Wydział Inżynierii Produkcji i Logistyki	1 rok Zarządzanie i Inżynieria Produkcji
Robert Czaja	Wykonanie pomiarów 13.12.2011r
Ćwiczenie nr 17	Wyznaczanie modułu Young’a

1. Opis zagadnienia

Działaniu sił zewnętrznych powodujących zmiany objętości lub kształtu badanego ciała towarzyszy zakłócenie rozkładu sił międzycząsteczkowych, objawiające się pojawieniem się sił wewnętrznych zwanych siłami sprężystości.

Odkształcenie ciała sztywnego pod wpływem sił zewnętrznych polega na przemieszczaniu się cząsteczek tego ciała z pierwotnego położenia równowagi w inne. Temu przemieszczaniu się przeciwdziałają siły wzajemnego oddziaływania między cząsteczkami.

Wielkość fizyczną, równą liczbowo sile sprężystości F przypadającej na jednostkę powierzchni przekroju ciała, nazywamy naprężeniem σ.

σ=FS^-1­

Jednostką naprężenia jest Nm­^-2, nazywana również Pascalem.

Angielski fizyk R. Hooke stwierdził na drodze doświadczalnej, że naprężenie ciała sprężyście odkształconego jest proporcjonalne do względnego odkształcenia tego ciała

gdzie:

K - współczynnik sprężystości zależny od właściwości materiału z którego wykonane jest ciało,

ε - odkształcenie względne.

Nas, z powodu, iż mamy do czynienia z prętami o stosunkowo dużej powierzchni przekroju, interesować będzie zginanie ciała, które możemy rozpatrywać jako równoczesne ściskanie górnej i rozciąganie dolnej powierzchni. Miarą odkształcenia jest strzałka ugięcia H (odległość między środkową warstwą pręta przed i po odkształceniu).

Z prawa Hooke’a wynika następujący wzór na wartość strzałki ugięcia dla pręta o długości l i przekroju w kształcie prostokąta o podstawie a i wysokości h.

gdzie: E - moduł Younga dla danego materiału.

1. Tabela pomiarów

Rodzaj pręta	Nr kolejny pomiaru	Długość l [m]	Krawędzie ai [m]	Wartość średnia asr [m]	Krawędzie hi [m]	Wartość średnia hsr [m]
I	1	0,34	0,02	0,02	0,005	0,005
	2		0,02		0,005
	3		0,02		0,005
II	1	0,476	0,017	0,017	0,008	0,008
	2		0,017		0,008
	3		0,017		0,008
III	1	0,483	0,012	0,012	0,012	0,012
	2		0,012		0,012
	3		0,012		0,012

Rodzaj pręta	Nr kolejny pomiaru	Obciążenie F [N]	Wskaźnik miernika [mm]	Strzałka ugięcia H [m]	Stosunek F/H [N/m]	Wartość średnia F/H [N/m]	Moduł [N/m*m]
			rosnące	malejące
I. Miedziany	1	9,81	0,12	0,22	0,00017	57705,88	42965,64
	2	19,62	0,45	0,49	0,00047	41744,68
	3	29,43	0,72	0,75	0,000735	40040,82
	4	39,24	0,98	0,99	0,000985	39636,36
	5	49,05	1,24	1,24	0,00124	39556,45
	6	58,86	1,51	1,5	0,001505	39109,63
II. Stalowy	1	9,81	0,13	0,14	0,000135	72666,67	70904,76
	2	19,62	0,27	0,27	0,00027	72666,67
	3	29,43	0,42	0,41	0,000415	70915,66
	4	39,24	0,57	0,56	0,000565	69451,33
	5	49,05	0,70	0,7	0,0007	70071,43
	6	58,86	0,84	0,85	0,000845	69656,80
III. Aluminiowy	1	9,81	0,11	0,15	0,00013	75461,54	66025,10
	2	19,62	0,27	0,31	0,00029	67655,17
	3	29,43	0,44	0,48	0,00046	63978,26
	4	39,24	0,61	0,65	0,00063	62285,71
	5	49,05	0,76	0,82	0,00079	62088,61
	6	58,86	0,9	0,92	0,00091	64681,32

1. Obliczenia

Dla pręta I :

Dla pręta II :

Dla pręta III :

Wyznaczanie modułu Young’a z wykresu:

$$E = \frac{l^{3}}{{4ah}^{3} \bullet tg\alpha} = \frac{l^{3}}{{4ah}^{3} \bullet \frac{H}{F}}$$

