Y=α₀+α₁x₁+α₂x₂+…+α_kx_k+ε

$$\mathbf{V}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{s(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{)}}{{\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}}_{\mathbf{i}}}$$

$$\mathbf{r}_{\mathbf{\text{xy}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{cov(x,y)}}{\mathbf{s}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{s(y)}}\mathbf{=}\frac{\sum_{}^{}{\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)\mathbf{(}\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}\mathbf{)}}}{\sqrt{\sum_{}^{}{{\mathbf{(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\sum_{}^{}{\mathbf{(}\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}}}$$

$\mathbf{R}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\begin{bmatrix} \mathbf{r}_{\mathbf{1}} \\ \mathbf{r}_{\mathbf{2}} \\ \mathbf{\vdots} \\ \mathbf{r}_{\mathbf{m}} \\ \end{bmatrix}$ R = $\begin{bmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{r}_{\mathbf{12}} & \mathbf{\ldots} & \mathbf{r}_{\mathbf{1}\mathbf{m}} \\ \mathbf{r}_{\mathbf{21}} & \mathbf{1} & \mathbf{\ldots} & \mathbf{r}_{\mathbf{2}\mathbf{m}} \\ \mathbf{\vdots} & \mathbf{\vdots} & \mathbf{\vdots} & \mathbf{\vdots} \\ \mathbf{r}_{\mathbf{m}\mathbf{1}} & \mathbf{r}_{\mathbf{m}\mathbf{2}} & \mathbf{\ldots} & \mathbf{1} \\ \end{bmatrix}$

$$\mathbf{H}_{\mathbf{s}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{\text{jϵ}}\mathbf{C}_{\mathbf{s}}}^{}\mathbf{h}_{\mathbf{\text{sj}}}$$

C_opt:H_opt=max{H_s:s = 1, 2, …, 2^m−1}

G_s=1−H_s

$$\mathbf{R =}\sqrt{\mathbf{1 -}\frac{\mathbf{det(W)}}{\mathbf{det(R)}}}$$

$$\mathbf{W =}\begin{bmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{R}_{\mathbf{O}}^{\mathbf{T}} \\ \mathbf{R}_{\mathbf{0}} & \mathbf{R} \\ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\mathbf{\alpha}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\mathbf{\alpha}_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_{\mathbf{i}\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{\alpha}_{\mathbf{2}}\mathbf{x}_{\mathbf{i}\mathbf{2}}\mathbf{+ \ldots +}\mathbf{\alpha}_{\mathbf{k}}\mathbf{x}_{\mathbf{\text{ik}}}\mathbf{+}\mathbf{e}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}{\hat{\mathbf{y}}}_{\mathbf{i}}\mathbf{+}\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{i}}\mathbf{\text{\ \ }}$$

$$\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\mathbf{\alpha}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\mathbf{\alpha}_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_{\mathbf{i}\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{\alpha}_{\mathbf{2}}\mathbf{x}_{\mathbf{i}\mathbf{2}}\mathbf{+ \ldots +}\mathbf{\alpha}_{\mathbf{k}}\mathbf{x}_{\mathbf{\text{ik}}}\mathbf{+}\mathbf{e}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}{\hat{\mathbf{y}}}_{\mathbf{i}}\mathbf{+}\mathbf{e}_{\mathbf{i}}$$

$${\hat{\mathbf{y}}}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\mathbf{a}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\mathbf{a}_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_{\mathbf{i}\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{a}_{\mathbf{2}}\mathbf{x}_{\mathbf{i}\mathbf{2}}\mathbf{+ \ldots +}\mathbf{a}_{\mathbf{k}}\mathbf{x}_{\mathbf{\text{ik}}}$$

$\mathbf{e}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}{\hat{\mathbf{y}}}_{\mathbf{i}}\mathbf{\text{\ \ \ \ }}$ y = xα + ε

$\hat{\mathbf{y}}\mathbf{= Xa}$ $\mathbf{e = y -}\hat{\mathbf{y}}\mathbf{= y - Xa}$

S(a)=e^Te=(y − Xa)^T(y − Xa)=y^Ty−y^TXa−a^TX^Ty+a^TX^TXa= ∖ n=y^Ty − 2a^TX^Ty+a^TX^TXa

X^TXa=X^Ty a=(X^TX)⁻¹X^Ty

D²(a)=σ²(X^TX)⁻¹ $\mathbf{D}\left( \mathbf{a}_{\mathbf{j}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{D}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{a}_{\mathbf{j}} \right)}$

$\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{e}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n - k - 1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{e}^{\mathbf{T}}\mathbf{e}}{\mathbf{n - k - 1}}\mathbf{=}\frac{\left( \mathbf{y - Xa} \right)^{\mathbf{T}}\mathbf{(y - Xa)}}{\mathbf{n - k - 1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}^{\mathbf{T}}\mathbf{y -}\mathbf{a}^{\mathbf{T}}\mathbf{X}^{\mathbf{T}}\mathbf{y}}{\mathbf{n - k - 1}}$ $\mathbf{s =}\sqrt{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}$

