5.Sformułuj definicje wektora.

Wektor to uporządkowana para punktów. Jeden punkt jest początkiem, drugi końcem wektora. Wektor posiada zwrot, kierunek i wartość.

-wektor o początku A i końcu B oznaczamy $\overrightarrow{\text{AB}}$

-wektory oznaczamy tez małymi literami: $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\ b}$, $\overrightarrow{c}$ lub a, b, c

-długość (wartość) wektora: $\overrightarrow{\text{AB}}$=lal

Kierunkiem wektora nazywamy prostą, na której ten wektor leży. Zwrot określa początek i koniec wektora. Wartość wektora to jego długość określona w jednostkach.

6.Podaj krótka definicje przestrzeni wektorowej.

Zbiór Rⁿ z wykonalnością dodawania wektorów i mnożenia ich przez liczby rzeczywiste nazywamy n-wymiarową rzeczywistą przestrzenią wektorową.

12. Zapisz definicje wersora, zapisz wersory w przestrzeni.

Wersorem nazywamy wektor, którego długość jest równa 1

W szczególności w R² postaci i= $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ oraz j=$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

Oraz R³ postaci i=$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ , j=$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ , oraz k=$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

13. Co to jest norma wektora?

Długość wektora nazywamy normą wektora wyznaczana ze wzoru:

|a|=$\left\{ \begin{matrix} \sqrt{a_{1}^{2\ } + a_{2}^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{gdy}\ a\ \epsilon\ R^{2} \\ \sqrt{a_{1}^{2} + \ a_{2}^{2} + \ a_{3}^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{gdy}\ a\ \epsilon\ R^{3} \\ \sqrt{a_{1}^{2}\ + \ a_{2}^{2}\ + \ \ldots + \ a_{n}^{2}}\text{\ \ \ }\text{gdy}\ a\ \epsilon\ R^{n} \\ \end{matrix} \right.\ $

Niech a ϵ Rⁿ i niech K ϵ R. Wówczas:

1. |a|≥0, przyczym|a|=0 < => a=0

2. |ka|= |k||a|

14. Zdefiniuj iloczyn skalarny za pomocą składowych wektorów.

Iloczyn skalarny wektorów określany jest wzorami:

$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$= $\left\{ \begin{matrix} a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{gdy}\ a,b\ \in R^{2} \\ a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{gdy}\ a,b\ \in R^{3} \\ a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \ldots + a_{n}b_{n}\text{\ \ \ }\text{gdy}\ a,b\ \in R^{n} \\ \end{matrix} \right.\ $

Jeśli α jest kątem miedzy wektorami $\overrightarrow{a\ }$i $\overrightarrow{b}$ to ab=|a||b|cosα

15.Zdefiniuj iloczyn skalarny za pomocą norm wektorów i kata miedzy nimi.

Wektory a i b są ortogonalne(prostopadłe) wówczas gdy ab=0 (kąt miedzy nimi to 90stopni)

17. Sformułuj definicje macierzy.

Macierzą jest każda tablica liczb ustawionych w wiersze i kolumny. Jeżeli macierz ma m wierszy i n kolumn mówimy, że jest typu mxn.

$$\begin{bmatrix} a_{11}a_{12}a_{13}\ldots a_{1n} \\ a_{21}a_{22}a_{23}\ldots a_{2n} \\ a_{m1}{\ a}_{m2}{\ a}_{m3}\ldots a_{\text{mn}} \\ \end{bmatrix}$$

A=[aij] , gdzie i=1,…,m , j=1,…,n

Macierz typu mxn to inaczej mxn wymiarowa macierz; wymiar macierzy dla (A)

20. Sformułuj definicje macierzy diagonalnej i jednostkowej.

Macierz kwadratową taką, że aij=0 dla 0≠j nazywamy macierza diagonalna.

