Data pomiarów:	Temat: Wyznaczanie długości fali świetlnej na podstawie interferencji w układzie optycznym do otrzymywania pierścieni Newtona	Nr ćwiczenia: 3
Kierunek i gr. laboratoryjna: I INFORMATYKA – grupa L14	Imię i nazwisko: Michał Juszczak

1. CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Fala jest to rozchodzące się w ośrodku lub przestrzeni zaburzenie. Jednym z jej rodzajów jest fala świetlna (bądź też elektromagnetyczna) składająca się z dwóch wzajemnie otaczających się w każdym punkcie pól: elektrycznego i magnetycznego. Zjawisko to zauważył Maxwell, formując przy tym dwa prawa znane dzisiaj jako prawa Maxwella:

1. Zmienne pole elektryczne wytwarza w swoim otoczeniu wirowe pole magnetyczne.

2. Zmienne pole magnetyczne otacza się wirowym polem elektrycznym.

Według Maxwella pola te rozchodzą się w próżni z prędkością $c = 3*10^{8\ }\lbrack\frac{m}{s}\rbrack$, co sugeruje, że światło jest falą elektromagnetyczną.

Długość fali – jest to najmniejsza odległość pomiędzy dwoma punktami drgającymi w tych samych fazach (czyli pomiędzy dwoma powtarzającymi się fragmentami fali). Dwa punkty są w tej samej fazie, jeżeli wychylenie w obu punktach jest takie samo i oba znajdują się na tym samym etapie (wzrostu lub zmniejszania się). Długość fali oznaczana jest przez grecką literę λ (lambda).

Długość fali świetlnej wyznaczamy z równania:

$$\mathbf{V = \ }\frac{\mathbf{\lambda}}{\mathbf{T}}\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ = > \ \ \ \ \ }\mathbf{\lambda}\mathbf{= V}\mathbf{*}\mathbf{T}$$

gdzie: V – prędkość fazowa fali, T – okres fali (1/T – częstotliwość fali)

Interferencja fali – jest to zjawisko powstawania nowego, przestrzennego rozkładu amplitudy fali (wzmocnienia i wygaszenia) w wyniku superpozycji (nakładania się) dwóch lub więcej fal. Warunkiem trwałej interferencji fal jest ich spójność – czyli zgodność faz i częstotliwości.

Zgodnie z tzw. zasadą superpozycji fal, amplituda fali wypadkowej w każdym punkcie dana jest wzorem:

$$\sqrt{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{A}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{A}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\mathbf{A}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\cos\mathbf{\varnothing}}$$

gdzie: A₁,  A₂ – amplitudy fal, Φ – różnica faz obu fal

Maksymalnie wzmocnienie: A = A1+A2 dla φ=2k (fazy zgodne),

maksymalne wygaszenie: A=A1-A2 dla φ=(2k+1) (fazy przeciwne).

Dla fal mechanicznych i radiowych warunek spójności jest łatwy do uzyskania, natomiast dla światła zazwyczaj wymaga zastosowania układów rozdzielania i kolimowania wiązek (monochromatory) lub stosowania laserów. Wypadkowa fala, powstała z interferencji spójnych fal padających jest falą stojącą, np. dla światła obserwuje się kolejno następujące po sobie jasne i ciemne linie, krzywe, lub okręgi, w zależności od geometrii interferujących fal (tzw. prążki interferencyjne). Ciemne obszary występują w miejscach, gdzie różnica dróg optycznych wynosi δ=(2k+1)λ/2, gdzie: k - dowolna liczba całkowita zwana rzędem interferencji, λ - długość fali. Jasne obszary wystąpią dla δ=(2k)λ/2=kλ.

Pierścienie Newtona – jest to zjawisko optyczne, które polega na powstawaniu prążków interferencyjnych w kształcie pierścieni zarówno w świetle przechodzącym, jak i odbitym, przechodzącym poprzez cienkie warstwy w pobliżu styku powierzchni wypukłej i płaskiej. Dla światła białego powstają wielobarwne prążki, z kolei dla monochromatycznego (światło jednobarwne, o określonej długości fali) – jasne i ciemne prążki.

