Politechnika Warszawska

Wydział Geodezji i Kartografii

ĆWICZENIE 1

Projekt konstrukcji pomiarowej do wyznaczenia odchylenia osi komina od pionu.

Data oddania: 18.11.2014 r.

Michał Grzyb, Adam Góra

Specjalizacja GIP

Semestr: II

Rok akademicki: 2014/2015

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było zaprojektowanie konstrukcji pomiarowej do w wyznaczenia poziomego odchylenia punktu G (oś komina w płaszczyźnie górnej) od linii pionowej przechodzącej przez punkt D (oś komina w płaszczyźnie dolnej). Przyjęliśmy wysokość komina równą 180 m, a położenie punktu G wewnątrz okręgu o promieniu 11 mm wyznaczono z prawdopodobieństwem P=0,95.

Zadanie wykonano przy zastosowaniu dwóch podejść:

1. Podejście ścisłe polegające na przeprowadzeniu procesu wyrównania metodą pośredniczącą.

2. Podejście przybliżone oparte na analizie dokładności przy wykorzystaniu wstęg wahań.

1. Wykonanie ćwiczenia:

   1. Podejście ścisłe.

Sprzęt pomiarowy:

Do wykonania pomiarów zaproponowano tachimetr TOPCON ES-102:

• powiększenie lunety: 30x

• dokładność pomiaru odległości: 2mm + 2 ppm

• dokładność odczytu kąta: 2”

Metoda pomiaru:

Zaproponowano pomiar odległości oraz kątów w 1 serii. Przyjęto, że kierunek na oś komina jest średnią z kierunków na jego tworzące. Założono również średni błąd centrowania pionownikiem optycznym wynoszący 1 mm.

Sieć pomiarowa:

W celu wykonania obserwacji, zaproponowano konstrukcję pomiarową w kształcie trójkąta równobocznego, w którego środku ciężkości znajduje się komin, a w wierzchołkach znajdują się stanowiska pomiarowe. Przyjęto lokalny układ współrzędnych.

• długość boku osnowy: 371,552m

• odległość pozioma od stanowiska do punktu D: 214,516m

• odległość skośna od stanowiska do punktu G: 280,030m

• kąt horyzontalny obserwacji punktu G ze stanowisk: 40^o

Średni błąd położenia punktu G:

Wielkość dopuszczalnej odchyłki (wyznaczonej pozycji punktu G od jego prawdziwej pozycji) została wyznaczona poprzez okrąg o promieniu r = 11 mm.

Aby wyznaczyć odchyłki graniczne korzystamy z zależności:

$r = \sqrt{\Delta{X'}^{2} + \Delta{Y'}^{2}}$.

Zakładając, że ΔX^′ = ΔY^′, otrzymujemy:

$\Delta X^{'} = \Delta Y^{'} = \frac{r}{\sqrt{2}} = 7,8\ mm$.

Obliczone wartości przyrównano do błędu granicznego wyznaczenia położenia punktu G:

ΔX^′ = M_x^′ oraz ΔY^′ = M_y^′.

Pomiędzy błędem granicznym a odpowiadającym mu błędem średnim istnieje zależność:

M_x^′ = r^′ • m_x oraz M_y^′ = r^′ • m_y,

gdzie r^′ to współczynnik dla rozkładu zmiennej dwuwymiarowej, który dla prawdopodobieństwa P = 0, 95 przyjmuje wartość r^′ = 2, 5.

Przekształcając powyższe wzory otrzymujemy wartości dopuszczalnych błędów średnich położenia punktu G:

$$m_{x} = \frac{M_{x}^{'}}{r^{'}} = 3,1\ mm\ ;\ m_{y} = \frac{M_{y}^{'}}{r^{'}} = 3,1\ mm$$

Ostateczny, średni błąd położenia punktu G, obliczony ze wzoru:

$m_{p} = \sqrt{m_{x}^{2} + m_{y}^{2}} = 4,4\ mm$.

