1. Równanie ma pierwiastki . Stosując metodę
   połowienia, obliczyć dodatni pierwiastek tego równania zaczynając od przedziału . Ile iteracji należy wykonać, aby obliczyć pierwiastek z dokładnością do czterech miejsc dziesiętnych? Jaki jest maksymalny błąd po tej liczbie iteracji?

Program:

format long

clc;

a=1; b=2;

dokladnosc=0.0001;

deltax=(b-a)/2;

iter=0;

while deltax>dokladnosc

iter=iter+1;

x=(a+b)/2;

disp(iter)

disp('x=');

disp(x);

if ((a*a-2)*(x*x-2)>0)

a=x;

else b=x;

end

deltax=b-a;

disp('dokl+-')

disp(deltax)

end

Wynik:

1

x= 1.500000000000000

dokl+- 0.500000000000000

2

x= 1.250000000000000

dokl+- 0.250000000000000

3

x= 1.375000000000000

dokl+- 0.125000000000000

4

x= 1.437500000000000

dokl+- 0.062500000000000

……………………………..

9

x= 1.416015625000000

dokl+- 0.001953125000000

10

x= 1.415039062500000

dokl+- 9.765625000000000e-004

11

x= 1.414550781250000

dokl+- 4.882812500000000e-004

12

x= 1.414306640625000

dokl+- 2.441406250000000e-004

13

x= 1.414184570312500

dokl+- 1.220703125000000e-004

14

x= 1.414245605468750

dokl+- 6.103515625000000e-005

Pierwiastkiem równania jest x= 1.4141845703125. Należy wykonać trzynaście iteracji aby dokładność wyniku była do 4 miejsc po przecinku. Maksymalny błąd przy tylu iteracjach wynosi 1.220703125e-004.

1. Równanie ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. Znaleźć ten pierwiastek metodą połowienia.

Program:

format long

clc;

a=-2; b=2;

dokladnosc=0.0001;

deltax=(b-a)/2;

iter=0;

while deltax>dokladnosc

iter=iter+1;

x=(a+b)/2;

disp(iter)

disp('x=');

disp(x);

if ((a*a*a-a+1)*(x*x*x-x+1)>0)

a=x;

else b=x;

end

deltax=b-a;

disp('dokl+-')

disp(deltax)

end

Wynik:

1

x= 0

dokl+- 2

2

x= -1

dokl+- 1

3

x= -1.500000000000000

dokl+- 0.500000000000000

4

x= -1.250000000000000

dokl+- 0.250000000000000

5

x= -1.375000000000000

dokl+- 0.125000000000000

………………………………………………

14

x= -1.324951171875000

dokl+- 2.441406250000000e-004

15

x= -1.324829101562500

dokl+- 1.220703125000000e-004

16

x= -1.324768066406250

dokl+- 6.103515625000000e-005

Wykonaliśmy obliczenia metodą bisekcji z dokładnością do 0,0001. Po szesnastu iteracjach obliczyliśmy, że pierwiastkiem równania jest x=-1.32476806640625.

1. Znaleźć pierwiastek równania w przedziale . Ile trzeba wykonać iteracji, aby metodą połowienia otrzymać przybliżoną wartość pierwiastka z błędem nie przekraczającym ?

Program:

format long

clc;

a=0; b=1;

dokladnosc=0.5e-4;

deltax=(b-a)/2;

iter=0;

while deltax>dokladnosc

iter=iter+1;

x=(a+b)/2;

disp(iter)

disp('x=');

disp(x);

if (((sin(x)+x-1)*((sin(a)+a-1))>0))

a=x;

else b=x;

end

deltax=b-a;

disp('dokl+-')

disp(deltax)

end

Wyniki:

1

x= 0.500000000000000

dokl+- 0.500000000000000

2

x= 0.750000000000000

dokl+- 0.250000000000000

3

x= 0.625000000000000

dokl+- 0.125000000000000

13

x= 0.510864257812500

dokl+- 1.220703125000000e-004

14

x= 0.510925292968750

dokl+- 6.103515625000000e-005

15

x= 0.510955810546875

dokl+- 3.051757812500000e-005

Pierwiastkiem równania w przedziale jest x=0.51092529296875. Aby otrzymać przybliżoną wartość pierwiastka z błędem nie przekraczającym należy wykonać 14 iteracji.

1. Metodą połowienia znaleźć dodatni pierwiastek równania z dokładnością­ do 10^-2.

Program:

Wyniki:

1

x= 1.500000000000000

dokl+- 1.500000000000000

2

x= 2.250000000000000

dokl+- 0.750000000000000

3

x= 1.875000000000000

dokl+- 0.375000000000000

…………………………………………

7

x= 1.617187500000000

dokl+- 0.023437500000000

8

x= 1.628906250000000

dokl+- 0.011718750000000

9

x= 1.623046875000000

dokl+- 0.005859375000000

Dodatnim pierwiastkiem równania z dokładnością do 10^-2 jest x= 1.623046875.

1. Metodą połowienia znaleźć wartość zmiennej , dla której przecinają się wykresy funkcji i . Wymagana dokładność obliczeń wynosi 10^-4 .