Politechnika Gdańska

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska

Katedra Konstrukcji Betonowych

ĆWICZENIE PROJEKTOWE

PODSTAWY KONSTRUKCJI SPRĘŻONYCH

Temat nr 15

Wykonali:

Karol Franaszek

Robert Głodo

Semestr VII dyplomowy

Prowadzący:

dr inż. Marek Wesołowski

Gdańsk, rok akademicki 2014/15

Otrzymane dane do projektowania.

Nr tematu : 15

Długość efektywna : l_eff = 12, 0 [m]

Obciążenie użytkowe : q_k = 9, 0 [kN/m]

Klasa betonu : C30/37

Stal : Sploty ⌀15, 5 , odmiana II

Poziom naprężenia : η=0,52

Parametry materiałowe:

1. Beton :

f_cm = f_ck + 8 = 30 + 8 = 38 MPa

$$f_{\text{ctm}} = 0,3*\sqrt[3]{f_{\text{ck}}^{2}} = 0,3*\sqrt[3]{30^{2}} = 2,90\ MPa$$

E_cm = 32 GPa

1. Stal :

f_pk = 1370 MPa

$$f_{\text{pd}} = 0,9*\frac{f_{\text{pk}}}{\gamma_{p}} = 0,9*\frac{1370}{1,25} = 986,4\ MPa$$

E_p = 190 GPa

A_p1 = 141, 5 mm²

1.0. Geometria przekroju poprzecznego.

Celem ćwiczenia projektowego było zaprojektowanie przekroju dwuteowego.

Przyjęte następujące parametry przekroju :

1. Wysokość przekroju poprzecznego :

0, 04 * L_eff ≤ h ≤ 0, 06 * L_eff

0, 04 * 1200 = 48, 0 cm ≤ h ≤ 0, 06 * 1200 = 72 cm

Przyjęto : h = 70 cm

1. Grubość środnika :

0, 1 * h ≤ b_w ≤ 0, 12 * h

0, 1 * 70 = 7 cm ≤ b_w ≤ 0, 12 * 70 = 8, 4 cm

Przyjęto : b_w = 8 cm

1. Wysokość półki górnej :

0, 1 * h ≤ h_f^′ ≤ 0, 15 * h

0, 1 * 70 = 8 cm ≤ h_f^′ ≤ 0, 15 * 70 = 10, 5 cm

Przyjęto : h_f^′ = 10 cm

1. Szerokość półki górnej :

0, 4 * h ≤ b_f′≤0, 80 * h

0, 4 * 70 = 28 cm ≤ b_f′≤0, 80 * 70 = 56 cm

Przyjęto : b_f′ =48 cm

1. Wysokość półki dolnej :

0, 12 * h ≤ h_f ≤ 0, 20 * h

0, 12 * 70 = 8, 4 cm ≤ h_f ≤ 0, 20 * 70 = 14 cm

Przyjęto : h_f = 14 cm

1. Szerokość półki dolnej :

0, 3 * h ≤ b_f ≤ 0, 60 * h

0, 3 * 70 = 21 cm ≤ b_f ≤ 0, 60 * 70 = 42 cm

Przyjęto : b_f = 30 cm

Charakterystyki przekroju :

• Odległość środka ciężkości cięgien od krawędzi dolnej:

$$a_{p} = \frac{1}{2}*h_{f} = \frac{14}{2} = 7\ cm$$

• Pole przekroju betonowego:

A_c = h_f * b_f + h_f^′ * b_f^′ + (h − h_f − h_f^′)*b_w 

A_c = 14 * 30 + 10 * 48 + (70−14−10) * 8 = 1268 cm² = 0, 1268 m²

$$Sc = \frac{h_{f}^{2}}{2}*b_{f} + h_{f}^{'}*b_{f}^{'}*\frac{h - h_{f}^{'}}{2} + \left( h - h_{f} - h_{f}^{'} \right)*b_{w}*\left( \frac{h - h_{f} - h_{f}^{'}}{2} + h_{f} \right)$$

$$Sc = \frac{14^{2}}{2}*30 + 10*48*\frac{70 - 10}{2} + \left( 70 - 14 - 10 \right)*7*\left( \frac{70 - 14 - 10}{2} + 14 \right) = 47756\ cm^{3} = 0,04756\ m^{3}$$

