Politechnika Warszawska

Wydział Geodezji i Kartografii

Ćwiczenie 1:

Projekt konstrukcji pomiarowej do wyznaczenia odchylenia osi komina od pionu.

Wykonał:

Mariusz Główka

Grupa 1a GiP

Sem. II 2010/2011

1. Proponowany sprzęt pomiarowy:

TOPCON IDS-201 : błąd odczytu - 2”,

błąd pomiaru długości - 2mm+2ppm,

powiększenie lunety – G=30,

kompensator dwuosiowy,

pionownik optyczny.

2. Proponowana metoda pomiaru:

- centrowanie pionownikiem optycznym (o błędzie e=1mm),

- pomiar kąta w 3 seriach,

- pomiar długości w 1 serii.

3. Średni błąd położenia punktu „G”:

Wielkość dopuszczalnej odchyłki została wyznaczona poprzez okrąg o promieniu r=5 mm.

Odchyłki graniczne ΔX oraz ΔY wyznaczone zostały z wzoru:

$X = Y = \frac{r}{\sqrt{2}} = 3,5\ mm$ wynikający z -> $r = \sqrt{{X}^{2} + {Y}^{2}}$

Błędy średnie m_x oraz m_y punktu „G” wyliczone są według:

$$m_{X} = m_{Y} = \frac{X}{r'} = 1,4\ mm$$

,gdzie r’ – współczynnik dwuwymiarowego rozkładu normalnego (dla prawdopodobieństwa P=0,95 r’ przyjmuje wartość 2,5)

Ostatecznie średni błąd położenia punktu „G” obliczony ze wzoru $m_{p} = \sqrt{m_{x}^{2} + m_{y}^{2}}$ przyjmuje wartość m_p = 2,0 mm.

4. Proponowana osnowa pomiarowa:

- osnowa posiada kształt trójkąta równobocznego,

- komin znajduję się w środku ciężkości tego trójkąta,

- każde z 3 stanowisk (punktów osnowy) oddalone jest od komina o d^St-D = 242,487 m,

- kąt obserwacji punktu „G” z dowolnego stanowiska wynosi α=30˚,

- odległość skośna punktu „G” od punktu osnowy wynosi d^St-G =280,000 m,

- bok osnowy posiada wartość 420,000 m,

- lokalny układ współrzędnych.

5. Obliczenie średnich błędów pomiaru kąta oraz błędu odległości (dane wyjściowe do analizy dokładności):

Wykorzystując wzór na średni błąd kąta w S seriach:

$$m_{kata} = \sqrt{\frac{m_{\text{cel}}^{2} + m_{\text{odcz}}^{2}}{S} + m_{\text{centr}}^{2}}$$

,gdzie: m_cel – błąd średni celowania (dla celowej komina przyjęto podwójną wartości

błędu),

m_odcz – błąd średni odczytu (wynikający ze specyfikacji sprzętu pomiarowego),

m_centr - błąd średni centrowania (wpływ średnich liniowych błędów centrowania

sygnału i sprzętu na błąd pomiaru kąta poziomego)

W powyższym wzorze uwzględniono brak zmian poziomowania i centrowania przed każdą serią.

Średni błąd pomiaru odległości : m_d = 2, 84 mm

Średni błąd odczytu : $m_{\text{odcz}} = 2"$

Średni błąd celowania na punkt osnowy: $m_{\text{cel}} = \frac{40"}{G} = 1,3"$

Średni błąd celowanie na punkt komina: $m_{\text{cel}(komin)} = 2*m_{\text{cel}} = 2,7"$

Średni błąd centrowania (z wzoru Helmerta) :

$$m_{\text{centr}} = \sqrt{\frac{\rho^{2}}{2p^{2}l^{2}}*\lbrack e_{\text{sygn}}^{2}*\left( p^{2} + l^{2} \right) + e_{sprzet}^{2}*(p^{2} + l^{2} - 2pl*\cos\left( \beta \right)\rbrack}$$

,gdzie: e – średni błąd liniowy centrowania,

l – długość lewego ramienia,

p– długość prawego ramienia,

β – mierzony kąt poziomy.

