Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

Referat nr 44

Stateczność pręta prostego.

1. Definicja pręta prostego.

Prętem nazywamy podłużny element konstrukcji. Jeden wymiar pręta (długość) jest znacznie większy od dwóch pozostałych (szerokość i wysokość przekroju). Przykładem pręta może być belka stropowa. Prętem może być pręt właściwy, rura lub inny podłużny wyrób hutniczy. Pręty mogą funkcjonować pojedynczo lub w złożonych układach np. siatki, ramy, kratownice, czy też ruszty.

Każdy pręt posiada swoją oś która może być prostoliniowa (belka, słup, cięgno) lub w formie krzywej (łuk, sprężyna). Oś pręta jest połączeniem środków geometrycznych przekrojów pręta. Wprowadza się osie współrzędnych x₁ i x₂, które leżą w płaszczyźnie przekroju i x₃ pokrywającą się z osią pręta. Ze względu na zaniedbanie kształtu przekroju pręta i sprowadzenie go do odcinka, wyznacza się tzw. charakterystyki geometryczne przekroju, które opisują jego właściwości.

Podstawowymi charakterystykami są:

- pole powierzchni przekroju: A =G₀₀

- położenie geometrycznego środka przekroju

- momenty bezwładności przekroju: J₁ =G₀₂, J₂ =G₂₀

- moment bezwładności skrętnej przekroju: J₃ =β(G₀₂+G₂₀)

- współczynnik ścinania: α

Ogólny wzór na charakterystyki geometryczne przekroju (oprócz α) dla przypadku pręta prostego wykonanego z materiału jednorodnego (o stałym module Younga)ma postać:

Charakterystyki G₀₁ i G₁₀ noszą nazwę momentów statycznych przekroju i służą do wyznaczenia położenia geometrycznego środka przekroju. Wyznaczenie momentu bezwładności skrętnej wiąże się ze zjawiskiem deplanacji. Założenie, że β=1 dla każdego przekroju nosi nazwę błędu Naviera.

1. Stateczność prętów.

Utrata stateczności konstrukcji jest zagadnieniem niezwykle ważnym

i skomplikowanym - i co więcej - stanowi jedną z przyczyn wystąpienia stanu granicznego

nośności.

Objaśnienia trzech postaci równowagi w jakich konstrukcja może się znajdować.

Jeżeli po dowolnie małym wychyleniu z pierwotnego położenia równowagi ruch ciała jest

taki, że wychylenia jego punktów nie są większe od tych początkowych to taka równowagę

nazywamy stateczna (trwała).

W przeciwnym przypadku równowaga jest niestateczna (nietrwała, chwiejna).

Można jeszcze wyróżnić szczególne położenie równowagi zwane równowaga obojętną, w której punkty ciała pozostają w położeniu po wychyleniu.

Opisaną sytuacje można zobrazować traktując konstrukcje jako ciężką kulkę w różnych warunkach podparcia znajdującą się w potencjalnym polu sił.

Równowadze statecznej 2 odpowiada minimum energii potencjalnej układu, a w równowadze chwiejnej 1 maksimum. W stanie równowagi obojętnej 3 wartość energii potencjalnej przy dowolnie małym wychyleniu pozostaje stała.

Przypadkiem często spotykanym w technice jest układ pozostający w równowadze stałej, którego wprowadzenie w stan równowagi chwiejnej wymaga tak małej energii, że w danych warunkach może być ona dostarczona w sposób przypadkowy. Mówimy, że jest to układ o małej bądź niedostatecznej stateczności.

Jeżeli działamy na pręt w sposób statyczny siłą Q normalną do osi pręta i spowodujemy jego ugięcie, to po cofnięciu tej siły pręt powraca do prostej postaci. Po przekroczeniu przez siłę pewnej wartości, nazywanej siłą krytyczną, po chwilowym zadziałaniu siły Q, pręt nie powróci do swej pierwotnej postaci lecz znajdzie się w stanie równowagi chwiejnej i w sposób gwałtowny przybierze nową postać o osi wygiętej odpowiadającej równowadze stałej. Towarzyszy temu nagły wzrost przemieszczenia punktu A.