${\hat{\mathbf{D}}}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{a} \right)\mathbf{=}\mathbf{s}^{\mathbf{2}}{\mathbf{(}\mathbf{X}^{\mathbf{T}}\mathbf{X)}}^{\mathbf{- 1}}$ $\hat{\mathbf{D}}\left( \mathbf{a} \right)\mathbf{=}\sqrt{{\hat{\mathbf{D}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{a}_{\mathbf{j}}\mathbf{)}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ }}$

$$\hat{\mathbf{W}}\left( \mathbf{a}_{\mathbf{j}} \right)\mathbf{=}\frac{\hat{\mathbf{D}}\left( \mathbf{a}_{\mathbf{j}} \right)}{\left| \mathbf{a}_{\mathbf{j}} \right|}\mathbf{*100\%}$$

$\mathbf{R}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\left( {\hat{\mathbf{y}}}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)^{\mathbf{2}}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 1 -}\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\hat{\mathbf{y}} \right)^{\mathbf{2}}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{R}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{SSE}}}{\mathbf{\text{SST}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{T}}\mathbf{X}^{\mathbf{T}}\mathbf{y -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\left( \mathbf{1}^{\mathbf{T}}\mathbf{y} \right)^{\mathbf{2}}}{\mathbf{y}^{\mathbf{T}}\mathbf{y -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\left( \mathbf{1}^{\mathbf{T}}\mathbf{y} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ }$= 1- φ²

$$\mathbf{\varphi}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\hat{\mathbf{y}} \right)^{\mathbf{2}}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{e}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 1 -}\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\left( {\hat{\mathbf{y}}}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)^{\mathbf{2}}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)^{\mathbf{2}}}$$

$$\mathbf{\varphi}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}^{\mathbf{T}}\mathbf{y -}\mathbf{a}^{\mathbf{T}}\mathbf{X}^{\mathbf{T}}\mathbf{y}}{\mathbf{y}^{\mathbf{T}}\mathbf{y}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\left( \mathbf{1}^{\mathbf{T}}\mathbf{y} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{e}^{\mathbf{T}}\mathbf{e}}{\mathbf{y}^{\mathbf{T}}\mathbf{y -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\left( \mathbf{1}^{\mathbf{T}}\mathbf{y} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 1 -}\mathbf{R}^{\mathbf{2}}$$

$$\mathbf{W =}\frac{\mathbf{s}}{\mathbf{y}}\mathbf{*100}\mathbf{\%}$$

y_T^*=a₀+a₁x_1T^*+a₂x_2T^*+…+a_kx_kT^*

$$\mathbf{y}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{*}}\mathbf{=}\mathbf{x}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{T}}\mathbf{a}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x}}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{T}}\mathbf{=}\left| \begin{matrix} \mathbf{1} & \mathbf{x}_{\mathbf{1}\mathbf{T}}^{\mathbf{*}} & \mathbf{x}_{\mathbf{2T}}^{\mathbf{*}} & \mathbf{\ldots} & \mathbf{x}_{\mathbf{\text{kT}}}^{\mathbf{*}} \\ \end{matrix} \right|$$

y_T^*=a₀+a₁*T

$$\mathbf{D}_{\mathbf{T}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{S}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{x}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{T}}\mathbf{D}^{\mathbf{2}}\mathbf{(a)}\mathbf{x}_{\mathbf{T}}}\mathbf{= S}\sqrt{\mathbf{1 +}\mathbf{x}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{T}}\mathbf{(}\mathbf{X}^{\mathbf{T}}\mathbf{X)}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{x}_{\mathbf{T}}}$$

$$\mathbf{D}_{\mathbf{T}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{t = 0}}^{\mathbf{k}}{\mathbf{x}_{\mathbf{\text{iT}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{D}^{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{a}_{\mathbf{t}}\mathbf{)}}\mathbf{+}\sum_{\mathbf{i = 0}}^{\mathbf{k - 1}}{\sum_{\mathbf{j} > i}^{}{\mathbf{x}_{\mathbf{\text{iT}}}\mathbf{x}_{\mathbf{\text{jT}}}}\mathbf{\epsilon}\mathbf{0}_{\mathbf{V}}\left( \mathbf{a}_{\mathbf{i}}\mathbf{,}\mathbf{a}_{\mathbf{j}} \right)\mathbf{t}\mathbf{S}^{\mathbf{2}}}$$

$\mathbf{D}_{\mathbf{T}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{S\ \ \ 1 +}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\mathbf{+}\frac{\left( \mathbf{T -}\overset{\overline{}}{\mathbf{t}} \right)^{\mathbf{2}}}{\sum_{\mathbf{t = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \mathbf{t -}\overset{\overline{}}{\mathbf{t}} \right)^{\mathbf{2}}}}$

$$\mathbf{D}_{\mathbf{T}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{S}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{D}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{a}_{\mathbf{0}} \right)\mathbf{+}\mathbf{T}^{\mathbf{2}}\mathbf{D}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{a}_{\mathbf{1}} \right)\mathbf{+ 2}\mathbf{Tcov(}\mathbf{a}_{\mathbf{0}}\mathbf{,}\mathbf{a}_{\mathbf{1}}\mathbf{)}}$$

$$\mathbf{V}_{\mathbf{T}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{D}_{\mathbf{T}}}{\mathbf{y}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{*}}}\mathbf{*100}\mathbf{\%}$$