Każdą macierz diagonalna, taka ze aij=j nazywamy macierzą jednostkowa i oznaczamy J lub J_n

23. Wyjaśnij zasadę mnożenia macierzy (na przykładzie)

AB=$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & - 1 \\ \end{bmatrix}$x$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 1x3 & + & 2x1 \\ 0x3 & + & ( - 1)x1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1x1 & + & 2x2 \\ 0x1 & + & ( - 1)x2 \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 5 & 5 \\ - 1 & - 2 \\ \end{bmatrix}$

25. Co to jest ślad macierzy.

Śladem macierzy kwadratowej A, który oznaczamy tr(A), nazywamy sumę elementów diagonalnych tej macierzy, co znaczy:

Np. tr(A)=tr($\begin{bmatrix} 1 & - 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 3 \\ \end{bmatrix}$)= 1+2+3=6

26 .Wyjaśnij pojęcie macierzy nieosobliwej i rząd macierzy.

Rzędem macierzy A nazywamy maksymalna liczbę liniowo niezależnych wektorów (wierszy lub kolumn) tej macierzy i oznaczamy przez rzA

Macierzą nieosobliwa nazywamy taką macierz A, kwadratowa mxm, która jest pełnego rzędu, to znaczy rzA=m

27.Kiedy mówimy, że rodzina wektorów jest liniowo niezależna.

Rodzina wektorów a₁, a₂,…,a_k jest liniowo niezależna jeżeli jedynym rozwiązaniem równania:

C₁a₁+c₂a₂+…+c_ka_k=0 jest ciąg licz c₁=c₂=…=c_k=0

28. Zdefiniuj wyznacznika macierzy kwadratowej?

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy rzeczywistej kwadratowej A=[a_ij] przyporządkowuje liczbę rzeczywistą detA. Funkcja ta określana jest wzorem indukcyjnym „ Jeżeli A jest stopnia n=1 to detA=a₁₁

A = [a₁₁] = [5] => detA = |5| = 5

30. Na czym polega rozwinięcie Laplace’a względem i-tego wiersza?

detA = $\left| \begin{matrix} 5 & 2 & 1 \\ - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 \\ \end{matrix} \right|$ = (-1)¹⁺¹ 5$\left| \begin{matrix} 3 & 0 \\ 2 & - 1 \\ \end{matrix} \right|$ + (-1)¹⁺² $\left| \begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ \end{matrix} \right|$ + (-1)¹⁺³ 1$\left| \begin{matrix} - 1 & 3 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix} \right|$ =

=5(-3-0) - 2(1-0) + (-2-0) = -15 – 2 – 2 = -19

31. Opisz metodę Sarrusa?

detA = $\left| \begin{matrix} 5 & 2 & 1 \\ - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 \\ \end{matrix} \right|\begin{matrix} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix}$ = 5*3*(-1)+2*0*0+1(-1)*2+ - (1*3*0+5*0*2+2*(-1)*(-1))= -19

33. Zdefiniuj macierz nieosobliwą za pomocą wyznacznika macierzy?

Macierzą nieosobliwą nazywamy taką macierz kwadratową A dla której detA ≠ 0

35. Zdefiniuj co nazywamy macierzą odwrotną?

Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy taką macierz A^-1 że AA^-1 = A^-1A = J gdzie J jest macierzą jednostkową tego samego stopnia co macierz A

UWAGA Tylko macierze nieosobliwe (detA ≠ 0) posiadają macierz odwrotną

37. Wymień 3 metody wyznaczania macierzy odwrotnej?

1) z równania macierzowego, jeśli macierz A=[a_ij] jest stopnia n to A^-1=[x_ij] i element x_ij obliczamy z równania AA^-1=Jn

2) ze wzoru A^-1=$\ \frac{1}{\text{detA}}$ [D_ij]^T

3) algorytmem odwracania macierzy ( metoda eliminacji Gausa-Jordana )

40. Zdefiniuj układ równań przedstaw go w postaci macierzowej?

Układem równań liniowych o n zmiennych x₁, x₂, …, x_n i współczynnikach a_ij i b₁ nazywamy układ równań postaci

a₁₁ x₁+ a₁₂ x₂ + … + a_zn x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_zn x_n = b₂

