Hubert Skrzypulec Zabrze 16.12.2008r.

ZiIP 3.2

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH

WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA

Katedra Informatyki i Ekonometrii

BADANIA OPERACYJNE

Projekt nr 6

Metoda PERT

Treść zadania

Dział nowego produktu firmy produkującej proszki do prania Vizir zakończył wstępne prace nad nowym typem proszku. Ze względu na jego znakomite właściwości należy oczekiwać, że przedsięwzięcie polegające na wprowadzeniu tego proszku na rynek zakończy się sukcesem. Biorąc pod uwagę możliwość wprowadzenia podobnego proszku przez konkurencję należy przedsięwzięcie zakończyć w jak najkrótszym czasie. Sporządzona została lista czynności, które należy zrealizować. Zadaniem jest określenie jakie jest prawdopodobieństwo wprowadzenia na rynek nowego proszku w ciągu 16 tygodni.

Czynność	Opis	Czynność poprzedzająca	Czas min. [a]	Czas nomin. [m]	Czas maks. [b]
1	Końcowy projekt produktu	-	4	5	12
2	Zaplanowanie badania rynku	-	1	1,5	5
3	Przygotowanie planu dystrybucji	1	2	3	4
4	Wyprodukowanie wstępnej partii	1	3	4	11
5	Przygotowanie filmu reklamowego	1	2	3	4
6	Określenie łącznych kosztów	3	1,5	2	2,5
7	Testowanie partii wstępnej	4	1,5	3	4,5
8	Przeprowadzenie badania rynku	2, 5	2,5	3,5	7,5
9	Przygotowanie sprawozdania z badania	8	1,5	2	2,5
10	Przygotowanie raportu końcowego	6, 7,9	1	2	3

Oznaczenia

Prawdopodobieństwo wprowadzenia nowego proszku na rynek w ciągu 16 tygodni jest wyznaczone wzorem:

$$P\left\{ T \leq T_{D} \right\} = F(\hat{x})$$

gdzie czas przeskalowany $\hat{x}$:

$$\hat{x} = \frac{T_{D} - T_{e}}{\text{δT}_{e}}$$

Rozwiązanie

W pierwszym etapie rozwiązywania tego problemu wyznaczam oczekiwany czas trwania czynności t_e na podstawie wzoru:

$$t_{e} = \frac{a + 4m + b}{6}$$

Tabela

Czynności	a	m	b	te
1-2	4	5	12	6
1-5	1	1,5	5	2
2-3	2	3	4	3
2-4	3	4	11	5
2-5	2	3	4	3
3-7	1,5	2	2,5	2
4-7	1,5	3	4,5	3
5-6	2,5	3,5	7,5	4
6-7	1,5	2	2,5	2
7-8	1	2	3	2

Na podstawie powyższej tabeli wyrysowuję diagram sieciowy i wyznaczam ścieżkę krytyczną.

Czas wprowadzenia tego proszku na rynek to 17 tygodni. Ścieżka krytyczna jest sekwencją czynności: 1 2 5678

W celu obliczenia prawdopodobieństwa wprowadzenia proszku na rynek w ciągu 16 tygodni poszukuję wariancji dyrektywnego czasu krytycznego δ_Te² , który otrzymam poprzez zsumowanie wszystkich wariancji czasu oczekiwanego δ_ij²

Stąd otrzymuję:

δ_Te² =  εδ_ij²

$$\delta_{\text{ij}}^{2} = \left( \frac{b - a}{6} \right)^{2}$$

Wyliczam więc wariancje czasu oczekiwanego dla wyznaczonej ścieżki krytycznej:

$$\delta_{1 - 2}^{2} = \left( \frac{12 - 4}{6} \right)^{2} = \frac{64}{36}$$

$$\delta_{2 - 5}^{2} = \left( \frac{4 - 2}{6} \right)^{2} = \frac{4}{36}$$

$$\delta_{5 - 6}^{2} = \left( \frac{7,5 - 2,5}{6} \right)^{2} = \frac{25}{36}$$

$$\delta_{6 - 7}^{2} = \left( \frac{2,5 - 1,5}{6} \right)^{2} = \frac{1}{36}$$

$$\delta_{7 - 8}^{2} = \left( \frac{3 - 1}{6} \right)^{2} = \frac{4}{36}$$

Następnie, zgodnie z wprowadzonymi wzorami i oznaczeniami w celu wyznaczenia wariancji dyrektywnego czasu krytycznego sumuję wariancje czasu oczekiwanego:

$$\delta_{T_{e}}^{2} = \ \text{εδ}_{\text{ij}}^{2} = \frac{64}{36} + \frac{4}{36} + \frac{25}{36} + \frac{1}{36} + \frac{4}{36} = \frac{98}{36}$$

Na tej podstawie wyznaczam wartość δT_e poprzez podstawienie pod pierwiastek wartości δ_Te²

δT_e = 1, 65

Podstawiając do wzoru na czas przeskalowany otrzymuję:

$$\hat{x} = \frac{16 - 17}{1,65}$$

$$\hat{x} = - 0,6$$

Aby dla tej wartości odczytać wartość rozkładu normalnego korzystam z faktu, że wykres dystrybuanty jest symetryczny więc:

φ(x) = 1 − φ(−x)

Po podstawieniu:

φ(−0,6) = 1 − φ(0,6) = 1 − 0, 7257 = 0, 2743

Interpretacja wyniku

Otrzymana wartość 27,43% mieści się w dolnym przedziale realności przedsięwzięcia (25 – 60%) więc wprowadzenie na rynek nowego proszku w ciągu 16 tygodni jest realne.