Wyznaczone błędy centrowania:

- gdy jedno z ramion kąta jest kierunkiem na osnowę, a drugie kierunkiem na punkt „G”

$$m_{\text{centr}} = 0,69"$$

- gdy jedno z ramion kąta jest kierunkiem na osnowę, a drugie kierunkiem na punkt „D”

$$m_{\text{centr}} = 0,78"$$

- gdy ramionami kąta są kierunki na punkty osnowy

$$m_{\text{centr}} = 0,60"$$

Wyliczone błędy kątów :

$$m_{G} = 2,04"$$

$$m_{D} = 2,08"$$

$$m_{\text{osn}} = 1,51"$$

Z uwagi na fakt, że kąty oparte na kominie są wyliczone jakoś średnia wartość kierunków z tworzących komina należy (według wzoru Gaussa) wyznaczyć błąd średni pomiaru kąta.

$$m_{SR} = \frac{m}{\sqrt{2}}$$

Ostateczne średnie błędy pomiaru kątów w zaprojektowanej osnowie pomiarowej:

$${m_{G}}^{Sr} = 1,47"$$

$${m_{D}}^{Sr} = 1,44"$$

$$m_{\text{osn}} = 1,51"$$

Powyższe błędy średnie kątów oraz średni błąd pomiaru długości posłużą do równoważenia układu równań obserwacyjnych.

6. Analiza dokładności:

Układ odniesienia – warunki obserwacyjne :

- stałość punktu „D” (zerowy błąd punktu „D” – wyznaczony błąd punktu „G” jest błędem względnym),

- stałość azymutu „D”-„2”.

Wyznaczenie współczynników równań obserwacyjnych:

Długości

Nr	P	K	ΔX [m]	ΔY [m]	d [m]	AP-K [˚]	sin A	cos A	σd [mm]
1	1	2	363,731	210,000	420,000	30,0000	0,50	0,87	2,84
2	2	3	-363,731	210,000	420,000	150,0000	0,50	-0,87	2,84
3	3	1	0,000	-420,000	420,000	0,0000	0	1,00	2,84

Kąty

Nr	C	L	P	AL	BL	AP	BP	σβ ["]
4	1	2	D	425,311	245,553	425,311	736,660	1,47
5	1	D	3	425,311	736,660	0,000	491,107	1,47
6	1	2	G	425,311	245,553	425,311	736,660	1,44
7	1	G	3	425,311	736,660	0,000	491,107	1,44
8	2	3	D	-425,311	245,553	-850,620	0,000	1,47
9	2	D	1	-850,620	0,000	-425,311	-245,553	1,47
10	2	3	G	-425,311	245,553	-850,620	0,000	1,44
11	2	G	1	-850,620	0,000	-425,311	-245,553	1,44
12	3	1	D	0,000	-491,107	425,311	-736,660	1,47
13	3	D	2	425,311	-736,660	425,311	-245,553	1,47
14	3	1	G	0,000	-491,107	425,311	-736,660	1,44
15	3	G	2	425,311	-736,660	425,311	-245,553	1,44
16	1	2	3	425,311	245,553	0,000	491,107	1,51
17	2	3	1	-425,311	245,553	-425,311	-245,553	1,51
18	3	1	2	0,000	-491,107	425,311	-245,553	1,51

Macierz współczynników „a”

a
Obs
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

Macierz zrównoważona „A”

A
Obs
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

A^TA
LP	dx1	dy1	dx2
1	0,944	-0,143	-0,115
2	-0,143	0,530	0,182
3	-0,115	0,182	0,572
4	-0,486	0,061	0,000
5	0,025	-0,334	-0,115
6	0,334	-0,079	-0,182
7	-0,420	0,145	-0,168
8	0,145	-0,252	0
9	-0,433	0,150	-0,173
10	0,150	-0,260	0,000
S	0	0	0
	0	0	0
	0	0	0,000

S – macierz warunków obserwacyjnych

(A^TA) ^-1
LP	dx1	dy1	dx2
1	2,111	0,062	0,404
2	0,062	3,655	-0,725
3	0,404	-0,725	2,674
4	0	0	0
5	0,588	1,321	0,404
6	-1,321	0,498	0,725
7	0	0	0
8	0	0	0
9	0,992	0,000	0,992
10	-0,535	1,220	0,000
S	1	0	1
	0	1	0
	0,0006	-0,0003	0

7. Wyliczone błędy położenia:

Pkt	mx [mm]	my [mm]	mp [mm]
1	1,45	1,91	2,40
2	1,64	0,00	1,64
3	1,45	1,91	2,40
D	0,00	0,00	0,00
G	1,4	1,3	1,9

Podsumowanie:

Wyznaczony błąd położenia punktu „G” m_p=1,9 mm spełnia założone wymagania dokładnościowe (jest mniejszy od błędu założonego m_p = 2mm).

Potwierdzić można zatem poprawność założonych błędów oraz konstrukcji osnowy.

Inną możliwą sytuacją spełnienia wymagań dokładności jest dwukrotne zwiększenie dokładności odczytu z jednoczesnym zmniejszeniem ilości serii pomiarowych kątów do 2. W wyniku tej operacji otrzymuje się (z dokładnością 0,1 mm) ten sam błąd położenia punktu „G”