……………………………………

a_m1 x₁ + a_mz x₂ x₂ + … + a_mn x_n = b_m

$\left| \begin{matrix} a11 & a12 & \text{...}1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ am1\ x1\ + \ amz\ x2\ x2\ + \ ...\ x1,\ x2,\ ...macierzowej?\text{acierz\ A} & a1n \\ a21 & a22 & \ldots & a2n \\ \ldots & \ldots & \ldots & a3n \\ am1 & am2 & \ldots & \text{amn} \\ \end{matrix} \right|$ $\begin{bmatrix} x1 \\ x2 \\ \ldots \\ \text{xn} \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} b1 \\ b2 \\ \ldots \\ \text{bm} \\ \end{bmatrix}$ Ax=b

A x b

41. Zdefiniuj układ równań Cramera?

Układ n równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układem Cramera jeśli detA ≠ 0

Macierz układu Cramera A jest macierzą nieosobliwą czyli macierzą pełnego rzędu

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2n x_n = b₂ detA ≠ 0

…………………………………… nA =n

a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + … + a_nn x_n = b₃

42. Ile rozwiązań ma układ równań Cramera? Podaj wzór

Układ Cramera ma dokladnie jedno rozwiązanie x = [ x₁₁, …, x_n] gdzie x_k = $\frac{\text{detAk}}{\text{detA}}$

k = -1, …, n

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2n x_n = b₂ $\begin{bmatrix} a11 & \ldots & b1 & a1n \\ a21 & \ldots & b2 & a2n \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \text{an}1 & \ldots & \text{bn} & \text{anm} \\ \end{bmatrix}$

…………………………………… a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + … + a_nn x_n = b₃

43. Zdefiniuj jednorodny układ Cramera.

Układ n równań liniowych o niewiadomych zwany układem Cramera jest jednorodny jeśli b₁=b₂=…=b_n=0

44. Ile i jakie rozwiązania ma jednorodny układ Cramera?

Układ Cramera jednorodny ma dokładnie 1 rozwiązanie (jedno rozwiązanie będące wektorem zerowym) x= [x₁, …, x_n] gdzie x₁=x₂=…=x_n=0

45. Jakie znasz metody rozwiązywania układu Cramera?

Rozwiązywanie układu równań o kwadratowej nieosobliwej macierzy układu A ( układu równań Cramera) za pomocą:

1) macierzy odwrotnej x=A^-1b

2) stosując wzory Cramera X_k = $\frac{\mathbf{\text{detAk}}}{\mathbf{\text{detA}}}$

48. kiedy układ równań liniowych jest oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny?

Przystępując do rozwiązywania układu równań liniowych o m*n wymiarowej macierzy układu A możemy stwierdzić że rozważamy:

• Układ oznaczony ( jednoznacznie rozwiązane ) jeśli rzA = rzB =n

• Układ nieoznaczony ( nieskończenie wiele rozwiązań ) jeślirzA = rzB< n

• Układ sprzeczny jeśli rzA ≠ rzB

50. Kiedy dwa układy równań liniowych są sobie równoważne?

Układ równań linowych jest równoważny innemu układowi równań liniowych jeśli oba układu mają te same rozwiązania

51. Usunięcie których równań z układów równań liniowych pozwala na stwierdzenie, że otrzymany w ten sposób nowy układ równań jest równoważny układowi pierwotnemu?

Niech układ równań liniowych ma rozwiązanie i niech rzA = r niech detA będzie niezerowym minorem stopnia r macierzy A Usuńmy z układu równań te równania których współczynniki nie wchodzą w skład wybranego minora. Wówczas otrzymujemy układ równań który jest równoważny układowi pierwotnemu

54. Kiedy jednorodny układ równań liniowych ma rozwinięcie niezerowe?

Na to żeby układ n równań liniowych jednorodnych o n niewiadomych miał rozwiązanie niezerowe potrzeba i wystarcza żeby detA = 0

56. Zdefiniuj metodę eliminacji Gaussa.

Metoda eliminacji Gaussa inaczej metoda negowania niewiadomych to metoda przekształcania układu równań liniowych w układ równoważny oraz umożliwiająca liczenie rzędów macierzy rozszerzonej B = [ A/b ] poprzez obliczania na jej wektorach wierszowych

57. Warunki na to aby układ równań liniowych był oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny w warunkach stos metody.

