Akademia Techniczno- Humanistyczna
w Bielsku-Białej

Wydział Nauk o Materiałach i Środowisku
Inżynieria Środowiska
Rok I/ Semestr II

LABORATORIUM

Z FIZYKI

Ćwiczenie 66

Wyznaczanie stałej Plancka w oparciu
o zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne

Gr. 108

1. Wstęp teoretyczny:

Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne polega na emisji elektronów z powierzchni metali pod wpływem padającego na nie promieniowania elektromagnetycznego. Emitowane rzez ten sposób elektrony nazywane fotoelektronami (fotoprąd). Schematyczne zjawisko prezentujemy na rysunku 1.

Rys. 1. Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne (a) i jego schemat energetyczny (b).

Zjawisko to posiada charakterystyczne cechy, których nie można wyjaśnić na grunce klasycznej energii falowej. Do takich cech należą:

• Niezależność energii wybijanych fotoelektronów od natężenia oświetlania powierzchni;

• Natychmiastowe pojawienie się emisji elektronów po oświetleniu powierzchni metalu;

• Liniowa zależność energii kinetycznej od częstotliwości promieniowania;

• Występowanie częstotliwości granicznej promieniowania, poniżej której dla danego metalu zjawisko nie zachodzi;

Wyjaśnienie tego zjawiska i jego szczegółowe własności po wprowadzeniu przez Plancka pojęcia kwantu energii promieniowania elektromagnetycznego o wartości:

$$\mathbf{E}_{\mathbf{f}}\mathbf{= hv = h}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{\lambda}\mathbf{\ }}$$

h- stała Plancka (h = 6, 63 • 10⁻³⁴ Js)
v- częstotliwość fali [$Hz = \frac{1}{s}$]
c- prędkość światła w próżni ($c = 3 \bullet 10^{8}\frac{m}{s}$)
λ- długość fali światła [m]

Wykorzystując pojęcie kwantu energii promieniowania elektromagnetycznego, Einstein wprowadził postulat zgodnie, z którym energia fali świetlnej przenoszona jest w postaci oddzielnych kwantów energii (tzw. fotonów) oraz, że w wyniku oddziaływania z elektronem foton przekazuje mu cała swoją energię. W rezultacie pomiędzy energią padającego fotonu a maksymalną energią kinetyczną fotoelektronów otrzymuje się prostą zależność, nazywaną równaniem Einsteina – Milikana:

hv = W+E_{k max}

hv -energia fotonu padającego na metal [$\frac{J}{s}\rbrack$;
W- praca wyjścia elektronu z danego materiału, czyli bariera potencjału jaką elektron musi pokonać aby opuścić powierzchnię danego materiału [J];
E_{k max}- maksymalna energia kinetyczna elektronu, jaką może on uzyskać po wyrwaniu się z metalu [J].

Z równania tego wynika, że dla fotonów o energii mniejszej od pracy wyjścia nie można wywołać emisji fotoelektronów, a więc praca wyjścia jest równa energii fotonów światła o częstości równej częstości granicznej W = hν_g.

Jeżeli pomiędzy elektrodami zostanie przyłożone napięcie hamowania (o ujemnej polaryzacji), to każdy fotoelektron emitowany z katody będzie hamowany polem elektrycznym, którego praca W_el = eU_h będzie równa ubytkowi energii kinetycznej fotoelektronów. Maksymalna wartość napięcia hamowania U_hm, przy której prąd fotoelektryczny zaniknie odpowiada zatem pracy pola elektrycznego równej maksymalnej energii kinetycznej fotoelektronów:

Dlatego równanie można zapisać w następujący sposób:

Z powyższego równania wynika, że dopasowanie prostej regresji f(x)=ax+b do wykresu eksperymentalnej zależności U_hm=U_hm (ν) pozwala, na podstawie wyznaczonych parametrów

a i b prostej, obliczyć stałą Plancka h i pracę wyjścia W.

$$a = \frac{h}{e}$$

Mając wyznaczone parametry prostej korelacji, za pomocą arkusza kalkulacyjnego, możemy przystąpić do wyznaczenia stałej Plancka oraz pracy wyjścia W.

