
Liczba sprzedanych samochodów
marki OPEL w Łodzi w kolejnych
tygodniach
Nr tygodnia
Liczba sprzedawanych samochodów w
szt.
1
15
2
17
3
19
4
16
5
15
6
11
7
18
8
14
9
16
10
9
Razem
150
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nr tygodnia
L
ic
zb
a
s
p
rz
e
d
a
n
yc
h
s
a
m
o
c
h
o
d
ó
w
w
s
zt
.
Szereg czasowy z trendem
jest to szereg, w którym obserwujemy
systematyczne zmiany w czasie o
stałym charakterze (trend) oraz
towarzyszące im zmiany przypadkowe.
0
5
10
15
20
25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
y
wygładzanie szeregu
Wyodrębnienie trendu wiąże się z tzw.
wygładzaniem szeregu. Jest to także
często pierwszy krok w analizie szeregu
czasowego z większą liczbą składowych.
Szereg
wygładzony
pozwala
obserwować dane z pominięciem wahań
krótkookresowych, zwłaszcza wahań
przypadkowych i sezonowych.
Metody wygładzania
Najczęściej stosowane metody
wygładzania szeregu czasowego to:
mechaniczna - średnia ruchoma,
analityczna - funkcja trendu – prosty
model regresyjny, w którym zmienną
niezależną jest czas.
Najprostszą z metod wygładzania
mechanicznego jest średnia ruchoma,
czyli krocząca. Jest to średnia
arytmetyczna wyznaczona z k kolejnych
elementów szeregu, zazwyczaj
bezpośrednio poprzedzających moment
obserwacji t (t>k):
1
1
t
k
t
i
i
t
y
k
y
średnia krocząca 15-okresowa
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
1
2
4
4
7
7
0
9
3
1
1
6
1
3
9
1
6
2
1
8
5
2
0
8
2
3
1
2
5
4
2
7
7
3
0
0
3
2
3
3
4
6
3
6
9
3
9
2
4
1
5
4
3
8
4
6
1
4
8
4
5
0
7
5
3
0
5
5
3
5
7
6
5
9
9
6
2
2
6
4
5
Czas
W
a
rt
o
ś
c
k
u
rs
u
średnia
kurs akcji
Średnia
ruchoma
może
być
wykorzystywana także jako prosta metoda
prognozowania
przyszłych
wartości
szeregu czasowego. Przy jej użyciu
przewiduje się, że wartość yt w momencie
t
będzie
równa
wartości
średniej
ruchomej . Jest to metoda prognozowania
skuteczna dla niektórych szeregów, jednak
wadą średniej ruchomej (zwłaszcza dla
dużego k, np. k=15) jest przypisywanie
takiego samego znaczenia obserwacjom
odległym i najnowszym.
W celu uwzględnienia postulatu
większego wpływu na średnią
obserwacji najnowszych stosuje się tzw.
średnią ważoną liniowo, która jest
następującej postaci:
1
1
t
k
t
i
k
t
i
i
t
w
y
y
1
...
0
2
1
k
w
w
w
k
i
i
w
1
1
Obliczanie średniej ważonej
i prostej
Nr
obserwacj
e
wagi wagi wagi średnia ważona
suma Prosta średnia
1
2
0,2
2
3
0,3
0,2
3,8
10
3,33
3
5
0,5
0,3
0,2
5,6
15
5,00
4
7
0,2
0,5
0,3
4,6
15
5,00
5
3
0,3
0,2
0,5
4,3
14
4,67
6
4
0,5
0,3
0,2
6,3
16
5,33
7
9
0,2
0,5
0,3
4,5
15
5,00
8
2
0,3
0,2
0,5
3,9
14
4,67
9
3
0,5
0,3
0,2
3,8
10
3,33
10
5
0,2
0,5
0,3
3,6
11
3,67
11
3
0,3
0,2
0,5
3,9
12
4,00
12
4
0,5
0,3
0,2
5,8
15
5,00
13
8
0,5
0,3
4,2
14
4,67
14
2
0,5
4,33
Porównanie średnich kroczących
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Czas
W
a
rt
o
ś
ć
z
m
ie
n
n
e
j
średnia ważona
wartości empiryczne
średnia prosta
średnia wykładnicza
którą stosuje się szczególnie w
przypadku zmiennych, których wartości
podlegają częstym, gwałtownym i
przypadkowym wahaniom.