Stosując metodę eliminacji Gaussa możemy stwierdzić że rozważamy

• Układ oznaczony ( jednorodnie rozwiązany ) jeśli przekształcenie prowadzi do macierzy postaci [ In/K ]

• Układ sprzeczny jeśli redukowana postać macierzy rozszerzonej B zawiera wektor wierszowy w postaci [ 0, 0, …, 0/k ] gdy k ≠ 0

• Układ nieoznaczony ( nieskończenie wiele rozwiązań ) jeśli nie jest sprzeczny to układ jest nieoznaczony

58. Sformułuj definicję uogólnionej macierzy odwrotnej?

niech będzie dana m*n wymiarowa macierz A

Uogólnioną macierzą m*n wymiarowej macierzy A nazywamy n*m wymiarową macierz A^-1 chyba że AA^- A=A

59. Co to znaczy że uogólniona macierz odwrotna nie jest określona jednoznacznie?

niech będzie dana m*n wymiarowa macierz A

Uogólnioną macierzą m*n wymiarowej macierzy A nazywamy n*m wymiarową macierz A^-1 chyba że AA^- A=A

UWAGA

• jeśli A jest macierzą kwadratową pełnego rzędu to istnieje macierz do niej odwrotna która jest szczególnym przypadkiem uogólnionej macierzy odwrotnej

• w przeciwieństwie jednak do macierzy odwrotnej uogólniona macierz odwrotna istnieje dla każdej także osobliwej albo prostokątnej macierzy A

• jeżeli A jest macierzą osobliwa lub prostokątną to macierz A^- nie jest określona jednoznacznie tzn. można znaleźć kilka różnych macierzy A^-

62. Podaj wymiar uogólnionej macierzy odwrotnej do macierzy prostokątnej m*n.

Wymiar musi być odwrotny czyli n*m

63. Podaj równanie które spełnia uogólniona macierz odwrotna.

AA^- A=A

64. Podaj postać wektora rozwiązań niesprzecznego układu równań liniowych.

Niech będzie dany niesprzeczny układ równań liniowych Ax=b

1) rozwiązaniem tego układu jest x= A^- b

2) klasą wszystkich rozwiązań tego układu jest x= A^- b + (J-A^-A)z gdzie z jest dowolnym wektorem

65. Podaj wzór określający klasę wszystkich rozwiązań niesprzecznego układu równan liniowych.

klasą wszystkich rozwiązań tego układu jest x= A^- b + (J-A^-A)z gdzie z jest dowolnym wektorem

66. Podaj definicję wartości własnej i wektora własnego macierzy.

Niech macierz A będzie macierzą kwadratową stopnia n jeżeli istnieje skalar λϵR i niezerowy wektor v taki że Av=λv to λ nazywamy wartością własną macierzy A, a v wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ

UWAGA Intuicyjnie można rozumieć wektor własny jako taki wektor którego kierunek nie zmienia się po przemnożeniu go przez macierz natomiast jego długość zmienia się tyle razy ile wynosi wartość własna odpowiadająca temu wektorowi

67. Podaj ile wartości własnych i wektorów własnych ma macierz n-tego stopnia?

Przykład: niech macierz A będzie macierzą kwadratową stopnia 3 wektor v jest wektorem własnym macierzy A odpowiadającym wartości własnej λ= -4 gdyż Av = λv Sprawdź czy zachodzi równanie

Dane: A= $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & - 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ v= $\begin{bmatrix} - 3 \\ 5 \\ - 1 \\ \end{bmatrix}$

Rozwiązanie: A*v = $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & - 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix} - 3 \\ 5 \\ - 1 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 12 \\ - 20 \\ - 4 \\ \end{bmatrix}$ = -4 $\begin{bmatrix} - 3 \\ 5 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

70. Jakie wartości wyznacza się z wielomianu charakterystycznego?

Wartości własne macierzy A są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego to znaczy

det ( A – λ*I ) = 0 gdzie I to macierz jednostkowa wartości własne oznaczamy λ₁, λ₂, …, λ_k gdzie k≤n

