PROBLEM I

W 1798 Malthus zaproponował prosty model wzrostu populacji (problem maltuzjański, wykładniczy), w którym założono, że populacja składa się jednego, jednorodnego gatunku.

Z powyższych założeń otrzymujemy, że:

x'(t) = kx(t)

k = u - z

gdzie „x(t)” jest wielkością populacji w danym momencie, „u” wskaźnikiem urodzeń,
a „z” wskaźnikiem zgonów.

Ponieważ model ten prowadzi do nieograniczonego, wykładniczego rozrostu populacji został wzbogacony założeniem o skończonej dostępności zasobów, tzw. problem logistyczny opisany równaniem:

x’(t) = kx(t)(A-x(t))

Problemy obliczeniowe

1. Narysuj przebieg x(t) dla obu modeli dla różnych k (<0, >0, =0). Do jakich wniosków prowadzą oba modele? Podaj rozwiązanie analityczne i przeanalizuj rozwiązanie.

2. Dla jakich x, x’(t) = 0? Co to oznacza? Czy są to punkty stabilne, czy nie?

3. W roku 1950 populacja Polski wynosiła ok. 25.008 mln, w 1970 32.642 mln, a w 1990 38.183 mln. Ile według wzoru Malthusa, a ile według modelu logistycznego powinna wynosić populacja Polski obecnie, a ile za 30 lat?

4. Dodatkowe. Rozwiąż układ metodą różnić skończonych przy pomocy Excela.

Cel

Celem zadania jest wyznaczenie równań różniczkowych zwyczajnych w celu rozwiązania zadanych powyżej problemów.

Założenia

1. Ustalenie prawej strony równania różniczkowego

2. Określenie wektora czasu

3. Obliczenie wartości funkcji w kolejnych czasach t

4. Wartość funkcji w czasie to warunek początkowy

5. Ustalić początek całkowania, tolerancję błędu

Obliczenia i rozwiązania problemów

Ad.1 Prosty model wzrostu populacji wg. Malthusa: x’(t) = kx(t) (wykładniczy). Przyjęto przedział
t [0,2] oraz y₀ = 1. Za k podstawiono kolejno wartości: 2, 0 i -2, a następnie obliczono ts oraz cs.

k1 = 2 % warunek 1: k>0, tu przykładowo k = 2

ode = @(ts,cs)[k1*cs] % "ode" = ordinary differential equation

% [t,y]=ode45(ode, tspan, y0); tpan:[0,2]

[ts,cs] = ode45(ode,[0, 2], 1)

figure(1)

plot (ts, cs, 'b')

xlabel('ts')

ylabel('cs')

title('Wykres funkcji x''(t)=kx(t) dla k=2')

k2 = 0 % warunek 2: k=0

ode = @(ts,cs)[k2*cs]

[ts,cs] = ode45(ode,[0, 2], 1)

figure(2)

plot (ts, cs, 'c')

xlabel('ts')

ylabel('cs')

title('Wykres funkcji x''(t)=kx(t) dla k=0')

k3 = -2 % warunek 3: k<0, tu przykładowo k = -2

ode = @(ts,cs)[k3*cs]

[ts,cs] = ode45(ode,[0, 2], 1)

figure(3)

plot (ts, cs, 'r')

xlabel('ts')

ylabel('cs')

title('Wykres funkcji x''(t)=kx(t) dla k=-2')

Tabela 1. Zestawienie wartości ts i cs dla różnych k.

k = 2	k = 0	k = -2
ts	cs	ts
0	1.0000	0
0.0251	1.0515	0.0500
0.0502	1.1057	0.1000
0.0754	1.1627	0.1500
0.1005	1.2226	0.2000
0.1505	1.3511	0.2500
0.2005	1.4932	0.3000
0.2505	1.6503	0.3500
0.3005	1.8239	0.4000
0.3505	2.0157	0.4500
0.4005	2.2277	0.5000
0.4505	2.4619	0.5500
0.5005	2.7209	0.6000
0.5505	3.0070	0.6500
0.6005	3.3233	0.7000
0.6505	3.6728	0.7500
0.7005	4.0591	0.8000
0.7505	4.4860	0.8500
0.8005	4.9578	0.9000
0.8505	5.4792	0.9500
0.9005	6.0554	1.0000
0.9505	6.6923	1.0500
1.0005	7.3961	1.1000
1.0505	8.1740	1.1500
1.1005	9.0336	1.2000
1.1505	9.9837	1.2500
1.2005	11.0337	1.3000
1.2505	12.1941	1.3500
1.3005	13.4766	1.4000
1.3505	14.8940	1.4500
1.4005	16.4604	1.5000
1.4505	18.1915	1.5500
1.5005	20.1047	1.6000
1.5505	22.2192	1.6500
1.6005	24.5560	1.7000
1.6505	27.1386	1.7500
1.7005	29.9927	1.8000
1.7505	33.1472	1.8500
1.8005	36.6333	1.9000
1.8505	40.4860	1.9500
1.9005	44.7439	2.0000
1.9254	47.0268
1.9502	49.4262
1.9751	51.9480
2.0000	54.5984

Wnioski

1. Model wykładniczego rozrostu populacji wg. Malthusa ukazuje różne zachowywanie się populacji w zależności od liczby zgonów i urodzeń. Jeśli współczynnik k, będący różnicą między ilością urodzeń i zgonów, jest większy od zera (liczba urodzeń > liczba zgonów), to populacja zwiększa się. Jeśli natomiast współczynnik k jest mniejszy od zera (liczba urodzeń < liczba zgonów), populacja zmniejsza się. W przypadku współczynnika k równego zero (liczba urodzeń = liczba zgonów) wielkość populacji nie zmienia się.

