1) klasyfikacja sił z wyprowadzeniami na siłę masową i powierzchniową
2) klasyfikacja przepływów
3) Omówić modele płynów
4) prawo Fouriera
5)ciśnienie w gazach
6)powierzchnie ekwipotencjalne
7) obrót wokół osi pionowej
8)rurka prądu
9) odkształcenie liniowe i postaciowe
10) odkształcenie 3D i prędkość deformacji
11)przepływy wirowe
12)Linie wirowe
13)Cyrkulacja wektora prędkości i twierdzenie Stokesa
14) potencjał prędkości
15)źródło i upust
16) strumień wirowości
17) twierdzenie Thompsona
18)II twierdzenie Helmholtza
19) Wzór Biota Savarta
20)Jednowymiarowa objętość kontrolna
21) Jednowymiarowe twierdzenie Reynoldsa
22)Prawo Hagena-Poiseuille'a

1.) Siły (już bylo – II termin I grupa)

Siły wewnętrzne – wzajemne oddzialywania elementow mas wydzielonego obszaru plynu, sily o charakterze powierzchniowym, znoszace sie parami.

Sily zewnetrzne – wynik oddzialywania mas nie nalezacych do wydzielonego obszaru plynu – dzielimy je na sily masowe i sily powierzchniowe

Sily masowe obejmuja kazdy element plynu i sa proporcjonalne do jego masy.

Siły powierzchniowe działają na powierzchnię obejmującą wydzielony

obszar płynu i są proporcjonalne do pola tej powierzchni.

Jednostkowa sila masowa

F = iX + jY + kZ = F(x,y,z)

X=1/ρ * dp/dx

Y=1/ρ * dp/dy

Z=1/ρ * dp/dz

Co prowadzi do prawa Eulera

F = 1/ρ * grad p

Xdx + Ydy + Zdz = dp/ρ

Jezeli pole sil masowych jest potencjalne, to

F = -gradU

2.) Rodzaje przepływów

Przepływy jednowymiarowe, czyli przepływy z jednym

dominującym kierunkiem prędkości, np. przepływ w rurociągu o

stałym przekroju.

Przepływy dwuwymiarowe, czyli takie gdzie występują dwa równie ważne kierunki przepływu, np. opływ profilu będącego przekrojem płata o nieskończonej rozpiętości lub przepływ w rurociagu o silnie zmiennym przekroju.

Przepływy trójwymiarowe, czyli takie gdzie występują trzy równie ważne kierunki przepływu, np. opływ trójwymiarowej bryły o złożonej geometrii (samolot, samochód statek itp.)

Uwaga: w rzeczywistości wszystkie przepływy są trójwymiarowe, pozostałe ww. rodzaje są uproszczonymi modelami dopuszczalnymi przy spełnieniu pewnych warunków.

Każdy z ww. rodzajów przepływów może być ponadto traktowany

alternatywnie jako:

Przepływ stacjonarny, czyli taki w którym parametry go opisujące nie są zależne od czasu.

Przepływ niestacjonarny, czyli taki w którym parametry go opisujące są zależne od czasu.

Uwaga: powyższy podział ma charakter subiektywny, tzn. ten sam przepływ fizyczny może być stacjonarny w jednym układzie współrzędnych, a niestacjonarny w innym układzie współrzędnych.

3.)Modele płynów

Ciecz idealna (ciecz Pascala) – płyn nielepki i nieściśliwy

Płyn lepki – (płyn Newtona), w którym naprężenia styczne (ścinające) są proporcjonalne do prędkości odkształcenia, np. woda, powietrze, oleje mineralne.

Ciecz lepkoplastyczna (ciecz Binghama) –poniżej pewnej granicy naprężeń zachowuje się jak ciało stałe, a powyżej jak płyn lepki, np. lakiery, pasty, wodny roztwór cementu.

4.) Prawo Fouriera

Prawo Fouriera: j = −λgradT

Równanie bilansu entropii w tej formie pokazuje proces ciągłego rozpraszania (dyssypacji) energii mechanicznej płynącego płynu i zamiany tej energii w ciepło. Uwagi:

-oba składniki natężenia objętościowych źródeł entropii są zawsze nieujemne,

-mechaniczne źródła entropii mogą być równe zero przy μ=0, a termiczne źródła entropii mogą być równe zero przy λ=0 , co prowadzi do modelu płynu nielepkiego i nie przewodzącego ciepła,

-z powyższego równania (na żółtym polu) wynika, że o energii wewnętrznej płynu decydują:

a) procesy entropowe (spalanie, reakcje chemiczne, tarcie

wewnętrzne płynu),

b) zmiana gęstości płynu (kompresja lub ekspansja),

c) doprowadzenie lub odprowadzenie ciepła.