71. Z jakiego równania wyznacza się wektory własne?

Wektory własne odpowiadające wartością własnym są niezerowymi rozwiązaniami jednorodnego układu równań liniowych o postaci macierzowej ( A- λ*I ) * v = 0

74. Kiedy mówimy że wektory własne macierzy są ortogonalne?

• zbiór wektorów { v₁, v₂, …, v_n } cV nazywamy ortogonalnym jeżeli v_i ≠ 0 dla i = 1, 2, …, n oraz v_i = 0 v_j = 0 , i ≠ j = 1, 2, …, n

• zbiór wektorów { v₁, v₂, …, v_n } cV nazywamy ortogonalnym jeżeli jest on ortogonalny oraz | v_i | = 1 dla i= 1, 2, …, n

78. Zdefiniuj ślad i wyznacznik macierzy za pomocą wartości własnych.

Śladem macierzy A nazywamy sumę jej elementów diagonalnych

Niech A będzie macierzą kwadratową o wartościach własnych λ₁, λ₂, …, λ_n

tr A = λ₁, λ₂, …, λ_n

detA = λ₁, λ₂, …, λ_n

1.Czym zajmuje się statystyka
Statystyka matematyczna zajmuje się zasadami i metodami uogólniania wyników eksperymentalnych.

6.Co to jest przestrzeń zdarzeń elementarnych?

Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω to zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω
Przestrzeń zd. Elem. Może być:
- zbiorem skończonym,

- zb. Przeliczalnym,

- zb. Nieprzeliczalnym,

10.Podaj aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa.
Aksjomatyczna def. Prawd. Kołmogorowa:
- każdemu zdarzenuy A odpowiada liczba nieujemna zwana jego prawdopodobieństwem P(A)≥0
- prawdopodobieństwo Ω jest równe 1, P(Ω)=1
- jeżeli A₁,A_2,,A_n jest dowolnym ciągiem parami rozłącznych zdarzeń z klasy Ξ, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A₁uA₂u…uA_nu…jest postaci P(A₁uA₂u…A_nu…)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)+…

14.Podaj definicję miennej losowej.
Niech (Ω,Ξ,P) będzie przestrzenią probabilistyczną.
Zmienną losową nazywamy dowolną funkcję X, określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω o wartości ze zbioru liczb rzeczywistych R, taką, że dla dowolnej ustalonej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elementarnych ω, dla których spełniona jest nierówność X(ω)<x, jest zdarzeniem, czyli {ω:X(ω)<x}єΞ dla każdego xєR.

16.Jakie warunki spełnia funkcja gęstości prawdopodobieństwa?
Funkcja f spełnia warunki:
I. f(x)≥0
II. ∫_−∞^∞f(x)dx = 1

D²(x) = σ² = E(x − E(x))² = E(x²) − E²(x) = ∫_−∞^∞x²f(x)dx − (∫_−∞^∞xf(x)dx)²

$$f\left( x \right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{{(X - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}}\backslash n$$

24.Zdefiniuj pojęcie rozkład normalny standardowy.
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(μ,σ) to zmienna losowa standaryzowana $Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ ma rozkład normalny standardowy o wartości oczekiwanej równej i odchyleniu standarowym równym , tzn. Z~N(0,1).

25.Sformułuj prawo trzech sigm. (25 rysunek)
Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (μ,σ)
27.Zdefiniuj pojęcie rozkład chi-kwadrat.
Niech X_1,X₂,..,X_r będzie ciągiem r niezależnych zmiennych losowych, każda o rozkładzie N(0;1). Wówczas:
χ²=X₁²+X²₂+….+X_r²
jest zmienną losową χ² (chi-kwadrat) o r stopniach swobody.

29.Zdefiniuj rozkład Studenta.
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie N(μ,σ), a Y zmienną losową o rozkładzie χ² z r stopniami swobody, przy czym niech zmienne X i Y będą zmiennymi niezależnymi, wówczas zmienna losowa będąca funkcją tych zmiennych losowych postaci $t = \frac{\frac{X - \mu}{\sigma}}{\sqrt{\frac{y}{r}}} = \frac{Z\sqrt{r}}{\sqrt{y}}$ podlega rozkładowi Studenta o r stopniach swobody.