Układ do obserwacji pierścieni Newtona

Różnica dróg: $\text{Δx} = 2d + \frac{\lambda}{2}$

Z wykonanej analizy geometrycznej, oraz podstawienia obliczonego Δx do równania na różnicę dróg, otrzymujemy:

1. Warunek maksymalnego wzmocnienia (jasne pierścienie)

$$r_{\text{jasny}} = \ \sqrt{\left( 2k - 1 \right)R*\frac{\lambda}{2}\ }\ \ \ \ \ ,\ gdzie\ k = 1,2,3,\ldots$$

1. Warunek maksymalnego wygaszenia (ciemne pierścienie)

$$r_{\text{ciemny}} = \sqrt{k*R*\lambda}\ \ \ \ \ ,gdzie\ k = 0,1,2,3,\ldots$$

gdzie: R – promień krzywizny soczewki płasko-wypukłej, r – promień n-tego pierścienia, k – numer prążka (jasnego/ciemnego), λ – długość fali.

Różnica dróg jest stała dla tej samej wartości d dlatego też uzyskujemy obraz koncentrycznych pierścieni na przemian jasnych i ciemnych przy czym pierwszy, środkowy pierścień jest ciemny. Jest to doświadczalne potwierdzenie faktu, chociaż różnica dróg geometrycznych promieni wynosi zero (soczewka przylega do płytki), to różnica dróg optycznych wynosi λ/2.

2. Wyznaczanie promienia krzywizny soczewki

Dla światła sodowego

Do wyznaczenia promienia krzywizny soczewki wykorzystujemy zależność:

r_n²=nλ_NaR

gdzie: r_n – średnia długość promienia n-tego, ciemnego prążka,

r_m – średnia dł. promienia m-tego, ciemnego prążka

λ_Na – długość fali światła sodowego,

R – promień krzywizny soczewki,

n, m – numer prążka, gdzie m>n.

Przekształcamy ją do postaci:

$$\mathbf{R =}\frac{\mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n}\mathbf{\lambda}_{\mathbf{\text{Na}}}}$$

Obliczenia:

$$\mathbf{R}_{\mathbf{1}} = \frac{{0,81}^{2}}{1*588,9*10^{- 6}} \approx 1114\ \lbrack mm\rbrack$$

$$\mathbf{R}_{\mathbf{2}} = \frac{{1,19}^{2}}{4*588,9*10^{- 6}} \approx 601\ \lbrack mm\rbrack$$

$$\mathbf{R}_{\mathbf{3}} = \frac{{1,555}^{2}}{8*588,9*10^{- 6}} \approx 513\ \lbrack mm\rbrack$$

$$\mathbf{R}_{\mathbf{4}} = \frac{{1,87}^{2}}{12*588,9*10^{- 6}} \approx 494\ \lbrack mm\rbrack$$

$$\mathbf{R}_{\mathbf{5}} = \frac{{2,15}^{2}}{16*588,9*10^{- 6}} \approx 491\ \lbrack mm\rbrack$$

$$\mathbf{R}_{\mathbf{6}} = \frac{{2,41}^{2}}{20*588,9*10^{- 6}} \approx 493\ \lbrack mm\rbrack$$

$$\mathbf{R}_{\mathbf{7}} = \frac{{2,585}^{2}}{24*588,9*10^{- 6}} \approx 473\ \lbrack mm\rbrack$$

$$\mathbf{R}_{\mathbf{8}} = \frac{{2,79}^{2}}{28*588,9*10^{- 6}} \approx \ 472\lbrack mm\rbrack$$

Średni promień krzywizny soczewki wynosi: R_sr≈581 mm

Niepewność standardowa u(r_n) oraz u(r_n²)

Niepewność standardową u(r_n) wyznaczamy metodą typu B:

u(x)=

gdzie:

Δ_d x – niepewność wzorcowania

Δ_e x – niepewność eksperymentatora

Δ_t x – niepewność wielkości literatury

W naszym przypadku Δ_dr = 0,01 [mm], Δ_er = 0,03 [mm] oraz nie uwzględniamy niepewności wielkości literatury.

$$u\left( r_{n} \right) = \sqrt{\frac{{(_{d}r)}^{2} + {(_{e}r)}^{2}}{3}} = \sqrt{\ \frac{{0,01}^{2} + {0,03}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{0,001}{3}} = 0,018\ \left\lbrack \text{mm} \right\rbrack$$