,

.

Budowa fotokomórki:

Fotokomórka jest bańka szklaną, której ścianka tylnia jest pokryta warstwą metalu wykorzystującego zjawisko fotoelektryczne przy stosunkowo niskiej częstotliwości światła (w zakresie widzialnym). Anoda ma kształt pętli i jest umieszczona w środku bańki. Przednia ścianka bańki jest przeźroczysta i stanowi okienko, przez którą można oświetlić światłoczuła warstwę metalu- katod.

Wzór do obliczania wartości natężenia prądu fotoelektrycznego I_f

$$I_{f} = \frac{U_{R}}{R}$$

$$\ \lbrack A = \frac{V}{\Omega} = \frac{\Omega \bullet A}{\Omega} = A\rbrack$$

Gdzie: R=2.49 [MΩ]- opór

U_R- napięcie [V]

I_f- natężenie prądu fotoelektrycznego [nA]

Wzór na obliczenia częstotliwości fgal światła oświetlającego fotokatodę v, odpowiadające długością fal λ.

$$v = \frac{c}{\lambda}$$

$$\lbrack Hz = \frac{\frac{m}{s}}{m} = \frac{1}{s} = Hz\rbrack$$

Gdzie: v- częstotliwość fali [Hz]

c- prędkość światła w próżni $\lbrack\frac{m}{s}\rbrack$

λ- długość fali [m]

Schematy ideowe:

1. Układ pomiarowy do wyznaczania zależności natężenia prądu fotoelektrycznego od długości fali światła oświetlającego fotokatodę.

1. Układ pomiarowy do wyznaczania wartości stałej Plancka.

W ćwiczeniu wykorzystałyśmy przedstawiony na powyższym schemacie układ pomiarowy. W układzie tym prąd fotoelektryczny I_f przepływający przez opornik R=2,47[MΩ] wywołuje na nim spadek napięcia U_R , mierzony przez równolegle dołączony woltomierz cyfrowy V1. Drugi woltomierz cyfrowy V2 służy do pomiaru wartości napięcia hamowania U_h przyłożonego między anodę A i katodę K fotokomórki, którego źródłem jest zasilacz napięcia stałego.

1. Wyniki pomiarów i ich opracowanie

Wyznaczanie charakterystyki prądowej I_f = I_f (ν)

W celu wyznaczenia charakterystyki prądowej badanej fotokomórki dokonaliśmy pomiarów spadku napięcia U_R [V] na oporniku R dla różnych długości fali światła λ oświetlającego fotokatodę. Wartości λ zmienialiśmy od 400 do 660 [nm], co 20 nm. Pomiarów dokonywaliśmy przy zerowym napięciu hamowania (U_h = 0). Wiedząc, że rezystancja opornika R = 2, 49 [MΩ] oraz znając spadki napięć obliczyliśmy na podstawie prawa Ohma wartości natężenia prądu fotoelektrycznego.

Obliczenia wartości natężenia prądu fotoelektrycznego I_f na podstawie danych z tabeli 1.

$$I_{f} = \frac{0.025}{2.49 \bullet 10^{6}}\frac{v}{\Omega} = 0.0104 \bullet 10^{6}A = 10.04 \bullet 10^{- 9}A = 10.04\ \lbrack nA\rbrack$$

Wyniki pomiarów i obliczeń zamieściłyśmy w tabeli 1.

λ [nm]	400	420	440	460	480	500	520	540	560	580	600	620	640	660
UR [V]	0.025	0.028	0.029	0.029	0.028	0.027	0.026	0.024	0.021	0.018	0.012	0.005	0.001	0.0005
If [nA]	10.04	11.24	11.64	11.64	11.24	10.84	10.44	9.63	8.43	7.22	4.31	2.00	0.40	0.20

Na podstawie tabeli 1 sporządziłyśmy wykres zależności natężenia prądu fotoelektrycznego do długości fali światła padającego na fotokatodę I_f=f(λ). [WYKRES 1]

Wyznaczanie krzywych „hamowania” I_f = I_f(U_h)

Pomiary wykonałyśmy dla trzech długości fali światła: 400, 500, 600 [nm]. Po ustawieniu danej długości odczytywaliśmy z woltomierza V1 kolejne wartości napięcia U_R , odpowiadające nastawianym przez nas na zasilaczu, napięciom hamowania U_h. Napięcie to zwiększaliśmy o 0, 1 [V] rozpoczynając od 0, 1 do wartości przy którym wartość napięcia na oporniku spadła do zera (U_R = 0).

