TROCHĘ TEORII Z ANALIZY 1

EKSTEREMUM FUNKCJI

Warunek konieczny istnienia ekstremum (Twierdzenie Fermata)

Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum i pochodną

f '(x0), to f '(x0) = 0.

Funkcja f może mieć ekstremum jedynie w tych punktach, w których pochodna jest równa zeru, bądź w których nie istnieje.

I warunek wystarczający istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 oraz ma pochodną f '(x0) w pewnym sąsiedztwie

S(x0, δ) = S-(x0, δ)∪S+(x0, δ)

oraz

f '(x0) < 0 dla każdego x∈S-(x0, δ) i f '(x0) > 0 dla każdego x∈S+(x0, δ),

to funkcja f ma w punkcie x0 minimum (właściwe);

f '(x0) > 0 dla każdego x∈S-(x0, δ) i f '(x0) < 0 dla każdego x∈S+(x0, δ),

to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum (właściwe).

Mniej dokładnie określimy, że funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum, jeżeli pochodna

przechodząc przez punkt x0 zmienia znak.

II warunek wystarczający istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja f spełnia następujące założenia:

- ma pochodną f ''(x) w pewnym otoczeniu

U(x0, δ),

- f ''(x) jest ciągła w punkcie x0,

- f '(x0) = 0 i f ''(x0) ≠ 0,

to funkcja f ma w punkcie x0:

a) minimum właściwe, gdy f ''(x0) > 0

b) maksimum właściwe, gdy f ''(x0) < 0.

Funkcja przyjmuje w punkcie maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne), jeśli w pewnym otwartym otoczeniu tego punktu (np. w pewnym przedziale otwartym) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych).

Jeśli dodatkowo w pewnym otwartym sąsiedztwie punktu funkcja nie ma również wartości równych to jest to maksimum (odpowiednio: minimum) lokalne właściwe.

Minima i maksima lokalne są zbiorczo nazywane ekstremami lokalnymi.

Największa i najmniejsza wartość funkcji w całej dziedzinie nazywane są odpowiednio maksimum i minimum globalnym, a zbiorczo ekstremami globalnymi.

Istnieją funkcje nie posiadające ekstremów lokalnych ani globalnych, np. funkcja

Funkcja o wartościach w zbiorze uporządkowanym określona na przestrzeni topologicznej ma w punkcie tej przestrzeni:

minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie otwarte U punktu takie, że dla każdego

więc nie występują w okolicy punktu wartości funkcji mniejsze od (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe;

maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie otwarte punktu takie, że dla każdego

więc nie występują w okolicy punktu wartości funkcji większe od

(ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe;

właściwe minimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym punktu funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości większe od czyli nie ma wartości równych dla formalnie:

dla każdego

właściwe maksimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym punktu funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości mniejsze od formalnie:

dla każdego

Funkcja o wartościach w zbiorze uporządkowanym ma w punkcie swojej dziedziny:

minimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:

maksimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:

właściwe minimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:

czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu wartości większe od

właściwe maksimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:

czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu wartości mniejsze od

Nie każda funkcja posiada ekstrema. Jeśli funkcja nie jest ograniczona (np. ), to nie ma maksimum ani minimum globalnego – jeżeli nie jest ograniczona od góry, to nie ma maksimum globalnego; a jeżeli od dołu, to nie ma minimum globalnego.

Można też mówić o maksimach i minimach w podzbiorze dziedziny – są to wówczas największe lub najmniejsze wartości funkcji dla argumentów z tego podzbioru.

POCHODNE FUNKCJI

Narzędzie służące do badania przebiegu zmienności wartości funkcji, określonej na pewnym przedziale o wartościach rzeczywistych, przy zmianie jej argumentów. Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej, pochodna jest operatorem liniowym. Pojęcie pochodnej było uogólniane, na przykład na przestrzenie unormowane. Proces odnajdywania pochodnej nazywamy różniczkowaniem, a dział matematyki zajmujący się pochodnymi, ich własnościami i zastosowaniami rachunkiem różniczkowym.

Definicja

Niech będzie przedziałem otwartym i funkcja .

Jeśli dla pewnego istnieje skończona granica ilorazu różnicowego

to mówimy, że jest różniczkowalna w punkcie . Z kolei punkt nazywamy punktem różniczkowalności funkcji .

Wartość powyższej granicy nazywamy pochodną funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem . Czasem używa się też symboli:

Stosowane są również inne oznaczenia.