Niepewność u(r_n²) wyznaczamy stosując prawo przenoszenia niepewności:

u(r_n²) =

gdzie:

u(λ_Na)=0

u(n)=0

Do wyliczenia niepewności u(r_n²) potrzebujemy niepewności u(R), którą wyliczamy z:

u(x_śr)= => u(R_śr)=

Korzystamy ze wcześniej wyliczonego promienia krzywizny soczewki dla każdego, ciemnego promienia r_n oraz z wyznaczonej średniej wartości promienia krzywizny:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{R}_{\mathbf{sr}} \right) = \sqrt{\ \frac{\sum_{i = 1}^{8}\left( R - R_{sr} \right)^{2}}{8*\left( 8 - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{336252}{56}} = \sqrt{6004,5} \approx 77,5\ \lbrack mm\rbrack$$

Wracając do wzoru wyjściowego, podstawiamy wszystkie wartości:

u(r_n²)=

dla n=1 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 1114*588,9*10^{- 6} \right)^{2}*0 + \left( 588,9*10^{- 6}*1 \right)^{2}*6004,5 + \left( 1114*1 \right)^{2}*0} = = \sqrt{\left( 588,9*10^{- 6}*1 \right)^{2}*6004,5} = \sqrt{\left( 588,9*10^{- 6} \right)^{2}*}\sqrt{6004,5} \approx 588,9*10^{- 6}*77,5 =$

=0, 046 [mm²]

dla n=4 u(r_n²) = 588, 9 * 10⁻⁶ * 4 * 77, 5 ≈ 0, 183 [mm²]

dla n=8 u(r_n²) = 588, 9 * 10⁻⁶ * 8 * 77, 5 ≈ 0, 365 [mm²]

dla n=12 u(r_n²) = 588, 9 * 10⁻⁶ * 12 * 77, 5 ≈ 0, 548 [mm²]

dla n=16 u(r_n²) = 588, 9 * 10⁻⁶ * 16 * 77, 5 ≈ 0, 730 [mm²]

dla n=20 u(r_n²) = 588, 9 * 10⁻⁶ * 20 * 77, 5 ≈ 0, 913 [mm²]

dla n=24 u(r_n²) = 588, 9 * 10⁻⁶ * 24 * 77, 5 ≈ 1, 095 [mm²]

dla n=28 u(r_n²) = 588, 9 * 10⁻⁶ * 28 * 77, 5 ≈ 1, 278 [mm²]

rn^2[mm^2]	0,66	1,42	2,42	3,50	4,62	5,80	6,68	7,78
u(rn^2)[mm^2]	0,046	0,183	0,365	0,548	0,730	0,913	1,095	1,278
n	1	4	8	12	16	20	24	28
u(rn)[mm]	77,5	77,5	77,5	77,5	77,5	77,5	77,5	77,5

Wyznaczanie współczynnika a za pomocą metody regresji liniowej

Korzystając z metody regresji liniowej można wyznaczyć współczynnik kierunkowy a wcześniej opisanej prostej oraz jego niepewność standardową.

Współczynnik a obliczamy ze wzoru:

a=

gdzie $X = n(\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}^{2}) - {(\sum_{i = 1}^{n}{x_{i})}}^{2} =}17928\ - \ 12769 = 5159$

Więc: $a = \left\lbrack 8(\sum_{i = 1}^{8}{x_{i}y_{i}) - (\sum_{i = 1}^{8}{x_{i})}(\sum_{i = 1}^{8}{y_{i})}} \right\rbrack\frac{1}{5159} = 0,266\ \text{mm}^{2}$

Niepewność standardowa współczynnika kierunkowego a wynosi:

$$u\left( a \right) = \sqrt{\frac{{(_{d}r)}^{2} + {(_{e}r)}^{2}}{3}} = \sqrt{\ \frac{{0,01}^{2} + {0,03}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{0,001}{3}} = 0,018\ \left\lbrack \text{mm} \right\rbrack$$