Błędy pomiarowe

1. Błąd średni celowania

$$m_{\text{cel}} = \frac{60"}{G} = \frac{60"}{30} = 2"$$

G − powiekszenie lunety

$$60" - zdolnosc\ rozdzielcza\ ludzkiego\ oka$$

Za błąd średni celowania na komin przyjęto podwójną wartość powyższego błędu, tj. $m_{cel(K)} = 2 \bullet m_{\text{cel}} = 4"$

1. Średni błąd odczytu kąta

$$m_{\text{odcz}} = 2"$$

1. Średni błąd centrowania spowodowany liniowymi błędami średnimi centrowania instrumentu i sygnałów

$$m_{\text{centr}} = \sqrt{\frac{1}{2l^{2}} \bullet e_{\text{sl}}^{2} + \frac{1}{2p^{2}} \bullet e_{\text{sp}}^{2} + \frac{1}{2p^{2}l^{2}}\left\lbrack e_{t}^{2} \bullet \left( p^{2} + l^{2} - 2pl\cos\beta \right) \right\rbrack}$$

l − dlugosc lewego ramienia

p − dlugosc prawego ramienia

e_sl e_sp −  blad centrowania lewego/prawego sygnalu

e_t −  blad centrowania stanowiska

β − kat poziomy

Wyznaczone błędy centrowania:

• gdy ramionami kąta są kierunki na punkty osnowy $m_{\text{centr}}^{\text{osn}} = 0,56"$

• gdy jedno z ramion kąta jest kierunkiem na osnowę, a drugie kierunkiem na punkt D $m_{\text{centr}}^{D} = 0,56"$

e_sl = 0

• gdy jedno z ramion kąta jest kierunkiem na osnowę, a drugie kierunkiem na punkt G $m_{\text{centr}}^{G} = 0,68"$

e_sl = 0

1. Średni błąd kąta w S seriach

$$m_{\alpha} = \sqrt{\frac{m_{\text{cel}}^{2} + m_{\text{odcz}}^{2}}{S} + m_{\text{centr}}^{2}}$$

• Gdy mierzymy kąt między bokiem osnowy a osią komina:

m_cel² + m_odcz² = m_α′

$$m_{\alpha} = \sqrt{\frac{{m_{\alpha}'}^{2}}{s} + m_{\text{centr}}^{2}}$$

α^′ = K_os − K_osn

m_α′² = m_Kos² + m_Kosn²

$$m_{K_{\text{os}}}^{2} = \frac{m_{K_{T}}^{2}}{2}$$

$$m_{K_{T}}^{2} = \frac{{m_{K_{T}}^{I}}^{2}}{2}$$

$$m_{K_{\text{os}}}^{2} = \frac{{m_{K_{T}}^{I}}^{2}}{4}$$

$$m_{K_{\text{osn}}}^{2} = \frac{{m_{K_{\text{osn}}}^{I}}^{2}}{2}$$

$${m_{\alpha}'}^{2} = \frac{{m_{K_{T}}^{I}}^{2}}{4} + \frac{{m_{K_{\text{osn}}}^{I}}^{2}}{2}$$

$$m_{\alpha} = \sqrt{\frac{\frac{{m_{K_{T}}^{I}}^{2}}{4} + \frac{{m_{K_{\text{osn}}}^{I}}^{2}}{2}}{s} + m_{\text{centr}}^{2}}$$

• Gdy mierzymy kąt między bokami osnowy:

$$m_{\alpha} = \sqrt{\frac{{m_{K_{\text{osn}}}^{I}}^{2}}{s} + m_{\text{centr}}^{2}}$$

gdzie:

$$m_{K_{T}}^{I} = \sqrt{m_{\text{cel}}^{2} + m_{\text{odcz}}^{2}} = 4,47"$$

$$m_{K_{\text{osn}}}^{I} = \sqrt{m_{\text{cel}}^{2} + m_{\text{odcz}}^{2}} = 2,82"$$

Wyznaczone błędy kątów:

• $m_{\alpha}^{\text{osn}} = 2,91"$

• $m_{\alpha}^{D} = 3,05"$

• $m_{\alpha}^{G} = 3,05"$

  1. Średni błąd pomiaru odległości:

m_d = 0, 002 + 2 * 10⁻⁶ * d

$$m_{d_{p}} = \sqrt{m_{d}^{2} + 2*m_{e}^{2}}$$

m_d = 2, 74mm

Analiza dokładności

Do wykonania analizy dokładności przyjęto następujące warunki:

• Stałość położenia punktu D (zerowy błąd położenia).