Przykład

Niech W oparciu o definicję wyznaczymy pochodną funkcji potęgowej w dowolnym punkcie .

Z punktu widzenia geometrii, różniczkowalność w punkcie oznacza istnienie stycznej do wykresu w punkcie nierównoległej do osi , zaś wartość jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej (w prostokątnym układzie współrzędnych tangensem jej kąta nachylenia do osi ).

Pochodną funkcji na przedziale można uważać za liczbową charakterystykę szybkości wzrostu danej funkcji (duża pochodna – stromy wykres, niewielka pochodna – wykres łagodnie wznoszący się, ujemna pochodna – wykres opadający itp.).

Różniczkowalność w zbiorze

Jeśli dziedziną funkcji jest zbiór otwarty i jeśli ma pochodną we wszystkich punktach tego przedziału, to nazywamy funkcją różniczkowalną na zbiorze , a funkcję , która każdej liczbie przyporządkowuje liczbę , nazywa się funkcją pochodnej (lub krócej pochodną) funkcji na tym zbiorze.

Tak więc pochodna funkcji w punkcie jest liczbą, natomiast pochodna funkcji w zbiorze jest funkcją.

Gdy funkcja opisuje pewien proces fizyczny, pochodna funkcji charakteryzuje intensywność tego procesu. Na przykład, jeśli jest funkcją drogi od czasu, to jej pochodna jest prędkością chwilową.

Jeśli jest funkcją prędkości od czasu, to jest przyspieszeniem.

Druga i dalsze pochodne

Jeżeli pochodna funkcji jest różniczkowalna, czyli sama posiada pochodną, to oznacza się ją przez i nazywa pochodną drugiego rzędu funkcji lub prościej drugą pochodną funkcji .

Podobnie określa się trzecią pochodną oraz kolejne. Jednak ze względu na czytelność zapisu apostrofami oznacza się jedynie pochodne do trzeciej włącznie (czasem tylko do drugiej). Dalsze pochodne oznacza się liczbami rzymskimi:

,

albo arabskimi – jednak w celu uniknięcia pomyłki z potęgą jej stopień ujmuje się w nawiasy:

Zgodnie z tą konwencją, samą funkcję oznacza się czasem jako jej własną "pochodną zerową":

W równaniach różniczkowych, niższe pochodne oznacza się również kropkami nad funkcją (zmienną w równaniach różniczkowych):

itp.

Dla funkcji liczbę nazywamy rzędem pochodnej.

n-krotna różniczkowalność

O funkcji, która ma drugą pochodną (w punkcie lub w przedziale), mówimy że jest dwukrotnie różniczkowalna (odpowiednio w punkcie lub przedziale). Podobnie dla dalszych pochodnych. Ogólnie, jeżeli funkcja ma pochodnych na zbiorze otwartym, to nazywamy ją n-krotnie różniczkowalną na tym zbiorze.

Klasa

Jeżeli funkcja w zbiorze otwartym ma pochodnych i n-ta pochodna jest ciągła na , to nazywamy funkcją klasy .

WŁASNOŚCI POCHODNYCH

Pochodna funkcji stałej równa jest zeru.
Funkcja różniczkowalna w jest w tym punkcie ciągła.

Podstawowe wzory

Niech będą różniczkowalne na zbiorze otwartym , zaś będzie ustalonym skalarem (tzw. stałą). Zachodzą wtedy poniższe wzory:

Iloraz jest funkcją różniczkowalną w zbiorze .
W tym wypadku zakładamy, że jest różniczkowalna na oraz jest różniczkowalna na .

Pojęcie pochodnej wprowadzane jest nie tylko dla funkcji o argumentach i wartościach rzeczywistych.

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcja	Pochodna	Uwagi

W niektórych z powyższych wzorów możliwe są uproszczenia, ale dotyczą one tylko dziedziny rzeczywistej. Podane wzory działają natomiast także w dziedzinie zespolonej.

