PODSTAWY AUTOMATYKI

Sprawozdanie – Laboratorium nr1

Rozwiązywanie równań różniczkowych
z niezerowymi warunkami początkowymi

Tomasz Momot
Gr 25 Rok IID
WIMIR

Przy rozwiązywaniu zadań wybrałem przykład f). z zadania 3 z instrukcji do laboratorium 1

$$\frac{d^{2}y}{\text{dx}^{2}} + 4\frac{\text{dy}}{\text{dx}} + 13y = 0,\ dla\ wartosci\ poczatkowych\text{\ \ \ y}\left( 0 \right) = 1,\ \dot{y}(0) = 0$$

Zad 1:

Tekst źródłowy programu rozwiązującego równania różniczkowe wykorzystujący funkcję dslove().

syms x y;

y = dsolve('D2x + 4*Dx + 13*x=0' , 'x(0)=1' , 'Dx(0)=0');

pretty(y);

t=0:0.01:10;

w=subs(y);

plot(t,w,'r-');

xlabel('Czas[s]');

ylabel('Amplituda sygnalu');

title('Wykres rozwiazania rownania rozniczkowego');

grid;

Wynik programu:

rys1. Wykres rozwiązania równania różniczkowego – dslove()

Zad2:

Tekst źródłowy programu rozwiązującego równania różniczkowe wykorzystujący funkcję ode(45).

Plik funkcja.m

function xdot=funkcja(t,x)

xdot=zeros(2,1);

xdot(1)=x(2);

xdot(2)=(-13*x(1)-4*x(2));

Plik rozw2.m

function rozw2

t0=0;

clc

disp('Funkcja rozwiazuje rownanie rozniczkowe zwyczajne metoda Rungego - Kutty');

disp('i podaje jego interpretacje graficzna: Postac rownania: ');

disp('x``+ 4*x`+ 14*x = 0');

x01=input ('Podaj wartosc x01 = ');

x02=input ('Podaj wartosc x02 = ');

tk=input ('Podaj czas symulacji tk = ');

x0=[x01 x02];

[t,x]=ode45('funkcja',t0,tk,x0,0.001,0);

plot(t,x(:,1),'g-');

xlabel('Czas [s]');

ylabel('Amplituda sygnalu');

title('Wykres rozwiazania rownania rozniczkowego');

grid;

Wynik programu:
rys2. Wykres rozwiązania równania różniczkowego – ode(45)

Zad3:

Schemat blokowy programu Simulink który umożliwia rozwiązywanie równań różniczkowych 2-giego rzędu:

rys 3. Schemat układu w Simulink, symulującego rozwiązanie różniczkowe.

Wynik programu:

Rys4. Wykres graficzny rozwiązania równania różniczkowego w Simulink .

Porównanie i wnioski:

W każdym zadaniu stosowane metody różniły się od siebie znacząco, metoda z zadania 3, polegała na ułożeniu schematu blokowego w Simulik’u który miał symulować rozwiązanie równania różniczkowego. Jak możemy zauważyć na wykresach każdej z metod wykresy nie różnią się od siebie, co świadczy o poprawnym rozwiązaniu równania, każdą z metod.

Wnioskując możemy z pewnością powiedzieć ze trzy różne metody dają ten sam poprawny wynik, a więc możemy wybrać najprostszą lub najbardziej przyjemną dla siebie metodę, co da nam komfort i łatwość w rozwiązywaniu równań różniczkowych.