Nr ćwicz: 108	Data: 10.10.2011	Imię i Nazwisko: Eryk Masiak	Wydział: Elektryczny	Semestr: I	grupa EN-2 nr lab. 2
Prowadzący: dr Ewa Mykowska	Przygotowanie:	Wykonanie:	Ocena ostat.:

Temat: Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia

1. Podstawy teoretyczne

W czasie działania siły na podłużny pręt w kierunku prostopadłym do jego długości, doznaje on ugięcia. Ugięcie to oznaczamy przy pomocy tzw. strzałki ugięcia S, która jest proporcjonalna do działającej siły F, jak również zależy ona do wymiarów geometrycznych pręta, sposobu mocowania i materiału z którego go wykonano.

Gdy na umocowany jednostronnie pręt działa siła to górne jego warstwy ulegają wydłużeniu, natomiast dolne - skróceniu (są ściskane).Jeżeli nie działają żadne siły przekroje prostopadłe pręta są równoległe, natomiast po przyłożeniu siły tworzą pewien kąt ϕ. Jeżeli weźmiemy pod uwagę element pręta o długości Δx, grubości Δy i szerokości b, znajdujący się w odległości x od krawędzi mocowania pręta i na wysokości y powyżej jego warstwy środkowej, to zauważymy, że na skutek ugięcia pręta badana warstwa uległa wydłużeniu o Δϕ. Zgodnie z prawem Hooke’a wydłużenie jest proporcjonalne do siły i długości początkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju.

(1) gdzie: F - działająca siła, E - moduł Younga

Taka sama siła jak , lecz o przeciwnym zwrocie działa na warstwę elementarną położoną symetrycznie poniżej warstwy neutralnej N .Moment siły względem warstwy N wynosi:

(2)

Całkowity moment siły działający na wszystkie warstwy obliczymy całkując równanie (1) względem y po całej grubości pręta

(3)

Oznaczmy

(4)

Wtedy otrzymamy:

(5)

Powyższe wyrażenie otrzymaliśmy rozpatrując odkształcenie pręta. Bezpośrednia przyczyna tego ugięcia jest siła F. Moment tej siły wynosi względem przekroju 2 F(l-(x+Δx)) w ogólności przy zaniechaniu Δx :

Μ = ( l - x )F (6)

Kąt ϕ jest również zawarty pomiędzy stycznymi do pręta w punktach, gdzie przekroje 1 i 2 przecinają górną powierzchnię. Możemy więc napisać

(7)

Gdy uwzględnimy powyższy wniosek w równaniu (5) oraz porównamy równania (5) i (6) otrzymamy elementarną strzałkę ugięcia

Jeżeli teraz, że przekrój naszego pręta jest prostokątem o wysokości h i szerokości b to H po scałkowaniu równania (4) daje:

Gdy przekrój pręta jest kołem, wtedy otrzymujemy:

Podstawiając odpowiednio H do otrzymanego wzoru (8), otrzymamy równania na strzałkę całkowitą dla pręta jednostronnie umocowanego (o przekroju prostokąta i koła):

Po odpowiednim przekształceniu powyższych równań otrzymamy odpowiadające im wzory na strzałkę całkowitą dla pręta podpartego dwustronnie i obciążonego na środku. Następnie przekształcimy je do postaci nam potrzebnej. W ostateczności otrzymamy następujące wzory na dzięki którym będziemy mogli wyznaczyć moduł Younga:

2. Wyniki pomiarów

Masy obciążników

L.P.	m[kg]
1	0,188
2	0,185
3	0,471
4	0,475
5	0,480

Dane:

-długość prętów: 0,652m

1) Pręt o przekroju kwadratowym

grubość: 8,35 mm = 0,00835±0,00001 m

wysokość: 8,35 mm = 0,00835±0,00001 m

L.P.	Obciążenie m [kg]	Wysokość h [m]	Δh [m]	Strzałka ΔS [m]
1	0	0,60682	0,00001	0
2	1,81485	0,60638	0,00001	0,00044
3	3,65913	0,60599	0,00001	0,00083
4	4,62051	0,60573	0,00001	0,00109
5	9,32931	0,60466	0,00001	0,00216