F = 9, 81 - przyrost siły w każdym przypadku jest taki sam

Miedź

H_sr = 0, 000271

$$E = \frac{{0,34}^{3}}{{4 \bullet 0,02 \bullet 0,005}^{3} \bullet \frac{0,000271}{9,81}} = 142276923076,\ 92\text{\ Pa}$$

Stal

H_sr = 0, 000142

$$E = \frac{{0,476}^{3}}{{4 \bullet 0,017 \bullet 0,008}^{3} \bullet \frac{0,000142}{9,81}} = 214004400335,26\ \text{Pa}$$

Aluminium

H_sr = 0, 000156

$$E = \frac{{0,483}^{3}}{{4 \bullet 0,012 \bullet 0,012}^{3} \bullet \frac{0,000156}{9,81}} = 85428115422,18\ \text{Pa}$$

1. Obliczanie błędu

$$U_{c}\left( y \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lceil \frac{\partial y}{\partial X_{i}} \bullet u(x_{i}) \right\rceil^{2}}$$

$$U_{c}\left( E \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial E}{\partial l} \bullet u(l) \right)^{2} + \ \left( \frac{\partial E}{\partial a} \bullet u(a) \right)^{2} + \left( \frac{\partial E}{\partial h} \bullet u(h) \right)^{2} + \left( \frac{\partial E}{\partial\frac{F}{H}} \bullet u\left( \frac{F}{H} \right) \right)^{2}}$$

$$\frac{\partial E}{\partial L} \bullet u(l) = \frac{{3l}^{2}}{{4 \bullet a \bullet h}^{3}} \bullet \frac{F}{H} \bullet u(l)$$

$$\frac{\partial E}{\partial a} \bullet u(a) = \frac{{- l}^{3}}{{4 \bullet a^{2} \bullet h}^{3}} \bullet \frac{F}{A} \bullet u(a)$$

$$\frac{\partial E}{\partial h} \bullet u(h) = \frac{{- 3l}^{3}}{{4 \bullet a \bullet h}^{4}} \bullet \frac{F}{A} \bullet u(h)$$

$$\frac{\partial E}{\partial\frac{F}{H}} \bullet u\left( \frac{F}{H} \right) = \frac{l^{3}}{{4 \bullet a \bullet h}^{3}} \bullet u\left( \frac{F}{H} \right)$$

miedź

u(l) = 1 • 10⁻⁵[mm]

u(a) = 3, 33 • 10⁻⁵[mm]

u(h) = 6, 67 • 10⁻⁵[mm]

$$u\left( \frac{F}{H} \right) = 5401,49\ \left\lfloor \frac{N}{m} \right\rfloor$$

U_c(E) = 11 383 051 753 Pa

stal

u(l) = 1 • 10⁻⁵[mm]

u(a) = 10 • 10⁻⁵[mm]

u(h) = 6, 67 • 10⁻⁵[mm]

$$u\left( \frac{F}{H} \right) = 1927,70\ \left\lfloor \frac{N}{m} \right\rfloor$$

U_c(E) = 18 479 905 364 Pa

aluminium

u(l) = 1 • 10⁻⁵[mm]

u(a) = 10 • 10⁻⁵[mm]

u(h) = 6, 67 • 10⁻⁵[mm]

$$u\left( \frac{F}{H} \right) = 1353,06\ \left\lfloor \frac{N}{m} \right\rfloor$$

U_c(E) = 2 205 769 718 Pa

	Wartość tablicowa [GPa]	Ze wzoru [GPa]	Z wykresu [GPa]	Niepewność [GPa]
miedź	130	168,87	142,27	11,383
stal	200	219,64	214	18,48
aluminium	70	89,69	85,42	2,205

1. Wnioski

W ćwiczeniu należało wyznaczyć moduły Younga dla trzech różnych prętów. Wielkości modułu Young’a zmierzone dla poszczególnych prętów wskazują na to, że były wykonane one z metalu. Stosunkowo duże różnice w wynikach modułów miedzi oraz aluminium mogą wynikać z błędy przy odczytywaniu wskazań miernika wychylenia, a były one bardzo duże, ponieważ nawet najlżejsza ingerencja w układ pomiarowy (naciśnięcie na blat stołu itp.) powodowała zmiany w wychyleniu miernika.