• Stałość azymutu 1 – D.

Współczynniki równań obserwacyjnych (długości):

Nr	P	K	ΔX [m]	ΔY [m]	d [m]	AP − K []	sinA	cosA	σd [mm]
1	1	2	0,000	371,552	371,552	90,0000	1,00	0,00	2,74
2	2	3	321,774	-185,776	371,552	330,0000	-0,50	0,87	2,74
3	3	1	-321,774	-185,776	371,552	210,0000	-0,50	-0,87	2,74

Współczynniki równań obserwacyjnych (kąty):

Nr	C	L	P	AL	BL	AP	BP	$$\sigma_{\beta}\ \lbrack"\rbrack$$
4	1	D	2	480,769	832,715	0,000	555,144	3,05
5	1	3	D	480,768	277,571	480,769	832,715	3,05
6	1	G	2	480,769	832,715	0,000	555,144	3,05
7	1	3	G	480,768	277,571	480,769	832,715	3,05
8	2	1	D	0,000	-555,144	480,769	-832,715	3,05
9	2	D	3	480,769	-832,715	480,768	-277,571	3,05
10	2	1	G	0,000	-555,144	480,769	-832,715	3,05
11	2	G	3	480,769	-832,715	480,768	-277,571	3,05
12	3	D	1	-961,536	0,000	-480,768	-277,571	3,05
13	3	2	D	-480,768	277,571	-961,536	0,000	3,05
14	3	G	1	-961,536	0,000	-480,768	-277,571	3,05
15	3	2	G	-480,768	277,571	-961,536	0,000	3,05
16	1	3	2	480,768	277,571	0,000	555,144	2,91
17	2	1	3	0,000	-555,144	480,768	-277,571	2,91
18	3	2	1	-480,768	277,571	-480,768	-277,571	2,91

Macierz współczynników a

a
Nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

Zrównoważona macierz współczynników A

A
Nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

A^TA	S^T
LP	dx1
1	0,320
2	0,000
3	0,039
4	0,105
5	-0,110
6	-0,191
7	-0,124
8	0,043
9	-0,124
10	0,043
S	0,000
	0,000
	832,715

S – macierz warunków

(A^TA)^-1	S^T
LP	dx1
1	1,414
2	2,449
3	0,682
4	1,302
5	0,787
6	1,242
7	0,000
8	0,000
9	0,839
10	1,453
S	1,000
	0,000
	0,001

Wyznaczone błędy położenia

Punkt	mx [mm]	my [mm]	mp [mm]
1	1,19	2,06	2,38
2	3,39	2,17	4,03
3	2,38	3,25	4,03
D	0,00	0,00	0,00
G	2,6	2,6	3,7

Podsumowanie

Błąd położenia punktu G wynoszący m_p = 3, 7mm spełnia założone wymagania dokładnościowe m_p ≤ 4, 4 [mm]. Można tym samym stwierdzić, iż proponowana konstrukcja pomiarowa oraz wykorzystany sprzęt są wystarczające do poprawnego wykonania tego zadania.

Zalecenia wykonawcze

Sprzęt pomiarowy:

Tachimetr TOPCON ES-102 o parametrach:

• powiększenie lunety: 30x

• dokładność pomiaru odległości: 2mm + 2 ppm

• dokładność odczytu kąta: 2”

Pionownik optyczny pozwalający na centrowanie nad punktem z dokładnością 1 mm.

Sieć pomiarowa:

W celu wykonania obserwacji, zaleca się założenie konstrukcji pomiarowej w kształcie trójkąta równobocznego, w którego środku ciężkości znajduje się komin, a w wierzchołkach znajdują się stanowiska pomiarowe. Zaleca się przyjęcie lokalnego układu współrzędnych, gdzie:

• długość boku osnowy: 371,552m

• odległość pozioma od stanowiska do punktu D: 214,516m

• odległość skośna od stanowiska do punktu G: 280,030m

• kąt horyzontalny obserwacji punktu G ze stanowisk: 40^o

Szkic sieci pomiarowej:

Metoda pomiaru:

Pomiar odległości oraz kątów wykonujemy w 1 serii (kierunek na oś komina przyjmujemy jako średnią z kierunków na obie tworzące).