Zastosowania

Pochodne funkcji mają szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach. Badając pewne nieskomplikowane obliczeniowo własności pochodnej otrzymać można informacje o bardziej złożonych własnościach funkcji pierwotnej. Przykładami mogą być:

matematyka – badania przebiegu zmienności funkcji, w tym szukanie jej ekstremów:
- monotoniczność funkcji – jeżeli w danym przedziale pochodna funkcji poza skończoną liczbą punktów przyjmuje wartości dodatnie, to funkcja w tym przedziale jest rosnąca, z kolei jeżeli w danym przedziale pochodna funkcji poza skończoną liczbą punktów przyjmuje wartości ujemne, to funkcja w tym przedziale jest malejąca, podobnie, jeśli pochodna w przedziale przyjmuje wartości nieujemne, funkcja jest w przedziale niemalejąca, a jeśli niedodatnie - nierosnąca,
- punkt, w którym pochodna zmienia znak jest punktem krytycznym funkcji,
- wypukłość funkcji – o ile w danym przedziale istnieje druga pochodna i jest ona nieujemna, to funkcja jest wypukła ("wypukła w dół"), gdy jest niedodatnia, to funkcja jest wklęsła ("wypukła w górę"),
- pierwiastki wielokrotne wielomianu bada się za pomocą miejsc zerowych kolejnych pochodnych (sprawdzenie dany punkt jest punktem przegięcia, czy ekstremum lokalnym),

CIĄGI

Ciąg arytmetyczny

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o danym pierwszym wyrazie a₁ i różnicy r:

Wzór na sumę

początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:

Ciąg geometryczny

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego o danym pierwszym wyrazie a₁ i ilorazie q:

Wzór na sumę

początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:

Granica ciągu

Jeżeli

oraz

to

Jeżeli ponadto

dla

oraz , to

Jeżeli , jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie , to ciąg sum jego początkowych wyrazów

ma granicę:

Definicja

Ciągiem nazywamy dowolną funkcję , gdzie , zaś X jest dowolnym zbiorem. Zwykle lub . Gdy zbiór I jest skończony, to ciąg również nazywamy skończonym, w przeciwnym wypadku zaś nazywa się go nieskończonym.

Terminologia i symbolika

Argumenty funkcji nazywa się indeksami ciągu, dlatego też zbiór nazywa się czasami zbiorem indeksów ciągu.

Wartości tej funkcji określa się mianem wyrazów ciągu, w miejsce zapisu stosuje się zazwyczaj zapis . Dla używane jest też określenie wyraz ogólny, w przeciwieństwie do „konkretnych” wyrazów: .

Jeżeli dla ciągu zachodzi potrzeba zaakcentowania informacji o zbiorze indeksów, to stosuje się oznaczenia: a jeśli to także jeśli zaś to też

Jeśli wyrazy ciągu są liczbami ( jest ciałem liczbowym), to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym. Jeśli istnieje potrzeba sprecyzowania zbioru liczb, np. całkowitych, rzeczywistych lub zespolonych, to ciąg nazywa się wówczas odpowiednio: całkowitoliczbowym, rzeczywistym lub zespolonym.

Jeśli wyrazami ciągu są funkcje, to mamy do czynienia z ciągami funkcyjnymi.

Proste przykłady

ciąg skończony:
ciąg o wartościach i na przemian:
ciąg kolejnych nieujemnych liczb parzystych:
ciąg kolejnych liczb pierwszych:

Definicja ciągu nie wyklucza, że jego elementy mogą się powtarzać. W ciągu z drugiego przykładu dwie jego wartości powtarzają się nieskończenie wiele razy.

Sposoby definiowania ciągów

Wypisanie kilku początkowych wyrazów

Jeśli reguła wiążąca kolejny indeks z wartością jest szczególnie prosta, definicja sprowadza się do wypisania kilku początkowych wyrazów:

W każdym z powyższych ciągów na podstawie poprzednich wyrazów można odgadnąć kolejny.

Jeżeli ciąg jest skończony, to czasem warto wypisać wszystkie wyrazy, a czasem kilka początkowych i końcowy, np.

Trzy końcowe kropki w takim zapisie oznaczają, że ciąg jest nieskończony; w przypadku skończonego ciągu koniecznie trzeba napisać końcowy wyraz.

Wzór na wyraz ogólny

W tym przypadku związek między indeksem n i wartością a_n daje się wyrazić w postaci pewnej funkcji a_n = f(n). Na przykład:

a_n = n − 2
b_n = 3ⁿ

Definicja tego rodzaju pozwala zapisać ciągi o powyższych wyrazach następująco:

Definicje rekurencyjne

W definicji rekurencyjnej wartość kolejnych elementów ciągu jest wyrażona w postaci funkcji zależnej od poprzednich wyrazów ciągu, tzn. Definicja ta wymaga podania k wartości początkowych Na przykład:

ciąg arytmetyczny: , gdzie s,r są dane;
ciąg geometryczny: , gdzie s,q są dane;
ciąg Fibonacciego: .

