IMIĘ I NAZWISKO

NR ALBUMU

KIERUNEK, ROK

ROZKŁAD T – STUDENTA

Rozkład T - Studenta – ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie błędów pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla których możemy wyznaczyć takie parametry, jak średnia  i odchylenie standardowe  lub wariancja  („z próby”), nie znamy natomiast odchylenia standardowego  w populacji.

Zagadnienie to rozwiązał (w 1908 r.) W. S. Gosset (pseudonim Student) podając funkcję zależną od wyników pomiarów , a niezależną od .

Gęstość prawdopodobieństwa

Zmienna losowa  określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:

gdzie  to funkcja gamma.

Własności

Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru  – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jedno-modalne, dla dużych wartości  zmierzają do standardowego rozkładu normalnego N(0,1). Dla małych  różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o  stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu , w szczególności dla  rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy'ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).

Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody  w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego N(0,1). 

Zastosowania

Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:

1. Niech zmienne losowe  mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej  i wariancji  oraz niech zmienna  będzie określona wzorem:

Gdzie:

•   jest wartością średnią z próby,

•  - odchyleniem standardowym z próby.

Wówczas zmienna  ma rozkład t-Studenta o  stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji ).

1. Jeżeli dwie próby o liczebnościach  oraz , wartościach średnich  oraz  i wariancjach wyznaczonych z próby oraz  zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna t określona wzorem:

ma rozkład t - Studenta o  stopniach swobody.

Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych - gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność ).

W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody  i przyjętego poziomu istotności .

Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu T- Studenta, to znaczy takie wartości , że  lub  

Wartości te podają tablice rozkładu T - Studenta.