• Odległość środka ciężkości przekroju betonowego od krawędzi:

$$v_{c} = \frac{S_{c}}{A_{c}} = \frac{0,04756}{0,1268} = 0,377\ m$$

v_c^′ = h − v_c = 0, 70 − 0, 377 = 0, 323

• Moment bezwładności przekroju betonowego:

$$I_{c} = \frac{b_{f}^{'}*h_{f}^{'3}}{12} + b_{f}^{'}*h_{f}^{'}*\left( v_{c}^{'} - \frac{h_{f}^{'}}{2} \right)^{2} + \frac{b_{w}*\left( h - h_{f} - h_{f}^{'} \right)^{3}}{12} + (b_{w}*\left( h - h_{f} - h_{f}^{'} \right)*\left( v_{c}^{'} - h_{f}^{'} - \frac{h - h_{f} - h_{f}^{'}}{2} \right)^{2} + \frac{b_{f}*h_{f}^{3}}{12} + b_{f}*h_{f}*\left( v_{c} - \frac{h_{f}}{2} \right)^{2}$$

$$I_{c} = \frac{48*10^{3}}{12} + 48*10*\left( 32,3 - \frac{10}{2} \right)^{2} + \frac{8*\left( 70 - 14 - 10 \right)^{3}}{12} + (8*\left( 70 - 14 - 10 \right)*\left( 32,3 - 10 - \frac{70 - 14 - 10}{2} \right)^{2} + \frac{30*14^{3}}{12} + 30*14*\left( 37,7 - \frac{14}{2} \right)^{2} = 829514\ cm^{4}$$

• Wskaźniki wytrzymałości przekroju betonowego:

$$\mathbf{W}_{\mathbf{c}} = \frac{I_{c}}{v_{c}} = \frac{829514}{37,3} = 22025cm^{3} = \mathbf{0,022025\ }\mathbf{m}^{\mathbf{3}}$$

$$\mathbf{W}_{\mathbf{c}}^{\mathbf{'}} = \frac{I_{c}}{v_{c}^{'}} = \frac{829514}{32,3} = 25652\ cm^{3} = \mathbf{0,025652\ }\mathbf{m}^{\mathbf{3}}\ $$

Rys. 1.0. Charakterystyka geometryczna przekroju

2.0. Obciążenia .

g_k = A_c * γ_c = 0, 1268 * 25 = 3, 17 kN/m

g_d = g_k * γ_f = 3, 17 * 1, 35 = 4, 28 kN/m

q_k = 9, 0 kN/m

q_d = q_k * γ_f = 9, 0 * 1, 5 = 13, 5 kN/m

3.0. Siły wewnętrzne .

M_gk = 0, 125 * g_k * L_eff² = 0, 125 * 3, 17 * 12, 0² = 57, 06 kNm

M_gd = 0, 125 * g_d * L_eff² = 0, 125 * 4, 28 * 12, 0² = 77, 03 kNm

M_qk = 0, 125 * q_k * L_eff² = 0, 125 * 9, 0 * 12, 0² = 162, 00 kNm

M_qd = 0, 125 * q_d * L_eff² = 0, 125 * 13, 5 * 12, 0² = 243, 00 kNm

M_k = M_gk + M_qk = 57, 06 + 162, 00 = 219, 06 kNm

M_d = M_gd + M_qd = 77, 03 + 243, 00 = 320, 03 kNm

4.0. Sprawdzenie poprawności kształtu.

1. Wskaźnik efektywności przekroju :

$$\mathbf{\rho} = \frac{W_{c} + W_{c}^{'}}{A_{c}*h} = \frac{0,022025\ + 0,025652}{0,1268*0,7} = \mathbf{0,5371}$$

0, 45 < ρ < 0, 55

Warunek spełniony

1. Wskaźnik tęgości :

$$\mathbf{\beta} = \frac{A_{c}}{h^{2}} = \frac{1268}{70^{2}} = \mathbf{0,259}$$

0, 18 < β < 0, 3

Warunek spełniony

5.0. Parametry sprężania.

z ≅ 0, 7 * h = 0, 7 * 70 = 49 cm

$$\mathbf{n}_{\mathbf{p}} = \frac{M_{d}}{z*f_{\text{pd}}*A_{p1}} = \frac{32003}{49*98,64*1,415} = \mathbf{4,67\ szt}.$$

Przyjęto n_p=5 szt.