Współczynnik nachylenia a₁=0,000253114

Błąd Δa₁ = 0,00000759124

2) Pręt o przekroju kołowym, kolor srebrny

promień 4,2 mm = 0,0042±0,00001 m

L.P.	Obciążenie [N]	Wysokość h [m]	Δh [m]	Strzałka ΔS [m]
1	0	0,60514	0,00001	0
2	1,81485	0,60456	0,00001	0,00058
3	3,65913	0,60376	0,00001	0,00128
4	4,62051	0,60337	0,00001	0,00177
5	9,32931	0,60142	0,00001	0,00372

Współczynnik nachylenia a₂= 0,000404478

Błąd Δa₂= 0,0000129826

3) Pręt o przekroju kołowym, kolor brązowy

średnica 4,18 mm = 0,00418±0,00001 m

L.P.	Obciążenie m [kg]	Wysokość h [m]	Δh [m]	Strzałka ΔS [m]
1	0	0,60411	0,00001	0
2	1,81485	0,60366	0,00001	0,00045
3	3,65913	0,60311	0,00001	0,00100
4	4,62051	0,60289	0,00001	0,00125
5	9,32931	0,60176	0,00001	0,00235

Współczynnik a₃= 0,000253114

Błąd Δa₃= 0,00000759124

3. Obliczenia

Moduł Younga dla prętów obliczamy ze wzorów:

$E = \frac{l^{3}}{4ba_{\text{pr}}h^{3}}$ - dla pręta o przekroju prostokątnym`

$E = \frac{l^{3}}{12\Pi a_{k}r^{4}}$ - dla pręta o przekroju kołowym

Numer pręta	Moduł Young'a E *10^10 [N/m^2]
1	5,63145641
2	5,84143572
3	9,51459647

4. Dyskusja błędów

Pręt nr.1

$\frac{\text{ΔE}}{E}$=$\left| 3\frac{\Delta l}{l} \right| + \left| \frac{\Delta a_{\text{pr}}}{a_{\text{pr}}} \right| + \left| 3\frac{\Delta h}{h} \right| + \left| \frac{\Delta b}{b} \right|$ = 0,0395818064

ΔE= 0,2229032176 *10¹⁰ [N/m²]

Moduł Young'a dla 1. pręta: E=[5,63145641 ±0,2229032176] *10¹⁰ [N/m²]

Pręt nr. 2

$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{\text{ΔE}}{E}$=$\left| 3\frac{\Delta l}{l} \right| + \left| \frac{\Delta a_{k}}{a_{k}} \right| + \left| 4\frac{\Delta r}{r} \right|$ = 0,04622220867

ΔE=0,27000406078*10¹⁰ [N/m²]

Moduł Young'a dla 2. pręta: E= [5,84143572± 0,27000406078] *10¹⁰ [N/m²]

Pręt nr. 3

$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{\text{ΔE}}{E}$=$\left| 3\frac{\Delta l}{l} \right| + \left| \frac{\Delta a_{k}}{a_{k}} \right| + \left| 4\frac{\Delta r}{r} \right|$= 0,04626777714

ΔE=0,44021922907*10¹⁰ [N/m²]

Moduł Young'a dla 3. pręta: E= [9,51459647±0,44021922907]*10¹⁰ [N/m²]

5. Wnioski

Obserwując wyniki doświadczenia można stwierdzić, że im mniejszy moduł Young'a materiału, tym bardziej podatny na zmiany kształtu pod wpływem przyłożonej siły jest produkt z niego wykonany. Duża wartość błędów pomiarowych jest spowodowana niedokładnymi odczytami i niedoskonałą metodą ustawiania prętów na podporach oraz warunkami w laboratorium. Pręty numer 1 i 2 są wykonane z cynku, natomiast pręt numer 3 jest wykonany z miedzi.