Wykonujemy następujące obserwacje:

Nr	C	L	P
1	1	2
2	2	3
3	3	1
4	1	D	2
5	1	3	D
6	1	G	2
7	1	3	G
8	2	1	D
9	2	D	3
10	2	1	G
11	2	G	3
12	3	D	1
13	3	2	D
14	3	G	1
15	3	2	G
16	1	3	2
17	2	1	3
18	3	2	1

2. Podejście przybliżone.

Określenie dopuszczalnego błędu położenia punktu G względem punktu D

Zgodnie z pierwszym podejściem ostatecznie położenie punktu G musi zostać wyznaczone z błędem średnim wynoszącym:

$$m_{p} = \sqrt{m_{x}^{2} + m_{y}^{2}} = 4,4\ mm$$

Konstrukcja pomiarowa

Położenie punktu G względem punktu D wyznaczamy z trzech niezależnych konstrukcji(2 stanowiska):

• 1,2

• 2,3

• 1,3

Każda z nich ma taką samą geometrię. Stanowiska są rozmieszczone w odległości od komina zapewniającej celowanie do jego górnych tworzących pod kątem horyzontalnym 40^o, co daje nam odległość 214,516 m. Celowe do osi komina dla każdej konstrukcji przecinają się pod kątem 120^o. Tak więc mamy do czynienia z identycznym rozmieszczeniem stanowisk jak w podejściu pierwszym. Położenie (wychylenie) punktu G względem punktu D jest średnią z trzech wyznaczeń, czyli:

w = (x, y) – wychylenie punktu G otrzymane z jednej konstrukcji

m_x = m_y = m

$m_{w} = \sqrt{{m_{x}}^{2} + {m_{y}}^{2}} = \sqrt{2}m$ – błąd wychylenia punktu G otrzymany z jednej konstrukcji

w_sr = (x_sr, y_sr) – wychylenie punktu G otrzymane z trzech konstrukcji

$${x}_{\text{sr}} = \frac{{x}_{1,2} + {x}_{1,3} + {x}_{2,3}}{3}$$

$${y}_{\text{sr}} = \frac{{y}_{1,2} + {y}_{1,3} + {y}_{2,3}}{3}$$

$${m_{x}}_{\text{sr}} = \sqrt{\frac{1}{9}{m_{x}}_{1,2} + \frac{1}{9}{m_{x}}_{1,3} + {\frac{1}{9}m_{x}}_{2,3}}$$

m_x1, 2 = m_x1, 3 = m_x2, 3 = m_x

$${m_{x}}_{\text{sr}} = \frac{m_{x}}{\sqrt{3}}$$

$${m_{y}}_{\text{sr}} = \sqrt{\frac{1}{9}{m_{y}}_{1,2} + \frac{1}{9}{m_{y}}_{1,3} + {\frac{1}{9}m_{y}}_{2,3}}$$

m_y1, 2 = m_y1, 3 = m_y2, 3 = m_y

$${m_{y}}_{\text{sr}} = \frac{m_{y}}{\sqrt{3}}$$

m_x = m_y = m

${m_{w}}_{\text{sr}} = \sqrt{{{m_{x}}_{\text{sr}}}^{2} + {{m_{y}}_{\text{sr}}}^{2}} = \sqrt{\left( \frac{m_{x}}{\sqrt{3}} \right)^{2} + \left( \frac{m_{y}}{\sqrt{3}} \right)^{2}} = \sqrt{\frac{2m^{2}}{3}} = \frac{\sqrt{2}m}{\sqrt{3}} = \frac{m_{w}\ }{\sqrt{3}}$– - błąd wychylenia punktu G otrzymany z trzech konstrukcji, a więc:

m_wsr ≡ m_p

$$m_{p} \geq \frac{m_{w}\ }{\sqrt{3}}$$

$${\sqrt{3}m}_{p} \geq m_{w}$$

Wyznaczenie błędu wychylenia dla jednej konstrukcji przy zastosowaniu wstęg wahań