Nieco ogólniejszą definicją jest Na przykład:

ciąg kolejnych silni (0!, 1!, 2!, 3!, …):

Do definiowania ciągu niekiedy wykorzystuje się inny wcześniej dany ciąg. Jeśli c jest pewnym ciągiem, to nowy ciąg można zdefiniować następująco a_n = f(c_n,a_n _{− 1}). Metoda ta prowadzi m.in. do dwóch ważnych klas ciągów:

szereg (liczbowy):
Zazwyczaj zapisuje się to w jawnej postaci , czyli jako ciąg sum częściowych. Jest to jednak tylko pozorne ominięcie rekurencyjnej natury definicji. Jeżeli ciąg c jest ciągiem funkcyjnym, to a jest szeregiem funkcyjnym.
iloczyn nieskończony:

Podział na różne definicje jest raczej umowny, a wybór definicji danego ciągu wynika z jego specyfiki; co więcej: wiele ciągów można definiować na kilka sposobów, np.

ciąg arytmetyczny można zdefiniować jawnie: a_n = f(n) = a₁ + (n − 1)r;
ciąg silni można zdefiniować wzorem:
ciąg naprzemienny a_n = ( − 1)ⁿ można zdefiniować rekurencyjnie

Ważniejsze typy ciągów

Ciąg stały - funkcja stała o wartościach w zbiorze .
Jeżeli warunek na „stałość” funkcji można zapisać tak: dla dowolnego .
Ciąg monotoniczny (rosnący, malejący, niemalejący, nierosnący) - funkcja monotoniczna o wartościach w zbiorze z pewnym porządkiem liniowym (np. zbiór liczb rzeczywistych).
Dla ciągów warunek na monotoniczność można zapisać prościej. Np. dla ciągu rosnącego ma on postać (jeżeli ): dla dowolnego .
Ciąg ograniczony - funkcja ograniczona o wartościach w zbiorze z pewnym porządkiem liniowym (np. zbiór liczb rzeczywistych).
Ciąg zbieżny - ciąg mający granicę (właściwą). Jest funkcją o wartościach w dowolnych przestrzeniach metrycznych a nawet w przestrzeniach topologicznych. Ciągi, które nie są zbieżne, nazywa się ciągami rozbieżnymi.
ciąg Cauchy'ego - ciąg spełniający warunek Cauchy'ego. Jest funkcją o wartościach w dowolnych przestrzeniach metrycznych, a nawet w dowolnych przestrzeniach liniowo-topologicznych.
ciąg zstępujący - ciąg podzbiorów pewnego zbioru, które spełniają warunek zawierania każdego wyrazu w wyrazie go poprzedzającym.

Zdarza się, że do zdefiniowania kolejnego wyrazu ciągu wymagane są jawne wartości wszystkich wcześniejszych wyrazów, tzn. . Oczywiście ze względu na zmienną ilość argumentów funkcji musi ona sama być zdefiniowana rekurencyjnie. Przykładem jest

ciąg liczb Bernoulliego, zadany równaniem

Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

Granica (właściwa) i zbieżność

Niech (a_n) będzie ciągiem (skończonym bądź nieskończonym) liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę g nazywa się granicą ciągu (a_n), jeżeli

gdzie symbol oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej, bądź moduł liczby zespolonej.

W interpretacji geometrycznej powyższa nierówność dla liczb zespolonych oznacza w istocie, że wybrane jw. wyrazy a_n leżą w kole z kolei dla liczb rzeczywistych oznacza ona, że leżą one w przedziale który jest odpowiednikiem koła dla osi liczbowej.

Powyższy formalny warunek można więc wysłowić następująco:

dla dowolnej dodatniej liczby istnieje taki wskaźnik N, że dla wszystkich wskaźników n większych od N wyrazy a_n leżą w kole o środku g i promieniu

Granicę ciągu (a_n) oznacza się lub po prostu , a fakt, że g jest granicą ciągu (a_n), niekiedy oznacza się lub i czyta się: „ciąg a_n dąży do granicy g”.

Ciągi mające granice nazywa się zbieżnymi, a pozostałe – rozbieżnymi. Do badania ciągów rozbieżnych stosuje się pojęcie granicy górnej i dolnej, czyli największej i najmniejszej spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są sobie równe. Przydatne jest też pojęcie punktu skupienia. Jest ono uogólnieniem pojęcia granicy, bowiem każda granica jest punktem skupienia, ale nie na odwrót.