A_p = n_p * A_p1 = 5 * 1, 415 = 7, 075 cm²

1. Warunek dla półki górnej :

$$A_{\min}^{'} = \frac{f_{\text{pd}}*A_{p}}{f_{\text{cd}}}\mathbf{\leq}b_{f}^{'}*h_{f}^{'}$$

$$A_{\min}^{'} = \frac{98,64*7,075}{2,143} = 325,68\ cm^{2}$$

b_f^′ * h_f^′ = 48 * 10 = 480 cm²

Warunek spełniony

1. Warunek dla półki dolnej :

A_min = 50 * A_p≤b_f * h_f

A_min = 50 * 7, 075 = 353, 75 cm²

b_f * h_f = 30 * 14 = 420 cm²

Warunek spełniony

1. Określenie siły sprężającej :

N_p = η * f_pk * A_p = 0, 52 * 137 * 7, 025 = 504, 02 kN

• Mimośród siły sprężającej działającej na przekrój betonowy :

e_p = v_c − a_p = 37, 7 − 7 = 30, 7cm

1. Parametry przekroju sprowadzonego :

$$\alpha_{p} = \frac{E_{p}}{E_{\text{cm}}} = \frac{190}{32} = 5,94$$

A_p = 7, 075 cm²

• Pole przekroju sprowadzonego:

A_cs = A_c + α_p * A_p = 1268 + 5, 94 * 7, 075 = 1310, 01 cm²

$$S_{\text{cs}} = S_{c} + \alpha_{p}*A_{p}*\frac{h_{f}}{2} = 47756 + 5,94*7,075*\frac{14}{2} = 48050,06\ cm^{3}$$

• Odległość środka ciężkości przekroju sprowadzonego od krawędzi:

$$v_{\text{cs}} = \frac{S_{\text{cs}}}{A_{\text{cs}}} = \frac{48050,06}{1268} = 36,7\ cm = 0,367\ m$$

v_cs^′ = h − v_cs = 0, 70 − 0, 367 = 0, 333 m

• Moment bezwładności przekroju sprowadzonego:

I_cs = Ic + A_c * (v_cs^′−v_c^′)² + α_p * A_p * (v_cs−a_p)

I_cs =  829514 + 1268 * (33,3−32,3)² + 5, 94 * 7, 025 * (36,7−7) = 887742, 89 cm⁴

• Wskaźniki bezwładności przekroju sprowadzonego

$$\mathbf{W}_{\mathbf{\text{cs}}} = \frac{I_{\text{cs}}}{v_{\text{cs}}} = \frac{887742,89}{36,7} = 23657,621\ cm^{3} = \mathbf{0,023658\ }\mathbf{m}^{\mathbf{3}}$$

$$\mathbf{W}_{\mathbf{\text{cs}}}^{\mathbf{'}} = \frac{I_{\text{cs}}}{v_{\text{cs}}^{'}} = \frac{887742,89}{33,3} = 26042,09\ cm^{3} = \mathbf{0,026042\ }\mathbf{m}^{\mathbf{3}}$$

$$\frac{I_{\text{cs}}}{I_{c}} = \frac{887742,89}{829514} = 1,07$$

$$\frac{W_{\text{cs}}}{W_{c}} = \frac{23657,62}{22025} = 1,07$$

$$\frac{W_{\text{cs}}^{'}}{W_{\text{cs}}} = \frac{26042,09}{25625} = 1,02$$

Rys. 1.1. Charakterystyka geometryczna przekroju sprowadzonego

6.0. Obliczenie naprężeń krawędziowych w poszczególnych stanach pracy.

1. Stan początkowy po sprężeniu :

$$\mathbf{\sigma}^{\mathbf{'}} = \frac{N_{p}}{A_{c}} - \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}^{'}} = \frac{504,023}{0,1268} - \frac{504,023*0,307}{0,02565} = - \mathbf{2,05\ MPa}$$

$$\mathbf{\sigma} = \frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}} = \frac{504,023}{0,1268} + \frac{504,02*0,307}{0,022025} = \mathbf{10,99\ MPa}$$

1. Stan początkowy z działaniem ciężaru własnego :

$$\mathbf{\sigma}^{\mathbf{'}} = \frac{N_{p}}{A_{c}} - \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}^{'}} + \frac{M_{\text{gk}}}{W_{\text{cs}}^{'}} = \frac{504,02}{0,1268} - \frac{504,02*0,307}{0,025652} + \frac{57,06}{0,026042} = - \mathbf{0,141\ MPa}$$

$$\mathbf{\sigma} = \frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}} - \frac{M_{\text{gk}}}{W_{\text{cs}}} = \frac{504,02}{0,1268} + \frac{504,02*0,307}{0,022025} - \frac{57,06}{0,023658} = \mathbf{8,580\ MPa}$$