$m_{w} = \frac{\sqrt{e_{1}^{2} + e_{2}^{2}}}{\sin\gamma}$;

e₁ =  e₂ = e – szerokość wstęgi wahań

γ – kąt przecięcia się wstęg wahań

$m_{w} = \frac{\sqrt{2}e}{\sin\gamma}$ – błąd wychylenia punktu G wyznaczony z 1 konstrukcji

Wychylenie punktu G:

w = α * d

α - różnica kierunków na oś komina

d - odległość do komina

Szerokość wstęgi wahań:

$$e = \sqrt{{m_{\alpha}}^{2}*d^{2} + {m_{d}}^{2}*{\alpha}^{2}}$$

$$m_{w} = \frac{\sqrt{2}*\sqrt{{m_{\alpha}}^{2}*d^{2} + {m_{d}}^{2}*{\alpha}^{2}}}{\sin\gamma}$$

Korzystając z wyżej wyprowadzonej zależności ${\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{m}}_{\mathbf{p}}\mathbf{\geq}\mathbf{m}_{\mathbf{w}}$ mamy:

$${\sqrt{3}m}_{p} \geq \frac{\sqrt{2}*\sqrt{{m_{\alpha}}^{2}*d^{2} + {m_{d}}^{2}*{\alpha}^{2}}}{\sin\gamma}$$

Wyraz m_d * α możemy zaniedbać w obliczeniach, gdyż

$$d = \frac{180}{\text{tg}\left( 40^{0} \right)} = 214,516\ m$$

$$m_{d} = \sqrt{\left( - 180*\csc^{2}(40) \right)^{2}*\left( m_{z} \right)^{2}} = 0,034\ m$$

m_z – błąd kąta pionowego, przyjmując m_z = 50^cc

Dla wychylenia równego 10 cm mamy α = 297^cc

m_d * α = 1, 60 * 10⁻⁵ m – jest to bardzo mała wartość więc nie musimy jej uwzględniać

Różnicę kierunków na oś komina należy zatem mierzyć z dokładnością:

$${\sqrt{3}m}_{p} \geq \frac{\sqrt{2}*\sqrt{{m_{\alpha}}^{2}*d^{2}}}{\sin\gamma}$$

$$m_{\alpha} \leq \frac{{\sqrt{3}*m}_{p}*\sin\gamma}{\sqrt{2}*d}$$

m_α ≤ 13, 85^cc = 4, 49^″

Różnica kierunków na oś komina:

α = K_osG − K_osD

K_osG – kierunek na oś komina dla punktu G

K_osD – kierunek na oś komina dla punktu D

$K_{\text{os}} = \frac{{K_{T}}_{L} - {K_{T}}_{P}}{2}$ – kierunek na oś komina

K_TL, K_TP – kierunek na lewą/prawą tworzącą komina

m_KT = m_KTL = m_KTP– błąd kierunku na tworzącą komina

$m_{K_{\text{os}}} = \frac{{m_{K}}_{T}}{\sqrt{2}}$ – błąd kierunku na oś komina

m_Kos = m_KosG=m_KosD

$m_{\alpha} = \sqrt{2}*m_{K_{\text{os}}} = {m_{K}}_{T}$

Pojedynczy kierunek na tworzącą należy mierzyć ze średnim błędem mniejszym niż 13, 85^cc=4, 49^″

$${m_{K}}_{T} = \sqrt{m_{\text{cel}}^{2} + m_{\text{odcz}}^{2}}$$

Przyjmując założenia z podejścia pierwszego mianowicie:

Sprzęt pomiarowy:

Do wykonania pomiarów zaproponowano tachimetr TOPCON ES-102:

• powiększenie lunety: 30x

• dokładność pomiaru odległości: 2mm + 2 ppm

• dokładność odczytu kąta: 2”

średni błąd odczytu kąta: $m_{\text{odcz}} = 2"$

średni błąd celowania na komin: $m_{cel(K)} = 2 \bullet m_{\text{cel}} = 4"$

wówczas średni błąd kierunku wyniesie:$\ {m_{K}}_{T} = 4,47"$

Świadczy to o tym, że zaproponowany sprzęt będzie odpowiedni do osiągniecia narzuconych wymagań dokładnościowych.