Niekiedy, dla odróżnienia od granicy niewłaściwej opisanej w kolejnej sekcji, granicę ciągu zbieżnego do pewnej liczby rzeczywistej lub zespolonej (nazywanej wtedy „skończoną”, w przeciwieństwie do dwóch lub jednej „liczb nieskończonych”) nazywa się granicą właściwą.

Granice niewłaściwe

Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie granicy niewłaściwej. Są to te ciągi, których wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie; można powiedzieć, że dążą one do punktu w nieskończoności. Jest to związane z pojęciem uzwarcenia (kompaktyfikacji) zbiorów liczb rzeczywistych lub zespolonych (zależnie od wyrazów danego ciągu). Często tego rodzaju rozszerzenie umożliwia ogólniejsze ujęcie definicji i własności związanych z granicami ciągów.

W przypadku granic niewłaściwych zbiór liczb rzeczywistych zostaje rozszerzony o dwa nowe elementy oznaczane . Topologicznie w efekcie takiej operacji uzyskuje się zbiór homeomorficzny z odcinkiem domkniętym. Rozszerzony w ten sposób zbiór oznacza się zazwyczaj . W przypadku granicy niewłaściwej zbiory liczb rzeczywistych bądź zespolonych są rozszerzone o nowy element oznaczany symbolem . Topologicznie rozszerzenie tego typu jest homeomorficzne odpowiednio z okręgiem lub ze sferą. Tak rozszerzony zbiór oznacza się zazwyczaj lub a rozszerzony zbiór oznacza się lub .

Mówi się, że ciąg (a_n) ma granicę niewłaściwą w lub jest rozbieżny do jeżeli

Można wysłowić to następująco: dla dowolnie dużego koła o środku w 0 prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n leżą na zewnątrz tego koła.

Jeżeli (a_n) jest ciągiem liczb rzeczywistych i wszystkie wyrazy jego a_n o indeksach większych od N są dodatnie, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w bądź że jest rozbieżny do jeżeli są ujemne, to ma on granicę niewłaściwą w lub że jest rozbieżny do Równoważnie można powiedzieć, że ciąg (a_n) ma

granicę niewłaściwą w , jeżeli

granicę niewłaściwą w , jeżeli

Przykłady

Granicą ciągu (1,2,5,13) jest liczba 13. W ogólności granicą ciągu skończonego jest jego ostatni wyraz.
Granicą ciągu jest 0.

Dla dowolnego wystarczy za N wziąć dowolną liczbę naturalną większą od ^[1] Wówczas dla dowolnego wskaźnika n > N otrzymuje się czyli

Przykładowo dla wszystkie wyrazy ciągu oddalone są od zera o nie więcej niż

Granicą ciągu jest 1.

Dla dowolnego wystarczy za N wziąć dowolną liczbę naturalną większą od Wtedy dla dowolnego indeksu n > N zachodzi czyli skąd

Przykładowo dla wszystkie wyrazy ciągu są oddalone od jedynki nie więcej niż o

Ciąg a_n = n jest rozbieżny, ale ma granicę niewłaściwą .
Ciąg a_n = n( − 1)ⁿ jest rozbieżny, ale ma granicę niewłaściwą .
Ciągi a_n = ( − 1)ⁿ oraz są rozbieżne i nie mają żadnej granicy – ani właściwej, ani niewłaściwej, przy czym ich granicami dolną i górną są odpowiednio − 1 oraz 1; w obu przypadkach liczby te są punktami skupienia tych ciągów.
Ciąg a_n = {nπ}, gdzie oznacza część ułamkową liczby, ma granicę dolną 0 i górną 1, każdy punkt przedziału [0,1] jest punktem skupienia.

Własności

Ciąg ma najwyżej jedną granicę (właściwą).
Jeśli ciąg ma granicę właściwą, to jest on ograniczony. Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bądź zespolonych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony.
Dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
Jeśli ciągi (a_n) i (b_n) są zbieżne oraz dla każdego naturalnego n, to
Twierdzenie o trzech ciągach: jeśli ciągi (a_n) i (c_n) są zbieżne do wspólnej granicy g, przy czym dla każdego naturalnego n, to ciąg (b_n) również jest zbieżny i to do granicy g.
Jeśli ciągi są ciągami zbieżnymi odpowiednio do a oraz do b, to wykonalne są działania:
- o ile tylko oraz dla każdego n.

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa: z każdego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.
Każdy liczbowy ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę.^[2]

Ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego. Ciąg Cauchy'ego – ciąg elementów przestrzeni metrycznej (najczęściej zbioru liczb rzeczywistych) spełniających tzw. warunek Cauchy'ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Augustina Cauchy'ego.