1. Stan eksploatacji :

$$\mathbf{\sigma}^{\mathbf{'}} = \frac{N_{p}}{A_{c}} - \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}^{'}} + \frac{M_{\text{gk}} + M_{\text{qk}}}{W_{\text{cs}}^{'}} = \frac{504,02}{0,1268} - \frac{504,02*0,307}{0,025652} + \frac{57,06 + 162}{0,023658} = \mathbf{6,362\ MPa}$$

$$\mathbf{\sigma} = \frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}} - \frac{M_{\text{gk}} + M_{\text{qk}}}{W_{\text{cs}}} = \frac{504,02}{0,1268} + \frac{504,02*0,281}{0,022025} - \frac{57,06 + 162}{0,026042} = \mathbf{1,73\ MPa}$$

1. Stan dekompresji :

$$\sigma = 0 \rightarrow \frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}} - \frac{M_{\text{gk}} + M_{qk,de}}{W_{\text{cs}}} = 0$$

$$M_{qk,de} = \left( \frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}} \right)*W_{\text{cs}} - M_{\text{gk}}$$

$$M_{qk,de} = \left( \frac{504,02}{0,1268} + \frac{504,02*0,307}{0,022025} \right)*0,023658 - 57,06 = 202,98\ kNm$$

$$\mathbf{q}_{\mathbf{\text{de}}} = 8*\frac{M_{qk,de}}{L_{\text{ef}f^{2}}} = 8*\frac{202,98}{{12,0}^{2}} = \mathbf{11,277\ kN/m}$$

Komentarz : Aby uzyskać stan dekompresji należy oprócz obciążenia od ciężaru własnego przyłożyć obciążenie o wartości większej niż q_de = 11, 277 kN/m

$$\sigma^{'} = \frac{N_{p}}{A_{c}} - \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}^{'}} + \frac{M_{\text{gk}} + M_{qk,de}}{W_{\text{cs}}^{'}} = \frac{504,02}{0,1268} - \frac{504,02*0,307}{0,02565} + \frac{57,06 + 202,98}{0,026042} = 7,936\ MPa$$

$$\sigma = \frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}} - \frac{M_{\text{gk}} + M_{qk,de}}{W_{\text{cs}}} = \frac{504,02}{0,1268} + \frac{504,02*0,307}{0,022025} - \frac{57,06 + 202,98}{0,02366} = 0\ MPa$$

1. Stan zarysowania :

$$\sigma = f_{\text{ctm}} \rightarrow \frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}} - \frac{M_{\text{gk}} + M_{qk,cr}}{W_{\text{cs}}} = - f_{\text{ctm}}$$

$$M_{\text{cr}} = M_{\text{gk}} + M_{qk,cr} = \left( \frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}} + f_{\text{ctm}} \right)*W_{\text{cs}}$$

$$M_{\text{cr}} = \left( \frac{504,02}{0,1268} + \frac{504,02*0,307}{0,022025} + 2900 \right)*0,02366 = 328,56\ kNm$$

M_qk, cr = M_cr − M_gk = 328, 56 − 57, 06 = 271, 50 kNm

$$\mathbf{q}_{\mathbf{k,cr}} = 8*\frac{M_{qk,cr}}{L_{\text{ef}f^{2}}} = 8*\frac{271,50}{{12,0}^{2}} = \mathbf{15,08\ kN/m}$$

Komentarz : Aby uzyskać stan zarysowania należy oprócz obciążenia od ciężaru własnego przyłożyć obciążenie o wartości większej niż q_k, cr = 15, 08 kN/m

• Całkowite obciążenie powodujące zarysowanie elementu :

g_k + q_k, cr = 3, 17 + 15, 08 = 18, 25 kN/m

$$\mathbf{\sigma}^{\mathbf{'}} = \frac{N_{p}}{A_{c}} - \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}^{'}} + \frac{M_{\text{gk}} + M_{qk,cr}}{W_{\text{cs}}^{'}} = \frac{504,02}{0,1268} - \frac{504,02*0,307}{0,025652} + \frac{57,02 + 271,5}{0,026042} = \mathbf{10,56\ MPa}$$

$$\mathbf{\sigma} = \frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{{(N}_{p}*e_{p})}{W_{c}} - \frac{M_{\text{gk}} + M_{qk,cr}}{W_{\text{cs}}} = \frac{504,02}{0,1268} + \frac{504,02*0,307}{0,025652} - \frac{57,02 + 271,5}{0,026042} = \mathbf{- 2,61\ MPa}$$