Obliczenia wartości natężenia prądu fotoeketrycznego I_f na podstawie danych z tabeli 2.

$$I_{f} = \frac{U_{R}}{R}$$

$$I_{f} = \frac{U_{R}}{R} = \frac{0.0216}{2.49} = 0.00867 \bullet 10^{6}A = 8.67 \bullet 10^{- 9}A = 8.67\ \lbrack nA\rbrack$$

Wyniki pomiarów wraz z obliczonymi wartościami prądu I_f zamieściłyśmy w tabeli 2.

Nr pomiaru	λ=400 [nm]	λ =500 [nm]	λ =600 [nm]
1	Uh [V]	UR [V]	If [nA]
2	0.1	0.0216	8.67
3	0.2	0.0171	6.86
4	0.3	0.0132	5.30
5	0.4	0.0098	3.93
6	0.5	0.0069	2.77
7	0.6	0.0046	1.84
8	0.7	0.0029	1.16
9	0.8	0.0016	0.64
10	0.9	0.0006	0.24
11	1.007	0.0000	0.00

Na podstawie tabeli 2 sporządziłyśmy na wspólnym wykresie, zależność natężenia prądu fotoelektrycznego od napięcia hamującego dla trzech różnych długości fal światła padającego na fotokatodę I_f=f(U_f). [WYKRES 2]

Wyznaczanie zależności U_hm = U_hm(ν)

Dla wiązki światła o wybranej długości fali, ustaliliśmy na zasilaczu takie napięcie hamowania U_hm przy którym spadek napięcia na rezystorze wynosił zero (U_R = 0). Wartość tego napięcia odczytywaliśmy z woltomierza V2. Pomiary dokonałyśmy dla długości fali mieszczącej się w zakresie od 600 do 400 [nm], zmniejszając każdorazowo jej wartość o 20 [nm].

Obliczenia wartości częstotliwości fal światła oświetlającego fotokatodę v, odpowiadające długością fal λ na podstawie danych z tabeli 3.

$$v = \frac{c}{\lambda}$$

$$v = \frac{3 \bullet 10^{8}}{4 \bullet 10^{- 9}} = \frac{3}{4} \bullet \frac{10^{8}}{10^{- 7}} = 0.75 \bullet 10^{15}\lbrack Hz\rbrack$$

λ [nm]	600	580	560	540	520	500	480	460	440	420	400
ν 10^15 [Hz]	0.50	0.51	0.53	0.55	0.57	0.60	0.62	0.65	0.68	0.71	0.75
Uhm [V]	0.389	0.429	0.474	0.527	0.560	0.606	0.673	0.745	0.821	0.910	1.007

Wyniki pomiarów oraz obliczone wartości częstości, odpowiadające zadanym długościom fali zamieściliśmy w tabeli 3. Ponadto w tabeli tej zamieściliśmy obliczone wartości teoretyczne U_hm odpowiadające wybranym wartościom ν.

Na podstawie tabeli 3 wykonałyśmy wykres zależności napięcia hamującego od częstotliwości światła oświetlającego fotokatodę U_hm= f(v). [WYKRES 3]

Korzystając z powyższych danych przy pomocy programu komputerowego obliczamy współczynniki funkcji liniowej U_h0 = aν + b .

a = 2.409 •10^-15 [ $\frac{J \bullet s}{C}$ ] = [ Vs ]

b = -0.811 [ V ]

Δa = 0.051•10^-15 [$\frac{J \bullet s}{C}$] = [Vs]

Δb = 0.031 [V]

• Wprowadzenie wyników pomiarów z tabeli 3 do programu komputerowego. Obliczenie przez komputer parametrów a i b oraz błędów Δa i Δb.

