Zadanie 1

Oblicz granicę ciągu

a(n) = sqrt( 2*(n^2) + 3*n ) - sqrt( 2*(n^2) + 5 ) .

odp: 3*sqrt(2)/4

Zadanie 2

Oblicz granicę ciągu

b(n) = ( 3*n + sqrt( 2 + (n^4) ) )/( (n^2) + sqrt( 2*(n^4) + 3 ) ) .

odp: sqrt(2) - 1

Zadanie 3

Oblicz granicę ciągu

c(n) = (( 2*n + 1 )/( 2*n + 4 ))^( 5*n - 2 ) .

odp: exp( -15/2 )

Zadanie 4

Znajdź wszystkie asymptoty funkcji

f(x) = ( 5 + 3*(2^x) )/( 8 - (2^x) ) .

odp: pionowa x = 3 obustronna, pozioma y = -3 prawostronna, pozioma y = 5/8 lewostronna

Zadanie 5

Znajdź wszystkie asymptoty funkcji

f(x) = ( 3*(x^2) + 6 )/( (x^2) + x - 6 ) .

odp: pionowa x = -3 obustronna, pionowa x = 2 obustronna, pozioma y = 3 obustronna

Zadanie 6

Znajdź wszystkie asymptoty funkcji

f(x) = ( 6*(x^2) - x + 3 )/( 2*x + 1 ) .

odp: pionowa x = -1/2 obustronna, ukośna y = 3*x -2 obustronna

Zadanie 7

Napisz równanie prostej stycznej do krzywej

y = ( sqrt(x) - 1 )^3

w punkcie (9,8)

odp: y = 2*x - 10

Zadanie 8

Napisz równanie prostej prostopadłej do krzywej

y = 4 - sqrt( (x^3) - 7 ) w punkcie (2,3)

odp: y = (1/6)*x + (8/3))

Zadanie 9

Znajdź przedziały monotoniczności i extrema funkcji

f(x) = ( (x^2) - 6 )*exp(2*x)

odp: ( -∞,-3 )↑ , max=f(-3)=3*exp(-6) , ( -3,2 )↓ , min=f(2)=-2*exp(4) , ( 2,∞)↑

Zadanie 10

Znajdź przedziały monotoniczności i extrema funkcji

f(x) = ( (x^2) + 8 )/( x + 1 )

odp: ( -∞,-4 )↑ , max=f(-4)=-8 , ( -4,-1 )↓ , ( -1,2 )↓ , min=f(2)=4 , ( 2,∞ )↑

Zadanie 11

Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji

g(x) = ( (x^2) - 7 )*exp(-x)

odp: ( -∞,-1 )∪ , ( -1,5 )∩ , ( 5,∞ )∪ , punkty przegięcia x1=-1, x2=5

Zadanie 12

Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji

g(x) = ( (x^2) + 3 )^(1/3)

odp: ( -∞,-3 )∩ , ( -3,3 )∪ , ( 3,∞ )∩ , punkty przegięcia x1=-3, x2=3

Zadanie 13

Wielomian W(x) ma trzy extrema lokalne.

Minimum w punkcie x1=-1, maximum w x2=1, minimum w x3=4.

Podaj przykład takiego wielomianu W(x).

odp: np W(x) = (1/4)*(x^4) - (4/3)*(x^3) - (1/2)*(x^2) + 4*x

Zadanie 14

Wielomian W(x) ma dwa extrema lokalne.

W punkcie x1=-1 minimum o wartości 0, w x2=2 maximum o wartości 3.

Podaj przykład takiego wielomianu W(x).

odp: np W(x) = ( -2*(x^3) + 3*(x^2) + 12*x + 7 )/9

Zadanie 15

Oblicz ∫ (x^2)*exp(-3*x) dx

odp: exp(-3*x)*( (-1/3)*(x^2) - (2/9)*x - (2/27) ) + C

Zadanie 16

Oblicz ∫ (x^2)*cos(5*x) dx

odp: ( (1/5)*(x^2) - (2/125))*sin(5*x) + (2/25)*cos(5*x) + C

Zadanie 17

Oblicz ∫ ( x + 3 )/( (x^2) - 4*x + 8 ) dx

odp: (1/2)*ln( (x^2) - 4*x + 8 ) + (5/2)*arctg( (x/2) - 1 ) + C

Zadanie 18

Oblicz ∫ (x^2)/( (x^2) + 4*x + 4 ) dx

odp: x - 4*ln( x + 2 ) - 2/( x + 2 ) + C

Zadanie 19

Oblicz ∫ (x^2)/( (x^2) - 2*x - 3 ) dx

odp: x + (9/4)*ln( x - 3 ) - (1/4)*ln( x + 1 ) + C

Zadanie 20

Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi

y = (x^2) + 2 , y = 2*x + 5

odp: 32/3

Zadanie 21

Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi

x * y = 4 , x + y = 5

odp: 7.5 - 4*ln(4)

Zadanie 22

Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi Ox figury

A = { (x,y): 0 < x < 1 , 0 < y < x + sqrt(x) }

odp: V = 49^π/30

Zadanie 23

Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi Oy figury

A = { (x,y): 0 < x < π/2 , 0 < y < cos(x) }

odp: V = π*( π - 2 )

Uwaga :

x^y = x do potęgi y

sqrt(x) = (x)^(1/2)

exp(x) = e^(x)

ln(x) = logarytm naturalny ( czyli o podstawie e )

log(x) = logarytm dziesiętny ( czyli o podstawie 10 )