4.Obliczenia

1.)Rysujemy wykres zależności ε=f(T)z zaznaczonymi niepewosciami u(ε) i u(T)

Niepewność standardowa u(T)

∆T=1K-wynikajace z podzialki elementarnej

$$u(T) = \frac{T}{\sqrt{3}}\lbrack K\rbrack$$

$$u\left( T \right) = \frac{1k}{\sqrt{3}} = 0,57735K$$

Niepewność standardowa u(ε)

∆ε=0,01mV-wynikajace z podziałki elementarnej

$$u(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}\lbrack mV\rbrack$$

$$u\left( \varepsilon \right) = \frac{0,01mV}{\sqrt{3}} = 0,005774mV$$

2.)Metoda najmniejszych kwadratów dopasowujemy prosta ε=B+A*T do uzyskanych wyników a także na jej podstawie wyznaczamy wartość współczynnika α

Zależności z których obliczamy współczynniki prostej ε=B+A*T

$$A = \frac{1}{D}\sum_{i = 1}^{n}{\varepsilon_{i}(T_{i} - \overset{\overline{}}{T})}$$

A - współczynnik prostej

ε_i - sila termoelektryczna kolejnych pomiarów

T_i-temperatura wody z grzejnikiem kolejnych pomiarów

$\overset{\overline{}}{T}$-srednia temperatura wody z grzejnikiem

n- ilość wykonanych pomiarów

$$A = \frac{1}{1888,25s^{2}}\left( 0,2mV\left( 278K - 325,5K \right) + \ldots + 3,96mV\left( 373K - 325,5K \right) \right) = 0,035713$$

$$D = \sum_{i = 1}^{n}{(T_{i} - \overset{\overline{}}{T})}^{2}\lbrack s^{2}\rbrack$$

D = (278K−325,5K)² + (283K−325,5K)² + … + (373K−325,5K)² = 1888, 25s²

$$B = \overset{\overline{}}{\varepsilon} - A*\overset{\overline{}}{T}$$

B – współczynnik prostej

$\overset{\overline{}}{\varepsilon}$- srednia sila termoelektryczna

B = 2, 1mV − 0, 035713 * 325, 5K = −9, 52448

$$\overset{\overline{}}{T} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}T_{i}\lbrack K\rbrack$$

$$\overset{\overline{}}{T} = \frac{1}{20}(278K + 283K + 288K + 293K + 298K + 303K + \ldots + 363K + 368K + 373K = 325,5K$$

$$\overset{\overline{}}{\varepsilon} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{\varepsilon_{i}\lbrack mV\rbrack}$$

$$\overset{\overline{}}{\varepsilon} = \frac{1}{20}(0,2mV + 0,37mV + 0,57mV + \ldots + 3,62mV + 3,82mV + 3,96mV + = 2,1mV$$

Zależność z ktorej obliczamy współczynnik termoelektryczny α

ε = α(T₁−T₀) [V]

$$\alpha = \frac{\varepsilon}{(T_{1} - T_{0})}\ \lbrack\frac{V}{K\rbrack}$$

Przykladowe obliczenia (dla 1 i 2 pomiaru)

$$\alpha_{1} = \frac{0,2mV}{(278K - 273K)} = 0,04mV/K$$

$$\alpha_{2} = \frac{0,37mV}{(283K - 273K)} = 0,037mV/K$$

3.)wyznaczamy odchylenie standardowe u(A) i u(B) z następujących zależności

$$u\left( A \right) = \frac{S_{y}}{\sqrt{D}}$$

$$u\left( B \right) = S_{y}*\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{{\overset{\overline{}}{T}}^{2}}{D}}$$

$$S_{y} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{({\varepsilon_{i} - ((AT}_{i} + B)}^{2}}{n - 2}}$$

$$S_{y} = \sqrt{\frac{{(0,2mV - (0,035713*278K - 9,52448)}^{2} + \ldots{(3,96mV - (0,035713*373K - 9,52448)}^{2}}{18}} = 0,149801811$$

$$u\left( A \right) = \frac{0,149801811}{\sqrt{1888,25s^{2}}} = 0,00109$$

A=0, 035713 ± 0, 00109

$$u\left( B \right) = 0,149801811*\sqrt{\frac{1}{20} + \frac{105950,25K^{2}}{1888,25s^{2}}} = 0,848088$$

B=−9, 52448 ± 0, 848088

4.)wyznaczamy niepewność bezwzględną u(α) oraz względną $\frac{\mathbf{u(\alpha)}}{\mathbf{\alpha}}$

Niepewność bezwzgledna

$$u\left( \alpha \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(\alpha_{i} - \overset{\overline{}}{\alpha})}^{2}}{n(n - 1)}}\ \ \lbrack mV/K\rbrack$$

Średnia wartość współczynnika termoelektrycznego

$$\overset{\overline{}}{\alpha} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{\alpha_{i}\ \ \lbrack V/K\rbrack}$$

$$\overset{\overline{}}{\alpha} = \frac{1}{20}(0,04mV/K + 0,037V/K + 0,038V/K + .. + 0,0402mV/K + 0,0402mV/K + 0,039mV/K = 0,0396mV/K$$

$$u\left( \alpha \right) = \sqrt{\frac{{(0,04mV/K - 0,0396mV/K)}^{2} + \ldots + {(0,039mV/K - 0,0396mV/K)}^{2}}{380}} = 0,000214692mV/K$$

α = 0, 0396 mV/K ∓ 0, 00021492 mV/K

Niepewność względna

$$\frac{u(\alpha)}{\overset{\overline{}}{\alpha}} = \frac{0,000214692mV/K}{0,0396mV/K} = 0,00541302$$

5.Wnioski

Celem ćwiczenia było cechowanie termopary. Z przeprowadzonych pomiarów otrzymaliśmy współczynnik temperaturowy o średniej wartości 0,0396 mV/K dzięki temu możemy stwierdzić ze rodzajem termopary jest Cu – Au+2.11%Co.Bledy pomiarowe wynikały m.in. z niedokładności przyrządów pomiarowych

3.Tabela z wynikami pomiarowymi

lp	T0	T1	T1-T0	ε	α
-	[K]	[K]	[K]	[mV]	[mV/K]
1	273	278	5	0,2	0,04
2		283	10	0,37	0,037
3		288	15	0,57	0,038
4		293	20	0,77	0,0385
5		298	25	1	0,04
6		303	30	1,17	0,039
7		308	35	1,37	0,039143
8		313	40	1,6	0,04
9		318	45	1,78	0,039556
10		323	50	1,97	0,0394
11		328	55	2,18	0,039636
12		333	60	2,4	0,04
13		338	65	2,64	0,040615
14		343	70	2,86	0,040857
15		348	75	3,04	0,040533
16		353	80	3,24	0,0405
17		358	85	3,44	0,040471
18		363	90	3,62	0,040222
19		368	95	3,82	0,040211
20		373	100	3,96	0,0396

ε- sila termoelektryczna

T₀- stala temperatura wody z lodem

T₁-temperatura wody z grzejnikiem

α- wspolczynnik termoelektryczny