1
1
)
1
(
t
t
t
y
y
y
1
1
1
t
t
t
y
y
q
1
1
t
t
t
q
y
y
Podstawowym problemem w przypadku
stosowania średnich wykładniczych jest
ustalenie wartości parametru
wygładzania. Dokonuje się tego
zazwyczaj eksperymentalnie, tj.
przyjmując różne wartości
sprawdzając, która z nich daje najlepsze
efekty (np. najmniejszy błąd prognozy).
Obliczanie średniej
wykładniczej dla =0,5
Nr
obserwacje
y
t
średnia prosta
odchylenie
q
t-1
średnia
wykładnicza
1
31
2
32
32,33
-0,33
3
34
34,00
0,00
31,83
4
36
34,00
2,00
34,00
5
32
33,67
-1,67
37,00
6
33
34,33
-1,33
31,17
7
38
34,00
4,00
32,33
8
31
33,67
-2,67
40,00
9
32
32,33
-0,33
29,67
10
34
32,67
1,33
31,83
11
32
33,00
-1,00
34,67
12
33
34,00
-1,00
31,50
13
37
33,67
3,33
32,50
14
31
38,67
Porównanie średniej prostej i wykładniczej
-5,00
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
45,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Czas
w
a
rt
o
ś
c
i
z
m
ie
n
n
e
j
średnia prosta
odchylenie
średnia wykładnicza
wartości empiryczne
Przykłady średnich
wykładniczych dla różnych
parametrów wygładzania
Modele trendu
są modelami regresji, w których rolę zmiennej
niezależnej pełni zmienna czasowa, czyli:
t
t
t
f
y
)
(
W zależności od postaci analitycznej funkcji f wyróżniamy
różne rodzaje trendu. Do najczęściej wykorzystywanych
należy funkcja liniowa, wykładnicza, potęgowa i wielomian
stopnia drugiego .
Trend liniowy można zapisać
jako:
w którym parametr
1
wyraża stały przyrost z
okresu na okres wartości zmiennej
objaśnianej. W celu wykorzystania modelu
trendu do prognozowania należy w pierwszym
kroku oszacować za pomocą MNK parametry
tego modelu na podstawie szeregu
czasowego obejmującego dane z przeszłości,
czyli:
t
t
t
y
1
0
t
a
a
y
t
1
0
ˆ
Przykład
Ceny pewnego produktu zmieniały się w ciągu
roku, a ich poziom w kolejnych miesiącach
1997 roku był następujący:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
y
t
30
31
33
33
32
34
33
34
35
36
36
37
Za pomocą liniowej funkcji trendu oszacuj ceny, jakich należy
się spodziewać.
Szeregi czasowe ze
składnikiem sezonowym
Szereg czasowy ze składnikiem
sezonowym (bez trendu) jest to
szereg, w którym występują zmiany w
czasie w postaci wahań sezonowych,
związane z cyklem rocznym,
tygodniowym, czasem miesięcznym itp.,
następujące wokół stałego poziomu
średniego zjawiska.
Przykład szeregu czasowego z
rocznymi wahaniami
sezonowymi.
0,0E+00
5,0E+07
1,0E+08
1,5E+08
2,0E+08
2,5E+08
3,0E+08
3,5E+08
st
y-
9
8
lu
t-
9
8
m
a
r-
9
8
kw
i-
9
8
m
a
j-
9
8
cz
e
-9
8
li
p
-9
8
si
e
-9
8
w
rz
-9
8
p
a
ź-
9
8
li
s-
9
8
g
ru
-9
8
st
y-
9
9
lu
t-
9
9
m
a
r-
9
9
kw
i-
9
9
m
a
j-
9
9
cz
e
-9
9
li
p
-9
9
si
e
-9
9
w
rz
-9
9
p
a
ź-
9
9
li
s-
9
9
g
ru
-9
9
st
y-
0
0
lu
t-
0
0
m
a
r-
0
0
kw
i-
0
0
m
a
j-
0
0
cz
e
-0
0
li
p
-0
0
si
e
-0
0
w
rz
-0
0
p
a
ź-
0
0
li
s-
0
0
g
ru
-0
0
st
y-
0
1
W szeregu z wahaniami sezonowymi występują
kolejne okresy k obserwacji (sezonów) o
powtarzającym się przebiegu (z dokładnością do
wahań przypadkowych).
W przypadku takiego szeregu należy wyodrębnić wartości tzw.
wskaźników sezonowości (wskaźniki wahań okresowych),
czyli wartości k współczynników ci, i=1, ...,k, określających wpływ
i-tego sezonu na ogólną wartość szeregu. Wskaźniki te wyznacza
się jako stosunek średniej wartości szeregu w i-tym sezonie (dla
wszystkich kolejnych okresów) do średniej ogólnej szeregu:
gdzie:
jest średnią arytmetyczną wyznaczoną ze wszystkich ni
wartości szeregu, które reprezentują i-ty sezon, i=1, ..., k,
Ti – zbiór wszystkich numerów obserwacji (momentów w czasie)
reprezentujących i-ty sezon, i=1, ..., k,
– średnia arytmetyczna wszystkich wartości szeregu.
Wskaźniki sezonowości wyraża się w ułamkach lub procentach.
y
y
c
i
i
i
T
t
t
i
i
y
n
y
1
n
t
t
y
n
y
1
1
Przykład
Miesiąc
Pobór
Miesiąc
Pobór
styczeń 98
309071852
sierpień 99
183955780,5
luty 98
273171395
wrzesień 99
200431479,5
marzec 98
292342661,5
październik 99
246707880,4
kwiecień 98
237790335
listopad 99
280769012,3
maj 98
203923912,3
grudzień 99
305189752,3
czerwiec 98
186408775,7
styczeń 00
315302028,8
lipiec 98
175355381
luty 00
279768195,2
sierpień 98
194825496,2
marzec 00
286707360,6
wrzesień 98
211516599,9
kwiecień 00
219565277,8
październik 98
261640452,4
maj 00
198439116,7
listopad 98
294692366,9
czerwiec 00
189793412,4
grudzień 98
313031640,7
lipiec 00
185421361,2
styczeń 99
296295652
sierpień 00
195471272,9
luty 99
282152439
wrzesień 00
219975710,6
marzec 99
276877813
październik 00
239444130
kwiecień 99
224569205,1
listopad 00
264381672,7
maj 99
203184546,2
grudzień 00
288792049,5
czerwiec 99
185884209,6
styczeń 01
310979169,9
lipiec 99
176749136,6
Wskaźniki sezonowości
Miesiąc
Wskaźnik sezonowości
styczeń
1,26
luty
1,14
marzec
1,17
kwiecień
0,93
maj
0,83
czerwiec
0,77
lipiec
0,74
sierpień
0,79
wrzesień
0,86
październik
1,02
listopad
1,15
grudzień
1,24
Po obliczeniu wskaźników sezonowości
można wyznaczyć oczyszczone
(z wpływu sezonowości) wartości
szeregu jako:
gdzie ci jest wskaźnikiem sezonowości
odpowiadającym momentowi t.