5. Ciśnienie w gazach

Cisnienie hydrostatyczne w gazach

Gazy cechuje scisliwosc.

dp/dz = -ρg = -p/RT * g

Atmosfera izotermiczna, gdzie t=t0

p2 = p1 * exp [- g(z2-z1)/RT0 ]

6. Powierzchnie ekwipotencjalne

Powierzchnie ekwipotencjalne – powierzchnie stalego potencjalu (ρ i p nie zmieniaja sie wzdluz takiej powierzchni), np. swobodna powierzchnia plynu czy powierzchnia rozdzialu dwoch niemieszajacych sie cieczy o roznych gestosciach

7. Obrót w okół osi pionowej

Obrot wokol osi pionowej

Na dowolny element plynu dziala jednostkowa sila masowa, ktora jest suma wektorowa przyspieszenia ziemskiego i odsrodkowego.

X=ω^2 * x ; Y= ω^2 * y ; Z= -g

(ω^2*r^2) / 2 – gz = C

8.) Rurka prądu

Rurka pradu

Jezeli przez zamkniety kontur poprowadzi sie linie pradu, to w rezultacie otrzyma sie powierzchnie pradu zwana rurka pradu. Jezeli przekroj tej rurki jest nieskonczenie maly, to uzyska sie wlokno pradu. Zbior linii pradu wypelniajacych w sposob ciagly rurke pradu nazywa sie struga. Rurka pradu jest dobrym modelem rurociagu, dla ktorego mozna wyznaczyc:

Objetosciowe natezenie przeplywu: Q =  ∫_SVn dS

Objetosciowa predkosc srednia: $v = \frac{1}{S}\int_{S}^{}\text{vn\ dS}$

Masowe natezenie przeplywu M = ∫_Vdiv(ρvn)dV

Masowa predkosc srednia $v = \frac{\int_{S}^{}\text{ρvn\ dS}}{\int_{S}^{}\text{ρ\ dS}}$

9. Odkształcenie liniowe i postaciowe

Odksztalcenie w ruchu dwuwymiarowym

Predkosc ruchu zapisujemy jako u = iu + jv

Do odksztalcenia liniowego elementu plynu dochodzi, gdy skladowa predkosci u zmienia sie w kierunku x i/lub skladowa predkosci v zmienia sie w kierunku y. Prowadzi to do przyrostu objetosci elementu w czasie dt o wartosc (du/dx + dv/dy)dxdydt.

εxx = du/dx εyy = dv/dy

Do odksztalcenia postaciowego elementu plynu dochodzi gdy skladowa predkosci u zmienia sie w kierunku y i/lub skladowa predkosci v zmienia sie w kierunku x. Prowadzi to do obrotu scianek elementu plynu o katy:

dα = (dv/dx)dt dβ=(du/dy)dt

Miara predkosci lacznego odksztalcenia postaciowego jest wyrazenie

εxy = ½ (du/dy + dv/dx)

Sztywny obrot elementu plynu mozna traktowac jako sume dwoch oksztalcen postaciowych tak dobranych, ze katy pomiedzy bokami elementu pozostaja proste. Predkosc katowa takiego obrotu mozna zapisac jako:

Ωz = ½ (dv/dx – du/dy)

10. Odkształcenie 3d (prędkosc deformacji juz byla – II termin – II grupa-Ipr H)

Element płynu wykonuje ruch ogólnyzłożony z translacji z prędkością oraz obrotu względem bieguna O i deformacji. Naskutek obrotu i deformacji ulega zmianie wektor łączący punkt A z biegunem. W ogólnym przypadku wektor ten doznajeobrotu i zmiany długości. Można napisać:

11. Przepływy wirowe, 12. Linie wirowe

Wirowym nazywamy przepływ, w którym wszędzie lub prawiewszędzie (czyli z wyjątkiem skończonej liczby punktów, linii ipowierzchni) rotacja pola prędkości jest różna od zera. Wtedy każdemu lub prawie każdemu punktowi przestrzeni można przypisać wektor wirowości:

Przez analogię do linii prądu można określić linie wirowe jakolinie pola wektorowego wirowości, czyli linie styczne w każdym punkcie pola do wektorów wirowości. Równanie linii wirowej:

13. Cyrkulacja wektora predkosci i twierdzenie Stokesa

Cyrkulacja wektora prędkości:

Twierdzenie Stokesa: cyrkulacja prędkości wzdłuż dowolnego konturu C jest równa strumieniowi wirowości przez dowolną powierzchnię objętą tym konturem.