Ustalenie jednostek:

a=$\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{e}}$ $\mathbf{\lbrack a =}\frac{\mathbf{j \bullet s}}{\mathbf{C}}\mathbf{= V \bullet s\rbrack}$

b=$\frac{\mathbf{- W}}{\mathbf{e}}$ $\mathbf{\lbrack b =}\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{C}}\mathbf{= V\rbrack}$

Jednostki błędów a i Δb odpowiednio takie same jak dla parametru ai b.

• Obliczanie stałej Plancka h oraz błędu bezwzględnej stałej Plancka Δh.

h = a • e

$$\mathbf{h = 2.409 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 15}}\mathbf{\bullet 1.602 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 19}}\mathbf{= 3.860 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 34}}\mathbf{\lbrack}\frac{\mathbf{J \bullet s}}{\mathbf{C}}\mathbf{\bullet C = J \bullet s\rbrack}$$

h=a•e

h=0.051•10⁻¹⁵•1.602•10⁻¹⁹=0.08•10⁻³⁴[J•s]

• Obliczanie pacy wyjścia W oraz błędu pracy wyjścia ΔW.

$$\mathbf{W = 0.811 \bullet 1.602 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 19}}\mathbf{= 1.30 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 19}}\mathbf{\lbrack}\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{C}}\mathbf{\bullet C = J\rbrack}$$

$$\mathbf{W = 1.30 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 19}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1.602 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 19}}}\mathbf{= 0.811\ \lbrack eV\rbrack}$$

W=b•e

W = 0.031 • 1.602•10⁻¹⁹=0.05•10⁻¹⁹[J]

$$\mathbf{W}\mathbf{=}\mathbf{0.05}\mathbf{\bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{19}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1.602}\mathbf{\bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{15}}}\mathbf{=}\mathbf{0.03\lbrack eV\rbrack}$$

• Obliczenie częstotliwości granicznej fali światła oświetlającego fotokatodę v_g, dla której U_hm=0, a następnie obliczenie długości fali λ_g odpowiadającej wartości v_g.

$$\mathbf{U}_{\mathbf{\text{hm}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{e}}\mathbf{v}_{\mathbf{g}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{W}}{\mathbf{e}}$$

$$\mathbf{v}_{\mathbf{g}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{e}}{\mathbf{h}}\left( \mathbf{U}_{\mathbf{\text{hm}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{W}}{\mathbf{e}} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{e}}{\mathbf{h}}\mathbf{U}_{\mathbf{\text{hm}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{W}}{\mathbf{h}}$$

$$\mathbf{v}_{\mathbf{g}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{W}}{\mathbf{h}}$$

$$\mathbf{v}_{\mathbf{g}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1.30 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 19}}}{\mathbf{3.860 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 34}}}\mathbf{= 0.34 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{15}}\mathbf{\lbrack Hz\rbrack}$$

$$\mathbf{\lambda}_{\mathbf{g}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{v}_{\mathbf{g}}}$$

$$\lambda_{\mathbf{g}} = \frac{c}{v} = \frac{3 \bullet 10^{8}}{{0.34 \bullet 10}^{15}} = 8.82 \bullet 10^{7}\lbrack\frac{\frac{m}{s}}{\frac{1}{s}} = m\rbrack$$

.

• Z wykresu odczytujemy wartość graniczną λ_g1 długości fali światła, powyżej której prąd fotoelektryczny w badanej fotokomórce nie powstaje.

λ_g1 = 670 [nm].

a±Δa	b ± Δb	λgl [nm]	λg [nm]	h ± Δh 10^-34 [Js]	W ± ΔW [eV]
		670	882	(3.860±0.08)	(0.811±0.03)

1. Podsumowanie:

Otrzymany przez nas wynik odbiega od faktycznej wartości stałej Plancka wynoszącej 6,62 * 10^-34

[ Js ] .

Wyniki różnią się od wielkości tablicowych z następujących powodów:

1. brak precyzyjnego ustawienia długości fali i napięcia;

2. niedokładność przyrządów pomiarowych;

3. tworzenie się dodatkowych napięć;