Politechnika Krakowska Instytut Mechaniki Stosowanej

Wydział Mechaniczny

Zespół II Poniedziałek

Rok 2011/2012 Laboratorium Dynamiki Maszyn

Ćwiczenie nr 3

,, Doświadczalne wyznaczanie momentów

bezwładności elementów maszyn”

1. Cel ćwiczenia:

Celem naszego ćwiczenia było doświadczalne wyznaczenie masowych momentów bezwładności trzech różnych elementów używanych w konstrukcji maszyn. W tym celu wykorzystaliśmy metody wahadeł.

1. Schematy układów badanych

1. Wahadło fizyczne

Dane: l= 0,161[m] m= 0,440[kg]

1. Metoda wahadła fizycznego.

Aby wyznaczyć masowy moment bezwładności tego elementu należało wykonać badania w dwóch różnych położeniach utwierdzając element raz w punkcie A, a następnie w punkcie B. Kolejnym krokiem było wprawienie elementu w drgania oraz zmierzenie okresu jego drgań.

Tabela pomiarów:

Lp	Ta[s]	Tb[s]	Lp	Ta[s]	Tb[s]	Lp	Ta[s]	Tb[s]
1	0,74	0,82	11	0,65	0,81	21	0,74	0,76
2	0,76	0,75	12	0,63	0,77	22	0,82	0,75
3	0,74	0,7	13	0,64	0,79	23	0,74	0,76
4	0,74	0,77	14	0,67	0,75	24	0,67	0,77
5	0,76	0,71	15	1	0,75	25	0,74	0,79
6	0,77	0,81	16	0,71	0,82	26	0,68	0,88
7	0,77	0,75	17	0,74	0,78	27	0,73	0,76
8	0,69	0,81	18	0,68	0,8	28	0,82	0,78
9	0,71	0,83	19	0,68	0,69	29	0,98	0,74
10	0,71	0,82	20	0,8	0,78	30	0,748	0,68
						Średnia[s]	0,741933	0,77266667

Następnie obliczamy okresy dla jednego pełnego wychylenia:

Przekształcając powyższe wzory na okres drgań wahadła fizycznego otrzymamy:

Korzystając z twierdzenia Steinera:

oraz po wprowadzeniu oznaczeń:

Otrzymujemy wzory na odległości a i b

oraz wzór na moment bezwładności względem środka masy:

1. Metoda wahadła płaskiego

Moment bezwładności wirnika możemy wyznaczyć za pomocą metody wahadła płaskiego dołączając element o znanych parametrach dzięki temu otrzymamy wahadło wykonujące ruch płaski.

Dane:

l=0,20[m] h=0,05[m] d*=0,019[m] r=0,015[m]

m1=8,60[kg] m2=3,74[kg]

Obliczenia:

$V_{s} = \omega r\lbrack\frac{m}{s}\rbrack$ V_c ≈ ω(r−d)

d = l − d^* = 0, 181[m] $E = \frac{1}{2}\lbrack I_{1s} + m_{1}r^{2} + I_{2c} + m_{2}\left( r - d \right)^{2}\rbrack\omega^{2}$

$U = - mgd\ cos\varphi\ \approx \ - mgd\left( 1 - \frac{1}{2}\varphi^{2} \right)$

Moment bezwładności dołączonego elementu: $I_{2c} = \frac{1}{12}m_{2}\left( l^{2} + h^{2} \right) = 0,012\lbrack kg \bullet m^{2}\rbrack$

Moment bezwładności wirnika:

$I_{1s} = m_{2}\text{gd}T^{2}/4\pi^{2} - \lbrack m_{1}r^{2} + m_{2}\left( r - d \right)^{2} + I_{2c}\rbrack = \frac{5,993}{39,31} - 0,11693 = 0,03497\lbrack kg \bullet m^{2}\rbrack$

Tabela pomiarów:

Lp	T0A[s]	Lp	T0A[s]
1	0,93	12	0,94
2	1,08	13	1,04
3	0,95	14	0,93
4	0,94	15	1
5	0,87	16	0,99
6	1,06	17	0,92
7	0,93	18	1
8	1,02	19	0,7
9	0,99	20	0,8
10	0,99	Średnia	0,9535
11	0,99

1. Metoda wahadła torsyjnego:

Element został podwieszony na trzech nierozciągliwych linkach i wprowadzony w wahadłowy ruch obrotowy.

Dane:

m=0,6[kg]

l=0,541 [m]

r=0,043[m]

Obliczenia:

$$z = l - \sqrt{l^{2} - 4r^{2}\sin^{2}\left( \frac{\varphi}{2} \right)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z \approx \frac{r^{2}}{2l} \bullet \varphi^{2} = 0,0002973\lbrack m\rbrack$$

$E = \frac{I_{s}{\dot{\varphi}}^{2}}{2} + \frac{m{\dot{z}}^{2}}{2} \approx \frac{I_{s}{\dot{\varphi}}^{2}}{2}$ $U = mgz \approx \frac{\text{mg}r^{2}}{2l} \bullet \varphi^{2} = 0,00175\lbrack J\rbrack$

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_{s}l}{\text{mg}r^{2}}} = 0,633\lbrack s\rbrack$ I_s = mρ² = 0, 000222[kgm²]

$\rho = \frac{T}{T_{0}} \bullet r = 0,01925\lbrack m\rbrack$ $T_{0} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 1,474\lbrack s\rbrack$

Tabela pomiarów

Lp	T[s]	Lp	T[s]
1	0,72	15	0,72
2	0,74	16	0,63
3	0,69	17	0,62
4	0,64	18	0,63
5	0,61	19	0,68
6	0,69	20	0,61
7	0,57	21	0,68
8	0,67	22	0,68
9	0,63	23	0,62
10	0,7	24	0,68
11	0,7	25	0,62
12	0,51	26	0,67
13	0,55	27	0,95
14	0,72
Min	Max	Średnia
0,51	0,95	0,63346154

1. Wnioski:

W naszym ćwiczeniu do obliczenia masowych momentów bezwładności podanych elementów wykorzystaliśmy metody wahadeł: fizycznego, torsyjnego oraz płaskiego. Metody te są bardzo proste w wykonaniu i nie wymagają kosztownego sprzętu.