31.Zdefiniuj pojęcie rozkład F Fishera.
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie χ² odpowiednio z u i r stopniami swobody. Zmienna losowa $F = \frac{\frac{1}{u}X}{\frac{1}{r}Y}$ podlega rozkładowi F o u i r stopniach swobody.

36. Co nazywamy estymatorem?
Estymatorem nazywamy statystykę, której wartości przyjmujemy jako oceny nieznanego parametru rozkładu.

$$\hat{\mu} = \overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}\backslash n$$

40.Jaka statystyka jest estymatorem wariancji?
Statystyka ${\hat{\sigma}}^{2} = {\hat{s}}^{2} = \frac{1}{n - 1}\left( \sum_{i = 1}^{n}{x_{i}^{2} - \frac{\left( \sum_{i = 1}^{n}X_{i} \right)^{2}}{n}} \right)$ jest estymatorem wariancji.
Jest to estymator zgodny i nieobciążony.

46.Jaki rozkład ma statystyka zwana średnią arytmetyczną?

Niech X₁,X₂,…X_n to zmienne losowe niezależne o jednakowym rozkładzie normalnym N(μ,σ)

$\overset{\overline{}}{X} = \ \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$ , mają rozkłady: $\overset{\overline{}}{x}\sim N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$

48.Zdefiniuj przedział ufności:
Przedziałem ufności dla parametru θ na poziomie ufności 1- α (0<α<1) nazywamy przedział (θ₁,θ₂) spełniający warunki:
- jego końce są zmiennymi losowymi,
- prawdopodobieństwo pokrycia przez ten przedział nieznanego parametru θ jest równe 1-α, tzn. P(θ₁(X₁,…,X_n)<θ<θ₂(X₁,…,X_n)=1-α

49.Zdefiniuj poziom ufności.
1-α poziom ufności
Prawdopodobieństwo pokrycia przez ten przedział nieznanego parametru θ jest równe 1-α, tzn.
P(θ₁(X₁,…,X_n)<θ<θ₂(X₁,…,X_n)=1-α

54.Zdefiniuj poziom istotności.
Prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju, czyli błędnego odrzucenia hipotezy zerowej nazywamy poziomem istotności α.
α,αє(0,1)

55.Podaj procedurę stawiania hipotez oraz ich weryfikowania.
Procedura postępowania:
Niech f(x,θ) oznacza gęstość rozkładu prawdopodobieństwa obserwowanej zmiennej losowej, gdzie θ jest nieznanym parametrem
1) Postawienie hipotezy zerowej H₀: θ=θ₀ lub H₀: θ ≤ θ₀ lub H₀: θ ≥ θ_0,
2) Sformułowanie odpowiedniej hipotezy alternatywnej H₁: θ ≠ θ₀ lub H₂: θ > θ₀ lub H₃: θ < θ_0,
3) Przyjęcie wartości poziomu istotności 0 < α < 1,
4) Przeprowadzenie eksperymentu umożliwiającego zweryfikowanie postawionej hipotezy H_0,
5) Określenie statystyki testowej oraz obszaru krytycznego dla hipotezy H₀,
6) Wnioskowanie: Jeśli wartość statystyki testowej znajduje się w obszarze krytycznym to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej, w przeciwnym przypadku nie odrzuca się hipotezy zerowej.

66.Przedstaw na wykresie obszar krytyczny dla testu dwustronnego t dla H₀: μ = μ₀
H_0: μ = μ₀
H₁: μ ≠ μ₀

76.Podaj założenia, przy których weryfikacja hipotezy H₀: μ₁ – μ₂ = 0 przeciwko hipotezie H₁ oparta jest na statystyce t z n₁+n₂ – 2 st. Swobody.
1) σ²₁ = σ₂² i są nieznane,
2) X₁ ~ N(μ₁,σ₁), X₂~ N(μ₂,σ₂)
3) n₁ – liczba obserwacji dla zmiennej X₁
n₂ – liczba obserwacji dla zmiennej X₂

78.Podaj postać hipotezy alternatywnej do H₀: μ₁ – μ₂ ≤0
H₀: μ₁ – μ₂ ≤ 0
H₁ : μ₁ – μ₂ > 0

79.