2. Model Malthusa zakłada, że populacja jest jednorodna, tzn. składa się z jednego, jednorodnego gatunku. Pochodna x’(t) = 0 w przypadku, gdy x = 0. Wynika to z faktu, że aby mogły zachodzić zmiany na populacji, x ≠ 0. X równy zero oznacza, że populacja nie istnieje.

3. Nie policzono, ile według wzoru Malthusa, a ile według modelu logistycznego powinna wynosić populacja Polski obecnie (2013), a ile za 30 lat (2043).

4. Nie rozwiązano układu metodą różnic skończonych przy pomocy Excela.

PROBLEM II

Do zbiornika wpływa woda z szybkością 10 l/min. Zawartość zbiornika jest mieszana, a następnie opuszcza go z szybkością 10 l/min. Do zbiornika dodawana jest również sól w ilości 0.1 kg/min. Początkowo zbiornik zawiera 10 kg soli w 100 l wody.

Problemy obliczeniowe

1. Ułóż równanie różniczkowe opisujące problem.

2. Podaj rozwiązanie numeryczne.

3. Ile soli będzie w zbiorniku po 1 h?

4. Jakie jest zachowanie asymptotyczne modelu?

Cel

Celem problemu jest: ułożenie równania różniczkowego opisującego problem, podanie rozwiązania numerycznego, obliczenie ilości soli w zbiorniku po czasie 1h oraz sprawdzenie, jakie jest zachowanie asymptotyczne modelu.

Założenia

_in=$\ 10\ \frac{l}{\min}$ (prędkość przepływu na wejściu)

_out =$\ 10\ \frac{l}{\min}$ (prędkość przepływu na wyjściu)

C_pocz.= $\frac{10\text{kg}}{100l} = \ 0,1\frac{\text{kg}}{l}$ (stężenie początkowe soli w zbiorniku)

C_in= $0,1\frac{\text{kg}}{\min}*\frac{\ 1}{100\ l} = \frac{1}{1000}\ \frac{\text{kg}}{l*min}$

C_out= $\frac{1\ }{10}\text{c\ }\frac{\text{kg}}{l*min}$

Obliczenia i rozwiązania problemów

1. Równanie różniczkowe opisujące problem:

$$\frac{dc}{\text{dt}} = c_{\text{in}} - c_{\text{out}} = \frac{1}{1000} - \frac{1}{10}c$$

1. Rozwiązanie numeryczne:

$$10\frac{\text{dc}}{\text{dt}} = \frac{1}{100} - c$$

$$\int_{}^{}\frac{\text{dc}}{c - \frac{1}{100}} = - \int_{}^{}{\frac{1}{10}d}t$$

$$lnC + \ln\left( c - \frac{1}{100} \right) = - \frac{1}{10}t$$

$$c\left( c - \frac{1}{100} \right) = e^{- \frac{t}{10}}$$

$$c = \frac{e^{- \frac{0}{10}}}{\frac{1}{10} - \frac{1}{100}} = \frac{100}{9}$$

$$c\left( t \right) = \frac{9}{100}e^{- \frac{t}{10}} + \frac{1}{100}$$

$$\operatorname{}{c\left( t \right) = \frac{1}{100}\frac{\text{kg}}{l}}$$

1. Obliczenie stężenia soli w zbiorniku po 1h wg. wzoru:

$c\left( t \right) = \frac{9}{100}e^{- \frac{t}{10}} + \frac{1}{100}$ za t podstawiając 60 (minut).

Treść skryptu programu MATLAB:

C_soli = 9/100*exp(-6)+1/100

Wydruk z okna programu MATLAB:

C_soli = 0.0102

Wnioski

• Policzono początkowe stężenie soli w zbiorniku oraz stężenie soli na wlocie do zbiornika i na wylocie ze zbiornika.

• Ułożono równanie różniczkowe opisujące problem.

$$c\left( t \right) = \frac{9}{100}e^{- \frac{t}{10}} + \frac{1}{100}$$

• Używając powyższego równania obliczono stężenie soli w zbiorniku po czasie 1h.

• Nie określono, jakie jest zachowanie asymptotyczne modelu.

• Równania różniczkowe zwyczajne pozwalają opisać zmienności parametrów procesu w czasie (tu: stężenie soli).