i
t
t
c
y
y
ˆ
Przykład
Miesiąc
y
t
c
i
Miesią
c
y
t
c
i
sty 98 30907185
2
1,26 244446343
sie 99183955781 0,79 234036025
lut 98 27317139
5
1,14 238986346
wrz 99200431480 0,86 231725290
mar 98 29234266
2
1,17 249532578
paź 99246707880 1,02 241031690
kwi 98 23779033
5
0,93 254759219
lis 99280769012 1,15 244243631
maj 98 20392391
2
0,83 246032280
gru 99305189752 1,24 245826348
cze 98 18640877
6
0,77 242289997
sty 00315302029 1,26 249373818
lip 98 17535538
1
0,74 238337251
lut 00279768195 1,14 244757613
sie 98 19482549
6
0,79 247864920
mar
00
286707361 1,17 244722499
wrz 98 21151660
0
0,86 244541154
kwi 00219565278 0,93 235233609
paź 98 26164045
2
1,02 255620697
maj
00
198439117 0,83 239414926
lis 98 29469236
7
1,15 256355689
cze 00189793412 0,77 246689273
gru 98 31303164
1
1,24 252142887
lip 00185421361 0,74 252018600
sty 99 29629565
2
1,26 234341588
sie 00195471273 0,79 248686503
lut 99 28215243
9
1,14 246843489
wrz 00219975711 0,86 254321005
mar 99 27687781
3
1,17 236332371
paź 00239444130 1,02 233935062
kwi 99 22456920
5
0,93 240594620
lis 00264381673 1,15 229988128
maj 99 20318454
6
0,83 245140242
gru 00288792050 1,24 232618214
cze 99 18588421
0
0,77 241608178
sty 01310979170 1,26 245954849
lip 99 17674913
7
0,74 240231598
t
yˆ
t
yˆ
Szereg oczyszczony ze
składowej sezonowej
0,00E+00
5,00E+07
1,00E+08
1,50E+08
2,00E+08
2,50E+08
3,00E+08
3,50E+08
st
y-
9
8
lu
t-
9
8
m
a
r-
9
8
kw
i-
9
8
m
a
j-
9
8
cz
e
-9
8
li
p
-9
8
si
e
-9
8
w
rz
-9
8
p
a
ź-
9
8
li
s-
9
8
g
ru
-9
8
st
y-
9
9
lu
t-
9
9
m
a
r-
9
9
kw
i-
9
9
m
a
j-
9
9
cz
e
-9
9
li
p
-9
9
si
e
-9
9
w
rz
-9
9
p
a
ź-
9
9
li
s-
9
9
g
ru
-9
9
st
y-
0
0
lu
t-
0
0
m
a
r-
0
0
kw
i-
0
0
m
a
j-
0
0
cz
e
-0
0
li
p
-0
0
si
e
-0
0
w
rz
-0
0
p
a
ź-
0
0
li
s-
0
0
g
ru
-0
0
st
y-
0
1
Szereg czasowy z trendem i
sezonowością
Szereg czasowy z trendem i
sezonowością jest to szereg, w którym
nakładają się na siebie składnik trendu
oraz wpływ wahań sezonowych.
Przykład szeregu czasowego z
trendem i sezonowością
40
45
50
55
60
65
70
po
nie
dz
iał
ek
wt
or
ek
śr
od
a
cz
wa
rte
k
pią
tek
po
nie
dz
iał
ek
wt
or
ek
śr
od
a
cz
wa
rte
k
pią
tek
po
nie
dz
iał
ek
wt
or
ek
śr
od
a
cz
wa
rte
k
pią
tek
po
nie
dz
iał
ek
wt
or
ek
śr
od
a
cz
wa
rte
k
pią
tek
po
nie
dz
iał
ek
wt
or
ek
dzień tygodnia
ce
n
a
Metody dekompozycji
Do analizy i prognozowania szeregu
czasowego, w którym występuje złożona
składowa systematyczna wykorzystuje
się metody dekompozycji, polegające
na wyodrębnieniu poszczególnych
czynników określających zmienność
tego zjawiska w czasie.
W procesie dekompozycji
wyróżniamy następujące
etapy:
wygładzanie szeregu czasowego, w
wyniku którego otrzymujemy szereg
wygładzony
oczyszczenie szeregu z trendu, w wyniku
którego otrzymuje się szereg wt,
wyznaczenie czynnika sezonowego, w
wyniku którego oblicza się wskaźniki
sezonowości ci,
oddzielenie
trendu
i
czynnika
sezonowego z szeregu.
t
yˆ
Rodzaj modelu
Sposób wyznaczenia czynnika sezonowego zależy
od tego, czy mamy do czynienia z sezonowością
multiplikatywną czy addytywną.