Mając wyliczony współczynnik kierunkowy a prostej, możemy policzyć promień krzywej soczewki płasko-wypukłej znajdującej się w układzie do obserwacji prążków Newtona. Korzystamy z zależności:

a = Rλ_Na

przekształcając ją do postaci:

$$\mathbf{R =}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{N}\mathbf{a}}}$$

$$\mathbf{R =}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{\text{Na}}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,266*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 6}}}{\mathbf{588,9*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 9}}}\mathbf{= 0,452\ }\left\lbrack \mathbf{m} \right\rbrack\mathbf{= 452\ \lbrack mm\rbrack}$$

Pamiętając o wyliczonej wcześniej niepewności promienia u(R) = 0,19 mm, zapisujemy:

R=(452±77, 5) [mm]

2. Wyznaczanie długości światła monochromatycznego otrzymywanego przy użyciu filtrów interferencyjnych

Dzięki obliczonemu wcześniej promieniowi krzywizny soczewki płasko-wypukłej, możemy obliczyć długości światła monochromatycznego dla poszczególnych prążków. Aby to zrobić korzystamy z przedstawionego wcześniej wzoru:

r_n²=nλ_nR

Przekształcając go do postaci:

$$\mathbf{\lambda}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{\text{nR}}}$$

$$u\left( r_{n} \right) = \sqrt{\frac{{(_{d}r)}^{2} + {(_{e}r)}^{2}}{3}} = \sqrt{\ \frac{{0,01}^{2} + {0,03}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{0,001}{3}} = 0,018\ \left\lbrack \text{mm} \right\rbrack$$

Niepewność u(r_n²) wyznaczamy stosując prawo przenoszenia niepewności:

u(r_n²) =

gdzie:

u(R)=77,5

u(n)=0

Niepewność u(λ_x) obliczamy stosując wzór metody typu A:

u(x_śr)= => u(λ_śr)=

OBLICZENIA

Dla filtra nr 1

Długość fali:

$$\lambda_{1} = \frac{0,5776}{1*452} = 1278\ nm$$

$$\lambda_{2} = \frac{0,931225}{2*452} = 1030\ nm$$

$$\lambda_{3} = \frac{1,5129}{4*452} = 837\ nm$$

$$\lambda_{4} = \frac{2,0164}{6*452} = 742\ nm$$

$$\lambda_{5} = \frac{2,5281}{8*452} = 699\ nm$$

$$\lambda_{6} = \frac{3,0976}{10*452} = 685\ nm$$

$$\lambda_{7} = \frac{3,629025}{12*452} = 669\ nm$$

$$\lambda_{8} = \frac{4,060225}{14*452} = 642\ nm$$

$$\lambda_{9} = \frac{4,7089}{16*452} = 651\ nm$$

Średnia długość fali dla filtra nr 1 wynosi: λ_sr=804 nm

Niepewność standardowa u(r_n²):

Do wyliczenia tej niepewności potrzebujemy niepewności u(λ_śr). Stosując metodę niepewności typu A obliczamy nieznaną nam niepewność:

u(λ_śr)= =72 nm

Posiadając wyliczoną niepewność u(λ_śr) możemy wyliczyć niepewność u(r_n²):

u(r_n²)=

gdzie u(R)=77,5 oraz u(n)=0

dla n=1 $\text{\ u}\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 1278*1 \right)^{2}*5184 + (452*1)^{2}*6004,5} \approx 0,098\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=2 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 1030*2 \right)^{2}*5184 + (452*2)^{2}*6004,5} \approx 0,16\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=4 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 837*4 \right)^{2}*5184 + (452*4)^{2}*6004,5} \approx 0,28\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=6 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 742*6 \right)^{2}*5184 + (452*6)^{2}*6004,5} \approx 0,38\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=8 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 699*8 \right)^{2}*5184 + (452*8)^{2}*6004,5} \approx 0,49\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=10 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 685*10 \right)^{2}*5184 + (452*10)^{2}*6004,5} \approx 0,60\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=12 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 669*12 \right)^{2}*5184 + (452*12)^{2}*6004,5} \approx 0,71\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=14 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 642*14 \right)^{2}*5184 + (452*1{4)}^{2}*6004,5} \approx 0,81\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=16 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 651*16 \right)^{2}*5184 + (452*1{6)}^{2}*6004,5} \approx 0,94\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

rn^2[mm^2]	0,58	0,93	1,51	2,02	2,53	3,10	3,63	4,06	4,71
u(rn^2)[mm^2]	0,098	0,16	0,28	0,38	0,49	0,60	0,71	0,81	0,94
n	1	2	4	6	8	10	12	14	16
u(rn)[mm]	72*10^-6	72*10^-6	72*10^-6	72*10^-6	72*10^-6	72*10^-6	72*10^-6	72*10^-6	72*10^-6

Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej a=Rλ

Korzystając z metody regresji liniowej można wyznaczyć współczynnik kierunkowy a wcześniej opisanej prostej oraz jego niepewność standardową.

