I CEL ĆWICZENIA

• Zaznajomienie się z problematyką zjawiska kontaktu.

• Zaznajomienie się z wzorami analitycznymi pozwalającymi na wyznaczenie obszaru kontaktu i wartości naprężeń kontaktowych.

• Doświadczalne badanie obszaru styku dwóch ciał.

II WSTĘP TEORETYCZNY

Zagadnieniami kontaktowymi nazywa się zagadnienia związane z wyznaczaniem stanu odkształcenia i stanu naprężenia w obszarach zetknięcia się dwóch ciał.

Rys. 1 Schemat stykających się ciał Rys. 2 Schemat obszaru styku

Naprężenia kontaktowe nazywane również stykowymi pojawiają się w miejscu styku dwóch ciał dociśniętych do siebie pewną siłą. Z występowaniem tego typu zjawiska często można spotkać się w częściach maszyn np.:
- w pojazdach kołowych
- w połączeniach gwintowych
- w łożyskach
- w przekładniach zębatych.

Wykres nacisków powierzchniowych na obszarze styku jest elipsoidą o równaniu:

$p\left( x,y \right) = \frac{3P}{2\text{πab}}\sqrt{1 - \left( \frac{x}{a} \right)^{2} - \left( \frac{y}{b} \right)^{2}}$ (1)

Wartość największego cieśnienia na powierzchni styku oblicza się ze wzoru:

$p_{\max} = \frac{1,5P}{\text{πab}}$ (2)

Miejsce największego wytężenia materiału znajduje się w punktach na pewnej głębokości pod powierzchnią styku. Punkty te nazywamy punktami Bielajewa.

Kryterium nacisku powierzchniowego opiera się na założeniu, że maksymalne naprężenie w obszarze styku p_max nie może przekroczyć odpowiedniego naprężenia dopuszczalnego f_dH

p_max ≤ f_dH (3)

Ogólne rozwiązanie zagadnienia kontaktowego zostało przedstawione przez Heinricha Hertza. Przeprowadzone przez Hertza badania nad zjawiskiem kontaktu dostarczyły ścisłych, wynikających z teorii sprężystości rozwiązań. W teorii Hertza przyjęto następujące założenia:

1. Stykające się ciała są jednorodne, izotropowe i liniowo-sprężyste.

2. Powierzchnie zewnętrzne ciał w otoczeniu punktu styku są gładkie o regularnej

krzywiźnie.

1. Odkształcenia ciał są niewielkie.

2. Powierzchnia styku w stosunku do powierzchni ciał jest mała.

3. Na powierzchni styku nie ma naprężeń stycznych, a jedynie normalne.

Rys. 3 Schemat stanowiska pomiarowego

1. Gumowe nóżki stabilizujące.

2. Śruba pozwalająca na płynne zadawanie obciążenia.

3. Dynamometr (siłomierz) sprężynowy.

4. Element dociskowy o promieniach krzywizny r1=200 mm oraz r1’=∞ wykonany z elastomeru o module Younga E=5 MPa i liczbie Poissona v=0.48.

5. Element dociskowy o promieniach krzywizn r2=133,33 mm oraz r2’=400 mm wykonany z szkła akrylowego o module Younga E=3330 MPa i liczbie Poissona v=0.37

6.Mechanizm dźwigniowy służący do zadawania obciążenia.

7. Przesuwna przeciwwaga służąca do kompensacji masy zespołu zadającego obciążenie.

8. Lampa.

III CZĘŚĆ OBLICZENIOWA

1. Wyznaczenie parametrów obszaru styku

a = α$\sqrt[3]{P \bullet \frac{m}{n}}$ (4)

b = β$\sqrt[3]{P \bullet \frac{m}{n}}$ (5)

m = $\frac{4}{\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{1'}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{2^{'}}}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }(6)$

n = $\frac{8 \bullet \ E_{1}{\bullet E}_{2}}{3 \bullet E_{2}\left( 1 - {v_{1}}^{2} \right) + E_{1}({1 - v_{2}}^{2})}$ (7)

A=$\ \frac{2}{m}\text{\ \ }$ (8)

B =$\ \frac{1}{2\ } \bullet \sqrt{\left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{1^{'}}} \right)^{2} + \left( \frac{1}{r_{2}} - \frac{1}{r_{2^{'}}} \right)^{2} + 2\left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{1^{'}}} \right)\left( \frac{1}{r_{2}} - \frac{1}{r_{2^{'}}} \right) \bullet \cos 2\varphi}$ (9)

Dane:

r₁ = 200 [mm]

r_1′ = ∞ [mm]

E₁ = 5 [MPa]

v₁ = 0, 48

r₂ = 133, 33 [mm]

r_2^′ = 400 [mm]

E₂ = 3330 [MPa]

v₂ = 0, 37

m =266,633 [mm]

n = 17,295 [MPa]

A = 0,0075 [1/mm]

b) Porównanie wyników doświadczalnych z analitycznymi

• DLA KĄTA Φ=0˚

B= 0,005000097 [1/mm]

B/A= 0,6667 => B/A tab=0,6521

α=1,775

β=0,6359

kąt=0
siła, N
30
60
90
120
150

• DLA KĄTA Φ=45˚

B= 0,003802 [1/mm]

B/A= 0,506 => B/A tab= 0,4795

α=1,456

β=0,7218

kąt=45
siła, N
30
60
90
120
150

• DLA KĄTA Φ=90˚

B= 0,000675 [1/mm]

B/A= 0,000782 => B/A tab=0,000

α=1,000

β=1,000

kąt=90
siła, N
30
60
90
120
150

Tabela 1. Pomiary analityczne parametrów obszaru styku

Kąt φ=0˚		Kąt φ=45˚		Kąt φ=90˚
Siła [N]	a [mm]	b [mm]		Siła [N]
30	13,72	4,91		30
60	17,29	6,19		60
90	19,79	7,09		90
120	21,789	7,80		120
150	23,47	8,40		150

Tabela 2. Pomiary doświadczalne parametrów obszaru styku

Kąt φ=0˚		Kąt φ=45˚		Kąt φ=90˚
Siła [N]	a [mm]	b [mm]		Siła [N]
30	14	4		30
60	17	5		60
90	19	6		90
120	21	7		120
150	22	8		150

Wykres 1. Porównanie wyników analitycznych z doświadczalnymi oraz parametrów styku dla kąta Ф = 0^o

Wykres 2. Porównanie wyników analitycznych z doświadczalnymi oraz parametrów styku dla kąta Ф = 45^o

Wykres 3. Porównanie wyników analitycznych z doświadczalnymi oraz parametrów styku dla kąta Ф = 90^o

Określenie maksymalnych naprężeń na powierzchni styku korzystając ze wzoru (2):

Kąt φ=0˚
Siła [N]
30
60
90
120
150

Kąt φ=45˚
Siła [N]
30
60
90
120
150

Kąt φ=90˚
Siła [N]
30
60
90
120
150

IV WNIOSKI

1. Im większy nacisk tym większe naprężenia maksymalne w badanych ciałach.

2. Największe naprężenia maksymalne występują dla kąta 45˚ i siły 150 N.