W modelu multiplikatywnym przyjmuje się, że
obserwowane wartości zmiennej prognozowanej
są iloczynem (wszystkich lub niektórych)
składowych szeregu czasowego. Model
multiplikatywny jest najczęściej używanym
modelem w dekompozycji szeregów czasowych.
W modelu addytywnym zakłada się, że
obserwowane wartości zmiennej prognozowanej
są sumą (wszystkich lub niektórych) składowych
szeregu czasowego.
Wyznaczanie wskaźników sezonowości rozpoczyna
się od obliczenia indywidualnych wskaźników
sezonowości wt, będących ciągiem wartości szeregu
uwolnionych od wpływu trendu:
w modelu z sezonowością
multiplikatywną oblicza się ilorazy:
dla
t=1,2,..,n,
dla modelu z sezonowością addytywną
wyznacza się różnice:
dla
t=1,2,..,n.
t
t
t
y
y
w
ˆ
t
t
t
y
y
w
ˆ
Surowe wskaźniki
sezonowości
Następnie wyznacza się surowe
wskaźniki sezonowości jako średnie
arytmetyczne indywidualnych
wskaźników sezonowości obliczone dla
każdego sezonu osobno, czyli ze zbioru
momentów jednoimiennych pod
względem sezonu:
s
w
c
s
j
jk
i
i
0
'
gdzie:
s- liczba jednoimiennych sezonów,
k - liczba faz wahań w cyklu.
Surowe wskaźniki
sezonowości
Surowe wskaźniki sezonowości
informują, o ile poziom zjawiska jest
wyższy lub niższy od poziomu, jaki
byłby osiągnięty, gdyby nie było wahań,
a rozwój następowałby zgodnie z
trendem.
Czyste wskaźniki
sezonowości
Czyste wskaźniki sezonowości
otrzymuje się jako iloraz surowych
wskaźników sezonowości przez średnią
arytmetyczną wszystkich wskaźników
surowych:
k
i
i
i
i
c
k
c
c
1
'
'
Suma otrzymanych wskaźników jest równa liczbie faz wahań
okresowych.
Przykład
Lp.
Data
Dzień tygodnia
Cena
1
95-10-02
poniedziałek
68,5
2
95-10-03
wtorek
65,6
3
95-10-04
środa
64,7
4
95-10-05
czwartek
65
5
95-10-06
piątek
67
6
95-10-09
poniedziałek
64,7
7
95-10-10
wtorek
57,4
8
95-10-11
środa
55,6
9
95-10-12
czwartek
54,7
10
95-10-13
piątek
57,2
11
95-10-16
poniedziałek
55,6
12
95-10-17
wtorek
51,2
13
95-10-18
środa
49,2
14
95-10-19
czwartek
49,4
15
95-10-20
piątek
52
16
95-10-23
poniedziałek
54,7
17
95-10-24
wtorek
50,7
18
95-10-25
środa
48,5
19
95-10-26
czwartek
48
20
95-10-27
piątek
51,4
21
95-10-30
poniedziałek
53
22
95-10-31
wtorek
49,9
Lp.
Data
Dzień tygodnia
Cena
średnia ruchoma 5-
okresowa
w
t
1
95-10-02
poniedziałek
68,5
2
95-10-03
wtorek
65,6
3
95-10-04
środa
64,7
4
95-10-05
czwartek
65
5
95-10-06
piątek
67
66,16
1,013
6
95-10-09
poniedziałek
64,7
65,4
0,989
7
95-10-10
wtorek
57,4
63,76
0,900
8
95-10-11
środa
55,6
61,94
0,898
9
95-10-12
czwartek
54,7
59,88
0,913
10
95-10-13
piątek
57,2
57,92
0,988
11
95-10-16
poniedziałek
55,6
56,1
0,991
12
95-10-17
wtorek
51,2
54,86
0,933
13
95-10-18
środa
49,2
53,58
0,918
14
95-10-19
czwartek
49,4
52,52
0,941
15
95-10-20
piątek
52
51,48
1,010
16
95-10-23
poniedziałek
54,7
51,3
1,066
17
95-10-24
wtorek
50,7
51,2
0,990
18
95-10-25
środa
48,5
51,06
0,950
19
95-10-26
czwartek
48
50,78
0,945
20
95-10-27
piątek
51,4
50,66
1,015
21
95-10-30
poniedziałek
53
50,32
1,053
22
95-10-31
wtorek
49,9
50,16
0,995
W kolejnej tabeli obliczamy surowe wskaźniki
sezonowości sumując dla każdego z dni tygodnia (faz w
cyklu tygodniowym) ilorazy wt. Wskaźniki sezonowości
otrzymujemy dzieląc wskaźniki surowe przez ich średnią.