Współczynnik a obliczamy ze wzoru:

a=

gdzie $X = n(\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}^{2}) - {(\sum_{i = 1}^{n}{x_{i})}}^{2} =}7353 - 5329 = 2024$

Więc: $a = \left\lbrack 9(\sum_{i = 1}^{8}{x_{i}y_{i}) - (\sum_{i = 1}^{9}{x_{i})}(\sum_{i = 1}^{9}{y_{i})}} \right\rbrack\frac{1}{2024} = 0,268*10^{- 6}\ \text{mm}^{2}$

Niepewność standardowa współczynnika kierunkowego a wynosi:

$$u\left( a \right) = \sqrt{\frac{{(_{d}r)}^{2} + {(_{e}r)}^{2}}{3}} = \sqrt{\ \frac{{0,01}^{2} + {0,03}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{0,001}{3}} = 0,018\ \left\lbrack \text{mm} \right\rbrack$$

Po wyliczeniu współczynnika kierunkowego prostej, możemy policzyć długość fali światła monochromatycznego dla filtra I. Przekształcając zależność:

a = Rλ

do postaci:

$$\mathbf{\lambda}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{R}}$$

$$\mathbf{\lambda}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{R}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,268*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}{\mathbf{452}}\mathbf{= 0,5929*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{\ mm = 592,9\ nm}$$

Pamiętając o wyliczonej wcześniej niepewności promienia u(λ) = 0,19 mm, zapisujemy:

λ=(592, 9 ± 72) [nm]

Dla filtra nr 3

Długość fali:

$$\lambda_{1} = \frac{0,6320}{1*452} = 1398\text{\ nm}$$

$$\lambda_{2} = \frac{0,9216}{2*452} = 1019\text{\ nm}$$

$$\lambda_{3} = \frac{1,4641}{4*452} = 810\text{\ nm}$$

$$\lambda_{4} = \frac{1,96}{6*452} = 723\text{\ nm}$$

$$\lambda_{5} = \frac{2,4649}{8*452} = 682\text{\ nm}$$

$$\lambda_{6} = \frac{2,9584}{10*452} = 655\text{\ nm}$$

$$\lambda_{7} = \frac{3,629025}{12*452} = 631\text{\ nm}$$

Średnia długość fali dla filtra nr 1 wynosi: λ_sr=845 nm

Niepewność standardowa u(r_n²):

Do wyliczenia tej niepewności potrzebujemy niepewności u(λ_śr). Stosując metodę niepewności typu A obliczamy nieznaną nam niepewność:

u(λ_śr)= =105 nm

Posiadając wyliczoną niepewność u(λ_śr) możemy wyliczyć niepewność u(r_n²):

u(r_n²)=

gdzie u(R)=77,5 oraz u(n)=0

dla n=1 $\text{\ u}\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 1278*1 \right)^{2}*10968 + (452*1)^{2}*6004,5} \approx 0,14\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=2 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 1030*2 \right)^{2}*10968 + (452*2)^{2}*6004,5} \approx 0,23\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=4 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 837*4 \right)^{2}*10968 + (452*4)^{2}*6004,5} \approx 0,38\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=6 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 742*6 \right)^{2}*10968 + (452*6)^{2}*6004,5} \approx 0,51\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=8 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 699*8 \right)^{2}*10968 + (452*8)^{2}*6004,5} \approx 0,65\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=10 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 685*10 \right)^{2}*10968 + (452*1{0)}^{2}*6004,5} \approx 0,80\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=12 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{\left( 669*12 \right)^{2}*10968 + (452*12)^{2}*6004,5} \approx 0,94\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

rn^2[mm^2]	0,63	0,92	1,46	1,96	2,46	2,96	3,42
u(rn^2)[mm^2]	0,14	0,23	0,38	0,51	0,65	0,80	0,94
n	1	2	4	6	8	10	12
u(rn)[mm]	105*10^-6	105*10^-6	105*10^-6	105*10^-6	105*10^-6	105*10^-6	105*10^-6

Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej a=Rλ

Korzystając z metody regresji liniowej można wyznaczyć współczynnik kierunkowy a wcześniej opisanej prostej oraz jego niepewność standardową.