14. Potencjał prędkosci

Potencjał predkosci

Warunki przeplywu potencjalnego powoduja istnienie w obszarze bezwirowego przeplywu pewnej funckji Φ(x,y,z) lub Φ(x,y,z,t) dla przeplywow nieustalonych, takiej, ze

u=d Φ/dx; v=d Φ/y; w=d Φ/dz; v=grad Φ , gdzie Φ jest potencjalem predkosci.

Jezeli analizowane pole jest polem bezzrodlowym to potencjal predkosci spelnia rownanie Laplace’a: ∆^2 * Φ = ∇ Φ = 0

15. Źródło i upust

Zrodlo/upust

Tak nazywa sie punkt w przestrzeni, z ktorego stale wyplywa lub do ktorego stale wplywa plyn. Dla zrodla przyjmuje sie strumien objetosci q(v), a dla upustu (-q(v)).Predkosc czastek na powierzchni kuli o promieniu r

v = q(v)/4*pi*r^2

C= q(v)/4pi

Φ = -C * 1/r

Para zrodlo-upust

Analizowany bedzie ruch spowodowany jednoczesnie zrodlem i upustem o jednakowych strumieniach objetosci. Z powodu symetrii wzgledem osi Ox, wystarczy wyjasnic to zagadnienie w plaszczyznie Oxy. Jezeli a jest odlegloscia zrodla i upustu od poczatku ukladu,, to dla zrodla $r1 = \ \sqrt{{(x + a)}^{2} + y^{2}}$ i upustu $r2 = \ \sqrt{{(x - a)}^{2} + y^{2}}$.

16. Strumień wirowości

Strumien wirowosci

Strumieniem wirowosci nazywa sie strumien wektora wirowosci przechodzacy przez powierzchnie A. Elementarny strumien wirowosci:

∫_AΩn dA =  ∫_VdivΩ dV

17. Twierdzenie Thompsona

Twierdzenie Thompsona

W przeplywie idealnego plynu barotropowego znajdujacego sie pod dzialaniem potencjalnego pola sil masowych cyrkulacja predkosci wzdluz dowolnej zamknietej linii nie zmienia sie w czasie.

18. Drugie twierdzenie Helmholtza

II Twierdzenie Helmholtza

Strumien wirowosci w cieczy doskonalej zachowuje niezmienna wartosc wzdluz calej dlugosci strugi wirowej. W przeplywie idealnego plynu barotropowego znajdujacego sie pod dzialaniem potencjalnego pola sil masowych natezenie wlokna wirowego nie zmienia sie wzdluz jego dlugosci i jest stale w czasie: div(rotv) = 0.

19.)Wzor Biota – Savarta

W praktycznym modelowaniu przeplyw mozna podzielic na obszar o ruchu wirowym i obszar o ruchu bezwirowym. Oba te obszary sa wzajemnie wspolzalezne. Obszar o ruchu wirowym moze byc modelowany wloknami wirowymi. Istotne staje sie wtedy wyznaczanie pola predkosci, czyli operacja odrotna do obliczania rotacji pola predkosci.

$$dV = \ \frac{\Gamma}{4pi}*\frac{ds\ \times r}{r\hat{}3}$$

20.) Jednowymiarowa objetosc kontrolna

Jednowymiarowa objetosc kontrolna

Jezeli przez B oznaczymy dowolna wlasnosc plynu (energei, ped, itp.), a przez β = dB/dm – wartosc wlasciwa w odniesieniu do jednostki masy, to calkowita wielkosc B w odniesieniu do objetosci kontrolnej wynosi:

B(CV) =  ∫_CVβρ dV

21.) Jednowymiarowe twierdzenie Reynoldsa

Jednowymiarowe twierdzenie Reynoldsa

$$\frac{\text{dB}\left( \text{uklad} \right)}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}*\left( \int_{\text{CV}}^{}\text{βρ\ dV} \right) + \ \int_{\text{CV}}^{}{\text{βρ\ }\left( v*n \right)\text{\ dA}}$$

22.) Prawo Hagena-Poiseuille'a (wiki)

Prawo Hagena-Poiseuille'a - prawo fizyczne opisujące zależność między strumieniem objętości cieczy a jej lepkością (która wynika z tarcia wewnętrznego), gradientem ciśnień (który jest bodźcem termodynamicznym powodującym przepływ płynu), a także wielkościami opisującymi wielkość naczynia (długość, promień przekroju poprzecznego).

Przy stacjonarnym (tj. niezmiennym w czasie), laminarnym przepływie nieściśliwego, lepkiego płynu w cylin­drycznym przewodzie (tj. w rurze o stałym, kołowym przekroju), strumień objętości przepływu (objętość przepły­wającego płynu na jednostkę czasu) propor­cjonalny jest do gradientu ciśnienia wzdłuż przewodu, a zatem i do różnicy ciśnień na końcach przewodu: