Data pomiarów:	Temat: Wyznaczanie gęstości cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej	Nr ćwiczenia: 4
Kierunek i gr. laboratoryjna: I INFORMATYKA – grupa L14	Imię i nazwisko: Michał Juszczak

1. Wprowadzenie

Najpowszechniejszą metodą wyznaczanie gęstości cieczy jest metoda, w której wykorzystuje się wagi hydrostatyczne Mohra lub Westphala. Są to tzw. wagi bąbelkowe. W przypadku wagi Westphala, która została wykorzystana w ćwiczeniu, ramiona – w przeciwieństwie do wagi Mohra – nie są takiej samej długości.

Budowa wagi Westphala

• Wartość siły wyporu wyznaczamy korzystając z prawa Archimedesa: (5.1)

F_wyporu=ρ_cV_cg

Gdzie:

F_wyporu – siła wyporu hydrostatycznego

ρ_c – gęstość cieczy, wyliczana z: $\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}}{\mathbf{V}_{\mathbf{c}}}$ (5.9)

V_c – objętość wypartej cieczy (równa objętości nurka) – wynosi 10 cm³

g – przyspieszenie ziemskie

• Na dłuższe ramię wagi działa moment siły (skierowany ku górze), który jest równy: (5.2)

M=F_wyporu*R

Gdzie: R – długość ramienia belki

Aby ponownie zrównoważyć wagę, na nożach dłuższego ramienia zawieszane zostawały ciężarki (tzw. koniki). Ich masa zostawała dobierana w taki sposób, aby wypadkowa suma momentów sił, była równa momentowy sił wyporu. (5.3)

$$\mathbf{M =}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{10}}{\mathbf{m}_{\mathbf{i}}\mathbf{r}_{\mathbf{i}}}$$

Gdzie: m_i – masa zawieszona na i-tym nożu

r_i – odległość i-tego noża od osi podparcia belki wagi

• Masa zastępcza (m_z), jest to masa ciężarka (konika) zawieszonego na 10 nożu (końcowym), którego ciężar pomnożony przez długość ramienia wagi R, daje moment siły, równy ciężarkowi zawieszonemu na nożu 1-9. (5.5)

$$\mathbf{m}_{\mathbf{z}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a*n}}{\mathbf{10}}$$

W przypadku, gdy do zrównoważenia wagi potrzeba więcej niż 1 odważnika: (5.6)

$$\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{m}_{\mathbf{z}_{\mathbf{i}}}$$

gdzie poszczególne m_zi są wyznaczane według opisanej wyżej zależności.

• Dokładną wartość masy zastępczej cieczy (m_zc) wyznaczamy z równania: (5.10)

m_zc=m_z+m_ze + 0, 0012

gdzie: m_z – wartość masy zastępczej, e = 0,0002

1. WODA

1. Wyznaczanie masy zastępczej cieczy m_zc oraz masy zastępczej m_z

Do wyznaczenia masy zastępczej m_z, wykorzystujemy wzór (5.4) na sumę poszczególnych mas zastępczych oraz wzór (5.5), który posłuży nam do wyliczenia tych poszczególnych mas. Po podstawieniu, wzór przedstawia się następująco:

$$\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{m}_{\mathbf{z}_{\mathbf{i}}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\frac{\mathbf{a*i}}{\mathbf{10}}$$

gdzie a – masa konika zawieszonego na i-tym nożu.

Dla wody masa zastępcza m_zc wynosi:

$$\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{10*1}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{0,1*2}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{9*10}}{\mathbf{10}}\mathbf{= 1 + 0,02 + 9 = 10,02\ \lbrack g\rbrack}$$

Niepewność standardowa masy zastępczej m_z wynosi:

u(_d)=0, 1

u()_e=0, 1

1. Wyznaczanie gęstości cieczy

Gęstość cieczy wyznaczamy, korzystając ze wzoru (5.9). Wyliczone zostało m_zc, a objętość wypartej cieczy jest równa objętości nurka i wynosi V_c = 10 cm³

$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}}{\mathbf{V}_{\mathbf{c}}} = \frac{10,02}{10} = 1,002\ \left\lbrack \frac{g}{\text{cm}^{3}} \right\rbrack$$

Niepewność wyznaczania gęstości obliczamy z prawa przenoszenia niepewności, stosując wzór:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{c}} \right)\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\frac{\mathbf{\partial\rho}}{\mathbf{\partial}\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}}\mathbf{=}\frac{\partial\rho}{\partial m_{\text{zc}}} = \frac{1}{V_{c}}}$$

$$u\left( \rho_{c} \right) = \frac{1}{10} = 0,1\ \left\lbrack \frac{g}{\text{cm}^{3}} \right\rbrack$$

$$\mathbf{Wiec\ }\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}\mathbf{= (1,}\mathbf{0}\mathbf{02 \pm 0,1)}\left\lbrack \frac{\mathbf{g}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{3}}} \right\rbrack$$

Pomiary prowadzone były przy temperaturze cieczy wynoszącej 70^oF, czyli w przeliczeniu – 21,1^oC.

1. WODA Z SOLĄ

1. Wyznaczanie masy zastępczej cieczy m_zc oraz masy zastępczej m_z

Do wyznaczenia masy zastępczej m_z, wykorzystujemy wzór (5.4) na sumę poszczególnych mas zastępczych oraz wzór (5.5), który posłuży nam do wyliczenia tych poszczególnych mas. Po podstawieniu, wzór przedstawia się następująco:

$$\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{m}_{\mathbf{z}_{\mathbf{i}}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\frac{\mathbf{a*i}}{\mathbf{10}}$$

gdzie a – masa konika zawieszonego na i-tym nożu.

Dla wody masa zastępcza m_zc wynosi:

$$\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1*1}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{10*4}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{6*0,1}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{7*10}}{\mathbf{10}}\mathbf{= 0,1 + 4 + 0,06 + 7 = 11,16\ \lbrack g\rbrack}$$

Niepewność standardowa masy zastępczej m_z wynosi:

u(_d)=0, 1

u()_e=0, 1

1. Wyznaczanie gęstości cieczy

Gęstość cieczy wyznaczamy, korzystając ze wzoru (5.9). Wyliczone zostało m_zc, a objętość wypartej cieczy jest równa objętości nurka i wynosi V_c = 10 cm³

$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}}{\mathbf{V}_{\mathbf{c}}} = \frac{11,16}{10} = 1,116\ \left\lbrack \frac{g}{\text{cm}^{3}} \right\rbrack$$

Niepewność wyznaczania gęstości obliczamy z prawa przenoszenia niepewności, stosując wzór:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{c}} \right)\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\frac{\mathbf{\partial\rho}}{\mathbf{\partial}\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}}\mathbf{=}\frac{\partial\rho}{\partial m_{\text{zc}}} = \frac{1}{V_{c}}}$$

$$u\left( \rho_{c} \right) = \frac{1}{10} = 0,1\ \left\lbrack \frac{g}{\text{cm}^{3}} \right\rbrack$$

$$\mathbf{Wiec\ }\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}\mathbf{= (1,116 \pm 0,1)}\left\lbrack \frac{\mathbf{g}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{3}}} \right\rbrack$$

Pomiary prowadzone były przy temperaturze cieczy wynoszącej 70^oF, czyli w przeliczeniu – 21,1^oC.

1. DENATURAT

1. Wyznaczanie masy zastępczej cieczy m_zc oraz masy zastępczej m_z

Do wyznaczenia masy zastępczej m_z, wykorzystujemy wzór (5.4) na sumę poszczególnych mas zastępczych oraz wzór (5.5), który posłuży nam do wyliczenia tych poszczególnych mas. Po podstawieniu, wzór przedstawia się następująco:

$$\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{m}_{\mathbf{z}_{\mathbf{i}}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\frac{\mathbf{a*i}}{\mathbf{10}}$$

gdzie a – masa konika zawieszonego na i-tym nożu.

Dla wody masa zastępcza m_zc wynosi:

$$\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3*10}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1*4}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{5*10}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{6*0,1}}{\mathbf{10}}\mathbf{= 3 + 0,4 + 5 + 0,06 = 8,46\ \lbrack g\rbrack}$$

Niepewność standardowa masy zastępczej m_z wynosi:

u(_d)=0, 1

u()_e=0, 1

1. Wyznaczanie gęstości cieczy

Gęstość cieczy wyznaczamy, korzystając ze wzoru (5.9). Wyliczone zostało m_zc, a objętość wypartej cieczy jest równa objętości nurka i wynosi V_c = 10 cm³

$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}}{\mathbf{V}_{\mathbf{c}}} = \frac{11,16}{10} = 0,846\ \left\lbrack \frac{g}{\text{cm}^{3}} \right\rbrack$$

Niepewność wyznaczania gęstości obliczamy z prawa przenoszenia niepewności, stosując wzór:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{c}} \right)\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\frac{\mathbf{\partial\rho}}{\mathbf{\partial}\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}}\mathbf{=}\frac{\partial\rho}{\partial m_{\text{zc}}} = \frac{1}{V_{c}}}$$

$$u\left( \rho_{c} \right) = \frac{1}{10} = 0,1\ \left\lbrack \frac{g}{\text{cm}^{3}} \right\rbrack$$

$$\mathbf{Wiec\ }\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}\mathbf{= (0,846 \pm 0,1)}\left\lbrack \frac{\mathbf{g}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{3}}} \right\rbrack$$

Pomiary prowadzone były przy temperaturze cieczy wynoszącej 70^oF, czyli w przeliczeniu – 21,1^oC.

1. GLICERYNA

1. Wyznaczanie masy zastępczej cieczy m_zc oraz masy zastępczej m_z

Do wyznaczenia masy zastępczej m_z, wykorzystujemy wzór (5.4) na sumę poszczególnych mas zastępczych oraz wzór (5.5), który posłuży nam do wyliczenia tych poszczególnych mas. Po podstawieniu, wzór przedstawia się następująco:

$$\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{m}_{\mathbf{z}_{\mathbf{i}}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\frac{\mathbf{a*i}}{\mathbf{10}}$$

gdzie a – masa konika zawieszonego na i-tym nożu.

Dla wody masa zastępcza m_zc wynosi:

$$\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1*10}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{3*10}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{4*0,1}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{6*1}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{8*10}}{\mathbf{10}}\mathbf{= 1 + 3 + 0,04 + 0,6 + 8 = 12,64\ \lbrack g\rbrack}$$

Niepewność standardowa masy zastępczej m_z wynosi:

u(_d)=0, 1

u()_e=0, 1

1. Wyznaczanie gęstości cieczy

Gęstość cieczy wyznaczamy, korzystając ze wzoru (5.9). Wyliczone zostało m_zc, a objętość wypartej cieczy jest równa objętości nurka i wynosi V_c = 10 cm³

$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}}{\mathbf{V}_{\mathbf{c}}} = \frac{11,16}{10} = 1,264\ \left\lbrack \frac{g}{\text{cm}^{3}} \right\rbrack$$

Niepewność wyznaczania gęstości obliczamy z prawa przenoszenia niepewności, stosując wzór:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{c}} \right)\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\frac{\mathbf{\partial\rho}}{\mathbf{\partial}\mathbf{m}_{\mathbf{\text{zc}}}}\mathbf{=}\frac{\partial\rho}{\partial m_{\text{zc}}} = \frac{1}{V_{c}}}$$

$$u\left( \rho_{c} \right) = \frac{1}{10} = 0,1\ \left\lbrack \frac{g}{\text{cm}^{3}} \right\rbrack$$

$$\mathbf{Wiec\ }\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}\mathbf{= (1,264 \pm 0,1)}\left\lbrack \frac{\mathbf{g}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{3}}} \right\rbrack$$

Pomiary prowadzone były przy temperaturze cieczy wynoszącej 70^oF, czyli w przeliczeniu – 21,1^oC.

1. WNIOSKI

Ćwiczenia miało na celu wyznaczenie wartości gęstości cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej, czyli w naszym przypadku – wagi Westphala.

Na podstawie otrzymanych wyników pomiaru, można stwierdzić, że wśród czterech badanych cieczy – tj. wody, roztworu solnego, denaturatu oraz gliceryny – największą gęstością odznacza się gliceryna, a najmniejszą – denaturat, czyli alkohol etylowy.

Wartości gęstości cieczy nieco odbiegają od wartości tablicowych, co jest spowodowane niełatwym odczytaniem wyników pomiaru – urządzenie pomiarowe jest bardzo czułe na wpływ wszelakich czynników zewnętrznych, takich jak np. szturchnięcie stołem, na którym to urządzenie się znajdowało.

Mimo błędów pomiarowych, wartości gęstości otrzymane w wyniku doświadczenia mieszczą się w przedziałach niepewności:

Nazwa cieczy	Gęstość otrzymana w dośw. [g/cm^3]	Gęstość tablicowa [g/cm^3]	Niepewność [g/cm^3]
Woda	1,002	1	0,1
Woda z solą	1,116	1,03
Denaturat	0,846	0,8
Gliceryna	1,264	1,26

Jak widać w tabeli, wartości gęstości zawierają się w przedziałach niepewności i pokrywają się z wartościami tablicowymi.