Prosta (1) ilustruje zależność przy założeniu, że pręt jest wyłącznie ściskany. Po osiągnięciu przez siłę P wartości P_kr następuje rozwidlenie charakterystyki P-u.

Punkt B nazywamy punktem bifurkacji. Przy zwiększeniu wartości siły P, powyżej P_kr mogą nastąpić dwa rodzaje równowagi:

(1) równowaga stała niedostateczna (pręt pozostaje prosty, stan taki może nastąpić przy założeniu idealnie centralnego przyłożenia siły i braku impulsu Q)

(2) równowaga stała, pręt o postaci zakrzywionej. Linię OB (2) nazywamy ścieżką równowagi. Wygięcie pręta spowodowane przekroczeniem przez siłę ściskającą wartości krytycznej nazywamy wyboczeniem.

Warunek centralnego działania siły osiowej może być spełniony z pewną tolerancją. Załóżmy, że siła przyłożona do osi pręta przesunięta jest w stosunku do niej o mały mimośród a. W położeniu początkowym pręt jest rozciągany lub ściskany i zginany.

W przypadku pręta rozciąganego powstaje wskutek zginania odkształcenie zmniejszające wartość momentu gnącego, a zatem udział zginania ze wzrostem siły maleje. W przypadku pręta ściskanego odkształcenie powodowane zginaniem powoduje przyrost momentu gnącego. Wpływ ten przy pewnych wartościach sił jest gwałtowny. Krzywa (3) jest wykresem zależności siły i położenia przy założeniu istnienia początkowego mimośrodu.

1. Przykłady obliczeniowe stateczności pręta prostego.

Przykład 1

Określić nośność słupa wolno stojącego o przekroju kwadratowym 0.085 × 0.085 m, jeśli

Re = 240 MPa, RH = 180 MPa, E = 210 GPa, P = 1 MN, l = 1 m, współczynnik bezp. n = 2.

Rozwiązanie:

długość wyboczeniowa: lw = a l = 2 × 1 = 2 m

promień bezwładności: imin = a / 120.5 = 0.2887 a = 0.02454 m

smukłość graniczna: lgr = p (E / RH)0.5 = 107.3 [bezwymiarowa]

smukłość: l = 2 / 0.02454 = 81.5 < lgr (zakres poza liniowo sprężysty, wzór TJ)

Pdop = n × PTJ = 2 × sTJ F = 2 × (240 × 106 – 0.559 × 106 × 81.5) × 0.0852 = 1.405 MN.

Przykład 2

Zwymiarować przekrój ściskanego pręta jak na rysunku:

Dane:

współczynnik bezpieczeństwa n = 2.15

P = 120 kN

l = 2 m

E = 210 GPa

RH = 180 MPa

Re = 250 MPa

Przykład 3

Dobrać profil pręta jak na rysunku spośród dwuteowników, jeśli:

P = 1.2 MN

l = 5.5 m

E = 210 GPa

RH = 180 MPa

Re = 240 Mpa

lgr = 107

n = 2.15

Rozwiązanie:

Pkr = n × Pdop = 2.15 × 1.2 = 2.58 MN.

Z uwagi na różne schematy podparcia w różnych kierunkach, należy sprawdzić możliwość

utraty stateczności w każdej z dwóch płaszczyzn: x–y oraz x-z.

Obliczamy jaki przekrój jest potrzebny z uwagi na naprężenia ściskania:

F = Pkr / Re = 0.01075 m².

Bibliografia:

1) S. Piechnik: Wytrzymałość materiałów dIa wydziałów budowIanych PAN,

Warszawa-Kraków 1978

2) A. Zaborski: Stateczność pręta prostego – przykłady obliczeniowe

3) A. Bodnar: Wytrzymałość materiałów- podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych, Kraków 2004

4) Źródła i strony internetowe