dzień
liczba dni
suma w
t
surowe wskaźniki czyste wskaźniki
poniedziałek
4
4,100
1,025
1,059
wtorek
4
3,819
0,955
0,986
środa
3
2,766
0,922
0,952
czwartek
3
2,799
0,933
0,964
piątek
4
4,025
1,006
1,039
suma
4,841
5
średnia
0,968
Ceny są w poniedziałek wyższe od
wyznaczonych na podstawie średniej
ruchomej średnio o 5,9%, we wtorek,
środę i czwartek są niższe odpowiednio
o 1,4%, 4,8% i 3,6%, zaś w piątek są
wyższe średnio o 3,9%.
Błędy prognozy
błąd średniokwadratowy – MSE,
pierwiastek błędu średniokwadratowego
- RMSE
średnie odchylenie bezwzględne – MAD,
systematyczne odchylenie –BIAS,
Błąd średniokwadratowy –
MSE
MSE jest błędem powszechnie wykorzystywanym w
programach komputerowych. Można powiedzieć, że
błąd średniokwadratowy jest pomiarem wariancji
znanej ze statystyki. Średnia kwadratów błędu MSE
ma znaczenie pomocnicze do oceny stopnia
dopasowania. Można jednak na podstawie jej
składowych ocenić, w jakim stopniu do wysokości
tego błędu przyczynia się zły sposób odwzorowania
badanego zjawiska a w jakim zakłócenia związane
z
nieprzewidywalnym
składnikiem
losowym
modelu.
n
MSE
n
i
i
i
y
y
1
2
)
ˆ
(
Pierwiastek błędu
średniokwadratowego -
RMSE
Błąd średniokwadratowy, podobnie jak wariancja,
mianowany jest w kwadratach jednostek zmiennej
objaśnianej, a przez to nie jest wygodny do
interpretacji.
W
praktyce
preferuje
się
wykorzystanie
pierwiastka
z
błędu
średniokwadratowego, mówiącego o ile jednostek,
przeciętnie rzecz biorąc, wartości zmiennej y
odchylają się na plus lub minus od wyniku
rzeczywistego.
MSE
n
RMSE
n
i
i
i
y
y
1
2
)
ˆ
(
Średnie odchylenie
bezwzględne – MAD
Średnie odchylenie bezwzględne podobnie jak
błąd średniokwadratowy jest wyliczany przez
programy komputerowe. We wzorze, brana jest
pod uwagę wartość bezwzględna odejmowania
prognozy od wyniku rzeczywistego. MAD jest
popularny w praktyce, gdyż można go policzyć
bez uciekania się do żmudnych rachunków. MAD
jest to średnia arytmetyczna bezwzględnych
odchyleń
wartości
cechy
od
średniej
arytmetycznej. Określa o ile jednostki danej
zbiorowości różnią się średnio, ze względu na
wartość cechy, od średniej arytmetycznej.
n
MAD
n
i
i
i
y
y
1
ˆ
Systematyczne odchylenie –
BIAS
BIAS wskazuje wielkość błędu systematycznego.
W jego wzorze, w liczniku następuje odejmowanie
wartości prognozy od wyniku rzeczywistego. Gdy
jego wartość jest dodatnia, prognozy są zaniżone
względem wyników rzeczywistych, gdy jest
ujemny, prognozy są zawyżone.
n
BIAS
n
i
i
i
y
y
1
ˆ