Sprzęt pomiarowy:

Tachimetr TOPCON ES-102 o parametrach:

• powiększenie lunety: 30x

• dokładność pomiaru odległości: 2mm + 2 ppm

• dokładność odczytu kąta: 2”

Pionownik optyczny pozwalający na centrowanie nad punktem z dokładnością 1 mm.

Sieć pomiarowa:

W celu wykonania obserwacji, zaleca się założenie konstrukcji pomiarowej w kształcie trójkąta równobocznego, w którego środku ciężkości znajduje się komin, a w wierzchołkach znajdują się stanowiska pomiarowe.

• długość boku osnowy: 371,552m

• odległość pozioma od stanowiska do punktu D: 214,516m

• odległość skośna od stanowiska do punktu G: 280,030m

• kąt horyzontalny obserwacji punktu G ze stanowisk: 40^o

Szkic sieci pomiarowej:

Metoda pomiaru:

Wychylenie komina wyznaczamy z 3 niezależnych konstrukcji tj.:

• 1,2

• 2,3

• 3,1

W każdej konstrukcji wykonujemy jedynie obserwacje kątowe. Na każdym stanowisku dla każdej konstrukcji wyznaczamy kątowe wychylenie punktu G względem punku D (różnica kierunków na oś komina, otrzymana ze średniej z kierunków na obie tworzące).

Wnioski

Obie przetestowane metody dają porównywalne rezultaty tzn. na podstawie obu metod możemy zaproponować ten sam sprzęt pomiarowy. Jednak różnią się one nie tylko sposobem rozwiązania zagadnienia analizy dokładności ale także proponowanym sposobem wykonania pomiaru.

W przypadku metody ścisłej proponujemy wykonanie obserwacji zarówno kątowych i odległościowych w jednej serii tj.:

Nr	C	L	P
1	1	2
2	2	3
3	3	1
4	1	D	2
5	1	3	D
6	1	G	2
7	1	3	G
8	2	1	D
9	2	D	3
10	2	1	G
11	2	G	3
12	3	D	1
13	3	2	D
14	3	G	1
15	3	2	G
16	1	3	2
17	2	1	3
18	3	2	1

W przypadku metody przybliżonej opartej na wstęgach wahań proponujemy zupełnie inną technologie pomiaru. Przede wszystkim nie zalecamy wykonywania żadnych obserwacji odległości, z powodu braku możliwości wykonania pomiaru  do osi komina. Proponujemy wyznaczenie jej z funkcji trygonometrycznych na podstawie znajomości kąta pionowego i wysokości obiektu. Co więcej proponujemy wyznaczenie wychylenie punktu G względem punktu D z trzech niezależnych konstrukcji. Zgodnie z tym założeniem wystarczające jest mierzenie kierunków na oś komina odpowiednio na punkt G i D (a nie jak w poprzednim podejściu - kątów między bokiem sieci pomiarowej a osią komina).

Zauważamy, iż różnice w wynikach z obu analiz wynikają nie tylko z zastosowania różnych podejść (ścisłego i przybliżonego), ale również z zupełnie innych obserwacji wykonywanych w obu metodach. Należy zwrócić uwagę na to, że w przypadku podejścia pierwszego wykonujemy znacznie więcej obserwacji niż w przypadku podejścia drugiego. Pierwsze podejście daje nam więc większy “zapas bezpieczeństwa” na popełnienie większej ilości błędów pomiarowych.

Z powyższych powodów nie da się w bezpośredni sposób porównać obu przedstawionych metod rozwiązania zagadnienia analizy dokładności. Jednak zdrowy rozsądek wskazuje na to, że pierwsza metoda (ścisła) daje bardziej wiarygodne wyniki, a na etapie opracowania pozwala na łatwe zlokalizowanie błędów grubych i pozbycie się ich. Jest to możliwe dzięki własnościom procedury opracowania obserwacji i niezawodności zaproponowanej sieci, co w przypadku metody przybliżonej na pewno nie jest tak łatwe.