Współczynnik a obliczamy ze wzoru:

a=

gdzie $X = n(\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}^{2}) - {(\sum_{i = 1}^{n}{x_{i})}}^{2} =}2555 - 1849 = 706$

Więc: $a = \left\lbrack 9(\sum_{i = 1}^{8}{x_{i}y_{i}) - (\sum_{i = 1}^{9}{x_{i})}(\sum_{i = 1}^{9}{y_{i})}} \right\rbrack\frac{1}{706} = 0,253*10^{- 6}\ \text{mm}^{2}$

Niepewność standardowa współczynnika kierunkowego a wynosi:

$$u\left( a \right) = \sqrt{\frac{{(_{d}r)}^{2} + {(_{e}r)}^{2}}{3}} = \sqrt{\ \frac{{0,01}^{2} + {0,03}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{0,001}{3}} = 0,018\ \left\lbrack \text{mm} \right\rbrack$$

Po wyliczeniu współczynnika kierunkowego prostej, możemy policzyć długość fali światła monochromatycznego dla filtra I. Przekształcając zależność:

a = Rλ

do postaci:

$$\mathbf{\lambda}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{R}}$$

$$\mathbf{\lambda}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{R}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,2}\mathbf{53}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}{\mathbf{452}}\mathbf{= 0,5}\mathbf{597}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{\ mm = 5}\mathbf{59}\mathbf{,}\mathbf{7}\mathbf{\text{\ nm}}$$

Pamiętając o wyliczonej wcześniej niepewności promienia u(λ) = 0,19 mm, zapisujemy:

λ=(559, 7±105) [nm]

2. WNIOSKI

W otrzymanych wynikach pomiaru długości fali oraz promienia krzywizny soczewki płasko-wypukłej mogły wystąpić błędy pomiaru. Błędy te wynikają z niedokładnego odczytu oraz błędnego ustawienia mikroskopu (przesunięcie centralnego pierścienia w osi X).

Wyniki długości fal nieco odbiegają od długości fal przepuszczanych przez filtry interferencyjne, które były używane podczas ćwiczenia, lecz mieszczą się w wyznaczonych przedziałach niepewności:

- filtr nr 1: λ₁ = (592, 9 ± 72) [nm] – dla porównania barwa czerwona zawiera się w przedziale od ok. 630 do ok. 780 nm długości fali, więc wynik otrzymany w doświadczeniu jest zgodny z wielkością tablicową

- filtr nr 3: λ₃ = (559, 7 ± 105) [nm] – barwa zielona ma długość fali około 550 nm, zatem – podobnie jak w przypadku filtra nr 1 – wynik otrzymany w doświadczeniu jest zgodny z wielkością tablicową.

Poza wymienionymi wyżej czynnikami na błędy pomiaru miały również wpływ czynniki takie jak:

- niemożność dokładnego określenia środka pierścieni – kąt widzenia na to nie pozwalał

- duża czułość układu na wpływ czynników zewnętrznych takich jak np. szturchnięcie uniemożliwiała dokładne ustawienie przyrządu

- w przypadku filtra nr 3, nie można było dokonać pomiaru zamierzonych 9 prążków – do 16 rzędu – z powodu braku możliwości odróżnienia prążków o rzędzie wyższym od 12.

Co zaobserwowano w ćwiczeniu:

Wraz ze wzrostem rzędu kolejno malała długość fali światła monochromatycznego dla filtrów interferencyjnych oraz spadała wartość promienia krzywizny soczewki dla n-tego prążka interferencyjnego.

Im wyższego rzędu prążek był obserwowany, rosła także wartość niepewności dla kolejnych prążków – przykładowo: dla pierwszego prążka interferencyjnego w filtrze nr 3 wartość u(r_n²) wynosiła 0,14 mm², a dla ostatniego zaobserwowanego już 0,94 mm².