W ogólności warunek Cauchy'ego mówi, iż kolejne elementy ciągu zbliżają się do siebie. Dokładniej, zaniedbując dostateczną (lecz nadal skończoną) liczbę elementów można ograniczyć odległości między pozostałymi elementami do odległości mniejszej niż jakakolwiek ustalona wcześniej wartość dodatnia.

Innymi słowy, wybierając ustaloną dodatnią liczbę rzeczywistą można, bez względu na to jak mała będzie wartość , wyrugować z ciągu Cauchy'ego pewną skończoną liczbę elementów, po których dowolna para pozostałych wyrazów będzie w odległości mniejszej niż .

Ponieważ definicja ciągu Cauchy'ego korzysta z pojęcia odległości, to pojęcie to w podanym sformułowaniu może być rozważane wyłącznie w przestrzeniach metrycznych. Uogólnia się je jednak na inne struktury matematyczne, m.in. na przestrzenie liniowo-topologiczne, przestrzenie jednostajne, czy też grupy.

Użyteczność ciągów Cauchy'ego polega przede wszystkim na tym, że w przestrzeni zupełnej (gdzie wszystkie ciągi tego typu są zbieżne), dają one użyteczne kryterium zbieżności zależne wyłącznie od wyrazów tego ciągu. Fakt ten wykorzystuje się często w algorytmach, zarówno teoretycznych jak i stosowanych, gdzie można łatwo wykazać zbieżność procesu iteracji poprzez wskazanie ciągu Cauchy'ego złożonego z poszczególnych iteracji.

Powyższe intuicje nie są tak obce, jak mogłyby wydawać się na pierwszy rzut oka. Przystanie na fakt, że każda liczba rzeczywista x ma rozwinięcie dziesiętne, jest przyznaniem, że pewien ciąg Cauchy'ego liczb wymiernych (którego wyrazy są kolejnymi obcięciami rozszerzenia dziesiętnego) ma granicę będącą określoną liczbą rzeczywistą. Na podobnej zasadzie ciągi Cauchy'ego posłużyły Georgowi Cantorowi do formalnej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych.

Granica funkcji – nieformalnie, wartość do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy'ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

Granica w punkcie

Funkcja określona na zbiorze ma w punkcie skupienia x₀ tego zbioru granicę równą g, co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla dowolnego oraz ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do g przy

definicja Cauchy'ego

dla każdej liczby istnieje liczba δ > 0 taka, że dla każdego z nierówności 0 < | x − x₀ | < δ wynika nierówność w zapisie symbolicznym:

Granica jednostronna

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami w opozycji do ukazanej w tej sekcji obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna są sobie równe, to są one równe granicy obustronnej; twierdzenie odwrotne jest prawdziwe, jeżeli obie granice jednostronne istnieją.

Liczba g jest granicą lewostronną funkcji f w lewostronnym punkcie skupienia x₀ dziedziny, co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla dowolnego oraz ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do g przy

definicja Cauchy'ego

Liczba g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x₀, będącym prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji f, co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla dowolnego oraz ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do g przy

definicja Cauchy'ego

Granica niewłaściwa

Funkcja f ma w punkcie x₀ granicę niewłaściwą , co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu (x_n) takiego, że oraz ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do przy

definicja Cauchy'ego

Analogicznie definuje się i oznacza się granicę niewłaściwą : trzeba tylko wszędzie zamienić na , a definicję Cauchy'ego zapisać tak:

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.

Granica w nieskończoności

Funkcja f określona dla wszystkich ma w plus (minus) nieskończoności granicę g, co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla każdego oraz ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do g przy

definicja Cauchy'ego

Granica niewłaściwa w nieskończoności

Funkcja f określona na przedziale ma w nieskończoności granicę niewłaściwą , co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla każdego oraz ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do przy

definicja Cauchy'ego

Analogicznie definiuje się:

granicę niewłaściwą funkcji w
granicę niewłaściwą funkcji w
granicę niewłaściwą funkcji w

Własności

Jeśli funkcje f i g, określone na zbiorze , mają granice właściwe i , to:

gdy oraz

Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.

Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że nie oznacza, że istnieją granice czy W podanym przykładzie granica nie istnieje, natomiast

Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.

Jeśli funkcja ma w punkcie x₀ granicę , funkcja ma w punkcie y₀ granicę , przy czym x₀ i y₀ są odpowiednio punktami skupienia zbiorów oraz B, przy czym dla każdego x z pewnego sąsiedztwa punktu x₀, to .