85.Podaj ogólną postać modelu liniowego.
Niech [ x_lk ] = X to macierz znanych współczynników oznaczamy przez y wektor kolumnowy zmiennych y_l, l = 1,2,…,n oraz przez β wektor kolumnowy nieznanych parametrów β_k, k= 1,2,…,n. Zatem można zapisać model liniowych obserwacji w postaci y= Xβ + ε
gdzie:
(macierze z pytania 85)
oraz gdzie ε_l to nieskorelowane zmienne losowe zwane błędem.

$$\left( \ y - X\beta \right)^{T}\left( y - X\beta \right) = \ \sum_{l}^{}\left( y_{l} - \ X_{l_{1}}\beta_{1} - \ \ldots - X_{l_{m}}\beta_{m} \right)^{2}$$

98.Podaj i zdefiniuj cztery rodzaje czynnika doświadczalnego.
1) czynniki jakościowe właściwe – czynnik, dla którego nie istnieje żadne uporządkowanie jego różnych wariantów;
2) czynniki jakościowe rangowe – czynnik, którego poziomy podlegają pewnemu uporządkowaniu w.g. relacji niższy, wyższy;
3) czynnik jakościowy losowy- czynnik, którego warianty użyte w doświadczeniu nie interesują eksperymentatora jako takie, lecz tylko jako próba wylosowana z większej zbiorowości;
4 czynnik ilościowy - jego różne poziomy odpowiadają dobrze określonym wartością pewnej wielkości liczbowej charakteryzującej występowanie lub zastosowanie tego czynnika.

102.Podaj schemat i opisz układ całkowicie losowy
Obiekty są rozmieszczone na jednostkach doświadczalnych całkowicie losowo. Macierz układu jest postaci: (pytanie 102 przykład)
$X = \lbrack\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\rbrack$
1, 0 są 5-wymiaru

H₀ :  μ_A1 = μ_A2 = … = μ_Ar ∖ n

105.Podaj założenia analizy wariancji.
1) Zmienna Y podlega rozkładowi normalnemu,
2) Jednorodność wariancji dla porównywania obiektów.

110.Graficznie zilustruj metodę najmniejszych kwadratów w analizie regresji liniowej.

Z wyznaczenia ocen parametrów β₀ , β₁ MNK wynika, że prosta y= β₀ + β₁ ma własność, że suma kwadratów odległości zaznaczonych na rysunku, jest mniejsza niż suma kwadratów odległości dla każdej innej prostej y = ax +b

111.Podaj założenia regresji liniowej

Dla każdej wartości zmiennej Y ma rozkład normalny z jednakową ( nieznane) wartościa δ^2; wartość srednia mi zmiennej Y zależy od x, tzn. że mi=mi(x) i mi(x) jest funkcją linową x postaci mi(x) Beta0+Beta1x oraz lesowego epsilon

115.Czego miarą jest współczynnik korelacji, jakie przyjmuje wartości?

Korelacja oznacza wzajemne powiązanie – związek między zmiennymi losowymi x i y tworzącymi zmienną losowo – 2 – wymiarową (X,Y). Na podstawie obserwacji (x₁,y₁), ... , (x_n,y_n) wyznaczana jest wartość współczynnika korelacji Pearsona

r_xy=$\frac{\text{Sxy}}{\text{SxSy}}$ -1 ≤ r_xy ≤ 1

117.Podaj właśność prostej regresji

1.Prosta regresji przechodzi przez punkt o współrzędnych ($\overset{\overline{}}{x,}\overset{\overline{}}{y}$)

2.Miarą dopasowania prostej do punktów empirycznych jest współczynnik determinacji

R²=Nxy² * 100%

Określa on w jakim procencie, wartości zmiennej x wpływają na wartości zmiennej y

3.W oparciu o równanie regresji możemy przewidzieć z pewną dokładnością wartość zmiennej y dla wartości zmiennej x z przedziału < x _min , x _max >