Wydział WNiG	Imię i nazwisko 1.Marcin Bednarczyk 2. Łukasz Ogarek	Rok II	Grupa 3	Zespół
PRACOWNIA FIZYCZNA WFiIS AGH	Temat: Moduł Younga	Nr ćwiczenia 11
Data wykonania	Data oddania	Zwrot do popr.	Data oddania	Data zaliczenia

1. Cel ćwiczenia.

Wyznaczenie modułu Younga metodą statyczną za pomocą pomiaru wydłużenia drutu z badanego metalu obciążonego stałą siłą.

1. Wprowadzenie

Pojęcie bryły sztywnej jest tylko użytecznym przybliżeniem, rzeczywiste ciała zmieniają swój kształt pod wpływem przyłożonych sił. Jeżeli po usunięciu siły ciało wraca do kształtu pierwotnego mówimy o odkształceniu sprężystym. Prawo Hooke'a mówi, że odkształcenie sprężyste ciała jest proporcjonalne do przyłożonych sił.

W przypadku rozciągania jednorodnego pręta przyrost długości l jest proporcjonalny do jego długości l i siły F, a odwrotnie proporcjonalny do przekroju poprzecznego S.

$$l = \frac{\text{Fl}}{\text{ES}}$$

Stała materiałowa E nasi nazwę MODUŁU YOUNGA.

Moduł Younga jest to stosunek naprężenia normalnego do względnego wydłużenia.

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{\text{Fl}}{\text{SΔl}}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} = Pa \right\rbrack$$

gdzie:

σ – naprężenie normalne zdefiniowane jako stosunek przyłożonej siły do pola przekroju pręta:

$$\sigma = \frac{F}{S}$$

ε – normalne odkształcenie względne, równe stosunkowi przyrostu długości do długości początkowej:

$$\varepsilon = \frac{l}{l}$$

Aby wyznaczyć moduł Younga musimy znać długość l i średnicę drutu d oraz jego wydłużenie l pod wpływem danego obciążenia F, a także pole przekroju drutu S.

Siła F rozciągająca drut jest siłą ciężkości odważników o masie m. Zatem F = mg, gdzie $g = 9,81\frac{m}{s^{2}}$ jest przyspieszeniem ziemskim. Zgodnie z prawem Hooke’a zależność l(m) winna być linią prostą o równaniu l = aF + b.

Porównując równanie prostej l = aF + b z wzorem $l = \frac{\text{Fl}}{\text{ES}}$ pokazuje, że współczynnik nachylenia a jest tożsamy z czynnikiem $\frac{l}{\text{ES}}$, zatem $E = \frac{l}{\text{aS}}$. Ponadto pole przekroju drutu S obliczamy ze średnicy d jako $S = \frac{\pi d^{2}}{4}$, zatem roboczy wzór na moduł Younga przyjmuje postać:

$$E = \frac{4l}{\pi d^{2}a}$$

Moduł Younga możemy zapisać również w postaci:

ε ∼ σ

Co oznacza, że ε jest proporcjonalny do σ. Z tego wynika, że E= const.

Niepewność złożoną u_C(E) obliczamy przy pomocy prawa propagacji niepewności względnej na podstawie niepewności l, d oraz a (niepewność współczynnika nachylenia u(a) pochodzi od błędu przypadkowego pomiaru l, gdyż niepewność masy m jest pomijalna). Otrzymujemy:

$$\frac{u_{C}(E)}{E} = \sqrt{\left\lbrack \frac{u(l)}{l} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2\frac{u(d)}{d} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{u(a)}{a} \right\rbrack^{2}}$$

1. Wyniki pomiarów.

1. Wyniki pomiarów dla drutu stalowego

Masa odważników [kg]	Siła F [N]	Wskazanie czujnika [mm]	Wskazanie czujnika [mm]	Wydłużenie średnie l [mm]
1	9,81	0,50	0,56	0,27
2	19,62	0,88	0,94	0,46
3	29,43	1,20	1,29	0,62
4	39,24	1,53	1,60	0,78
5	49,05	1,87	1,96	0,96
6	58,86	2,17	2,24	1,10
7	68,67	2,46	2,58	1,26
8	78,48	2,80	2,84	1,41

Do mierzenia długości drutu l użyliśmy przymiaru zamocowanego na statywie, którego dokładność równa jest 1 mm.

Długość drutu: l = 106, 6 cm

Niepewność metodą typu B: $u\left( l \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,58\ mm$

Do mierzenia średnicy drutu d użyliśmy śruby mikrometrycznej, której dokładność równa 0, 01 mm.

Otrzymane wyniki 3 pomiarów: d₁ = 0, 71 mm, d₂ = 0, 71 mm, d₃ = 0, 71 mm

Niepewność metodą typu B: $d\left( l \right) = \frac{0,01}{\sqrt{3}} \approx 0,0058\ mm$

Obliczanie średnicy średniej:

$$d = \frac{d_{1} + d_{2} + d_{3}}{3} = \frac{0,71 + 0,71 + 0,71}{3} = 0,71\ mm$$

Obliczanie wartości siły rozciągającej.

