ELEKTROTECHNIKA

1. PRĄD STAŁY. Elementy obwodów i podstawowe prawa.

Elementy obwodów

W obwodach prądu stałego podstawowym elementem jest rezystor (opornik).

Rys.1.1. Symbol rezystora

Jest on elementem biernym, w którym zachodzi proces zamiany energii elektrycznej na cieplną. Jego rezystancję oznaczamy literą R, a jej odwrotność zwaną przewodnością lub konduktancją i oznaczamy literą .

Wartość rezystancji jest wyrażana w , który ma wymiar .

W przypadku przewodów elektrycznych rezystancja jest proporcjonalna do długości przewodu, rezystancji właściwej materiału, z którego przewód jest zrobiony i odwrotnie proporcjonalna do jego przekroju poprzecznego.

(1.1)

jest rezystywnością (oporem właściwym) przewodu

jest konduktywnością (przewodnością) właściwą

jest przekrojem poprzecznym przewodu

Łączenie rezystancji

Wypadkowa rezystancja oporników połączonych szeregowo jest równa sumie rezystancji poszczególnych oporników

(1.2)

Odwrotność wypadkowej rezystancji oporników połączonych równolegle jest równa sumie odwrotności rezystancji poszczególnych oporników

(1.3)

Idealne źródło napięcia

jest dwójnikiem

wytwarzającym napięcie niezależne od prądu płynącego w tym źródle. Rezystancja wewnętrzna takiego idealnego źródła napięcia wynosi dlatego wartość napięcia U na jego zaciskach równa się sile elektromotorycznej E

(1.4)

Rys.1.2 Idealne źródło napięcia, dla którego

Rzeczywiste źródło napięcia

Rzeczywiste źródła napięcia charakteryzują się tym, że ich rezystancja wewnętrzna . Zależnie od rodzaju źródła rezystancja ta może przybierać wartości od ułamków do setek omów.

Rys.1.3 Rzeczywiste źródło napięcia z oporem wewnętrznym

Idealne źródło prądu

jest dwójnikiem wytwarzający prąd niezależny od napięcia na jego zaciskach. Parametrem charakteryzującym idealne źródło prądu jest prąd źródłowy, oznaczany zazwyczaj symbolem  j.

Rys.1.4 Źródło prądu

Podstawowe prawa.

Prawo Ohma

napięcie U na końcach przewodnika, przez który płynie prąd o natężeniu I jest iloczynem natężenia tego prądu i rezystancji przewodnika

(1.5)

Rys.1.5. Spadek napięcia U na rezystorze R powodowany przepływem prądu I.

skąd

(1.6)

Prawa Kirchhoffa

Prądowe prawo Kirchhoffa: suma prądów w węźle jest równa zeru. Oznacza to, że suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów z niego wypływających

(1.7)

Napięciowe prawo Kirchhoffa: w obwodzie zamkniętym (oczku) suma wszystkich napięć jest równa zeru

(1.8)

Przykłady zastosowania praw Kirchhoffa w obwodach prądu stałego

Przykład 1. W układzie jak na rysunku dane jest napięcie wejściowe U=15V oraz wartości rezystorów R. Wyznaczyć napięcie wyjściowe

Rozwiązanie

Jeśli = 15V, to wtedy

Przykład 2. W układzie jak na rysunku dane jest napięcie wejściowe U=16V oraz wartości rezystorów R. Wyznaczyć napięcie wyjściowe

Rozwiązanie

Obwód górny można uprościć do postaci

bowiem

Oznaczmy przez

- prądy oczkowe

- prądy gałęziowe

Układ równań oczkowych dla naszego układu wynosi

a ich zapis macierzowy

Napięcie wyjściowe

Rozwiązanie zadania za pomocą wzorów Cramera i metody Sarrusa obliczania wyznaczników rzędu trzeciego

WZORY CRAMERA

W celu obliczenia prądu wystarczy wyznaczyć następujące macierze:

i

Wyliczenia wartości wyznaczników macierzy o wymiarze 3x3 (ale tylko o takich wymiarach) możemy dokonać prostą metodą Sarrusa. Polega ona na dopisaniu z prawej strony naszego wyznacznika dwóch pierwszych jego kolumn a następnie obliczenia sumy iloczynów trzech pierwszych przekątnych i odjęcia od niej sumy iloczynów trzech przekątnych poprzecznych.

Korzystając z metody Sarrusa, obliczamy wyznaczniki:

Przykład 3. W układzie jak na rysunku dane jest napięcie wejściowe U=16V oraz wartości rezystorów R. Wyznaczyć napięcie wyjściowe

Rozwiązanie

Zapis macierzowy powyższego układu równań

oraz

Przykład 4. W układzie jak na rys. nastąpiło zwilgocenie przewodów w efekcie czego rezystancja dolnego przewodu względem ziemi zmniejszyła się do 50 a rezystancja względem ziemi drugiego przewodu 81. Jaki prąd popłynie przez człowieka, który dotknął się dolnego przewodu jeśli jego rezystancja wynosi 70 a napięcie sieci jest równe 110V.

Rozwiązanie

Schemat obwodu elektrycznego odpowiadającego warunkom zadania przedstawia rysunek

który upraszcza się do postaci

Rezystancja wypadkowa wyliczamy ze wzoru:

czyli prąd całkowity wynosi

a prąd płynący przez człowieka wynosi

 Zadanie domowe. Dla układu z rys. łożyć układ równań wykorzystując metodę prądów oczkowych

Twierdzenie Thevenina

umożliwia wyznaczenie prądu w dowolnej gałęzi aktywnego obwodu liniowego bez konieczności obliczania wszystkich prądów i napięć tego obwodu. Prąd ten jest ilorazem napięcia pomiędzy punktami a i b gałęzi przez którą przepływa prąd i sumy rezystancji oraz rezystancji wziernej (zastępczej) widzianej od strony zacisków a, b. Napięcie obliczamy przy rozwartym obwodzie prądu natomiast rezystancję wzierną przy zwartych wszystkich źródłach napięciowych obwodu i rozwartych źródłach prądowych.

Przykład 5. Wyznaczyć prąd płynący płynący przez R w przedstawionym na rysunku mostku korzystając z twierdzenia Thevenina.

Rozwiązanie

1. Wyznaczenie napięcia .

Napięcie to wyznaczamy przy rozwartym obwodzie AB. Mamy wtedy

więc

2. Wyznaczenie oporności wziernej

Oporność wzierną wyznaczamy od strony zacisków AB w przy zwartym źródle, czyli w układzie jak na rysunku

i nasz obwód upraszcza się do postaci

Szukany prąd z zasady Thevenina wynosi zatem