Do pomiarów użyliśmy 8 odważników 1kg, obciążając szalkę kolejnym odważnikami . Wartość siły rozciągającej obliczamy ze wzoru:

F = mg

Przykład obliczania dla m = 1kg:

$$F = 1 \bullet 9,81 = 9,81\ \left\lbrack \text{kg}\frac{m}{s^{2}} = N \right\rbrack$$

Wartość średniego wydłużenia obliczamy na podstawie wskazań czujników cz↑ oraz cz↓ jako:

$$l = \frac{\left( cz \uparrow + cz \downarrow \right)}{4}$$

Przykład obliczania dla pierwszych wartości w tabeli

$$l = \frac{\left( 0,50 + 0,56 \right)}{4} = 0,27\ mm$$

Wykres:

Obliczanie wartości modułu Younga.

$$\backslash n{E = \frac{4l}{\pi d^{2}a}\backslash n}$$

dane: l = 1, 066 m, d = 0, 00071 m, $a = \ 0,0000165708\ \ \ \frac{m}{N}\ $

Zatem eksperymentalna wartość modułu Younga dla stali wynosi:

$$E = \frac{4 \bullet 1,066}{3,14 \bullet \left( 0,00071 \right)^{2} \bullet 0,0000165708} \approx 162\ GPa$$

Obliczanie niepewność modułu Younga z prawa o przenoszeniu niepewności.

dane: u(l) = 0, 00058 m, u(d) = 0, 0000058 m, $u\left( a \right) = 0,00000023345\ \frac{m}{N}$

$$u\left( E \right) = E\sqrt{\left\lbrack \frac{u(l)}{l} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2\frac{u(d)}{d} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{u(a)}{a} \right\rbrack^{2}} = 162\sqrt{\left\lbrack \frac{0,00058}{1,066} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2\frac{0,0000058}{0,00071} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{0,00000023345}{0,0000165708} \right\rbrack^{2}} \approx 3,5\ GPa$$

Porównanie z wartością tablicową modułu Younga równą E_t = 210 GPa

|210−162| = 48 > 3, 5

1. Wyniki pomiarów dla drutu mosiężnego.

Masa odważników [kg]	Siła F [N]	wskazanie czujnika [mm]	Wskazanie czujnika [mm]	wydłużenie średnie l [mm]
1	9,81	0,56	0,64	0,3
2	19,62	1,1	1,2	0,575
3	29,43	1,65	1,66	0,8275
4	39,24	2,03	2,15	1,045
5	49,05	2,59	2,65	1,31

Do mierzenia długości drutu l użyliśmy przymiaru zamocowanego na statywie, którego dokładność równa jest 1 mm.

Długość drutu: l = 106, 8 cm

Niepewność metodą typu B: $u\left( l \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,58\ mm$

Do mierzenia średnicy drutu d użyliśmy śruby mikrometrycznej, której dokładność równa 0, 01 mm.

Otrzymane wyniki 3 pomiarów: d₁ = 0, 77 mm, d₂ = 0, 77 mm, d₃ = 0, 77 mm

Niepewność metodą typu B: $d\left( l \right) = \frac{0,01}{\sqrt{3}} \approx 0,0058\ mm$

Obliczanie średnicy średniej:

$$d = \frac{d_{1} + d_{2} + d_{3}}{3} = \frac{0,77 + 0,77 + 0,77}{3} \approx 0,77\ mm$$

Obliczanie wartości siły rozciągającej.

Do pomiarów użyliśmy 6 odważników 1kg, obciążając szalkę kolejnym odważnikami . Wartość siły rozciągającej obliczamy ze wzoru:

F = mg

Przykładowe obliczenie dla pierwszych wartości w tabeli:

$$F = 1 \bullet 9,81 = 9,81\ \left\lbrack \text{kg}\frac{m}{s^{2}} = N \right\rbrack$$

Wartość średniego wydłużenia obliczamy na podstawie wskazań czujników cz↑ oraz cz↓ jako:

$$l = \frac{\left( cz \uparrow + cz \downarrow \right)}{4}$$

Przykład obliczania dla pierwszych wartości w tabeli:

$$l = \frac{\left( 0,56 + 0,64 \right)}{4} = 0,3\ mm$$

Wykres:

Obliczanie wartości modułu Younga.

$$E = \frac{4l}{\pi d^{2}a}\backslash n$$

dane: l = 1, 068 m, d = 0, 00077 m, $a = \ 0,00002538226\ \ \frac{m}{N}\ $

Zatem eksperymentalna wartość modułu Younga dla mosiądzu wynosi:

$$E = \frac{4 \bullet 1,068}{3,14 \bullet \left( 0,00077 \right)^{2} \bullet 0,00002538226} \approx 90\ GPa$$

Obliczanie niepewność moduły Younga z prawa o przenoszeniu niepewności.

dane: u(l) = 0, 00058 m, u(d) = 0, 0000058 m, $u\left( a \right) = \ 0,00000053779\ \ \ \ \frac{m}{N}$

$$u\left( E \right) = E\sqrt{\left\lbrack \frac{u(l)}{l} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2\frac{u(d)}{d} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{u(a)}{a} \right\rbrack^{2}} = 90\sqrt{\left\lbrack \frac{0,00058}{1,068} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2\frac{0,0000058}{0,00077} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{0,00000053779}{0,00002538226} \right\rbrack^{2}} \approx \ 2,34\ GPa$$

Porównanie z wartością tablicową modułu Younga równą E_t = 100 GPa

|100−90| = 10 > 2, 34

Wnioski:

1. Duży błąd pomiaru (wyniki nie zgadzają się w granicach niepewności pomiaru z wartością tablicową) świadczy o niedoskonałości metody pomiarowej. Przyczyny złych wyników możemy szukać także w drutach, które były już zużyte i odkształcone co z pewnością negatywnie wpłynęło na wyniki pomiarów.

2. Wykresy przedstawiają stosunek wydłużenia się drutu względem przyłożonej siły rozciągającej. Z wykresu możemy wywnioskować iż nie została przekroczona granica wytrzymałości dla badanych materiałów.