7.0. Obliczenie wzrostu naprężeń w oraz siły w cięgnach z tytułu odkształceń w poszczególnych fazach pracy

1. Stan wyjściowy po sprężaniu:

$$\frac{\left| \sigma \right| + \left| \sigma' \right|}{h} = \frac{\sigma_{x} + \left| \sigma' \right|}{h - a_{p}}$$

$$\frac{\left| 10,55 \right| + \left| - 2,05 \right|}{70} = \frac{\sigma_{x} + \left| - 2,05 \right|}{70 - 7}$$

$$\sigma_{x} = \frac{63}{70}*\left( 10,55 + 2,05 \right) - 2,05 = 9,69\ MPa$$

$$\varepsilon_{x_{1}} = \frac{\sigma_{x}}{E_{\text{cm}}} = \frac{9,69}{32000} = 0,303*10^{- 3} = 0,303\ \% 0$$

$$\varepsilon_{p} = \frac{0,52*f_{\text{pk}}}{E_{p}} = \frac{0,56*1370}{190000} = 3,749*10^{- 3} = 3,749\ \% 0$$

1. Stan początkowy z działaniem ciężaru własnego:

$$\frac{\left| \sigma' \right| - \left| \sigma \right|}{h} = \frac{\sigma_{x} - \left| \sigma' \right|}{a_{p}}$$

$$\frac{\left| 8,58 \right| - \left| 0,1412 \right|}{70} = \frac{\sigma_{x} - \left| 0,1412 \right|}{7}$$

$$\sigma_{x} = \frac{7}{70}*\left( 8,58 - 0,1412 \right) + 0,1412 = 7,736\ MPa$$

$$\varepsilon_{x_{2}} = \frac{\sigma_{x}}{E_{\text{cm}}} = \frac{7,74}{32000} = 0,242*10^{- 3} = 0,242\ \% 0$$

ε_p = ε_x1 − ε_x2 = 0, 303 − 0, 242 = 0, 061 %0

σ_p = ε_p * E_p = 0, 061 * 10⁻³ * 190 * 10³ = 11, 588 MPa

N_p = σ_p * A_p = 1, 159 * 7, 025 = 8, 20 kN

$$\frac{N_{p} + N_{p}}{N_{p}} = \frac{507,02 + 8,20}{507,02} = 1,016$$

1. Stan eksploatacji:

$$\frac{\left| \sigma' \right| - \left| \sigma \right|}{h} = \frac{\sigma_{x} - \left| \sigma' \right|}{a_{p}}$$

$$\frac{\left| 6,36 \right| - \left| 1,73 \right|}{70} = \frac{\sigma_{x} - \left| 1,73 \right|}{7}$$

$$\sigma_{x} = \frac{7}{70}*\left( 6,36 - 1,73 \right) + 1,73 = 2,195MPa$$

$$\varepsilon_{x_{3}} = \frac{\sigma_{x}}{E_{\text{cm}}} = \frac{2,195}{32000} = 0,0686*10^{- 3} = 0,069\ \% 0$$

ε_p = ε_x1 − ε_x3 = 0, 303 − 0, 069 = 0, 234 %0

σ_p = ε_p * E_p = 0, 234 * 10⁻³ * 190 * 10³ = 44, 49 MPa

N_p = σ_p * A_p = 4, 449 * 7, 025 = 31, 47 kN

$$\frac{N_{p} + N_{p}}{N_{p}} = \frac{504,02 + 31,47}{504,02} = 1,062$$

1. Stan dekompresji:

$$\frac{\left| \sigma' \right|}{h} = \frac{\sigma_{x}}{a_{p}}$$

$$\frac{\left| 7,94 \right|}{70} = \frac{\sigma_{x}}{7}$$

$$\sigma_{x} = \frac{7}{70}*7,94 = 0,793\ MPa$$

$$\varepsilon_{x_{4}} = \frac{\sigma_{x}}{E_{\text{cm}}} = \frac{0,793}{32000} = 0,0248*10^{- 3} = 0,0248\ \% 0$$

ε_p = ε_x1 − ε_x4 = 0, 302 − 0, 0248 = 0, 278 %0

σ_p = ε_p * E_p = 0, 278 * 10⁻³ * 190 * 10³ = 52, 81 MPa

N_p = σ_p * A_p = 5, 281 * 7, 025 = 37, 362 kN

$$\frac{N_{p} + N_{p}}{N_{p}} = \frac{504,02 + 37,3628}{504,02} = 1,074$$

1. Stan zarysowania:

$$\frac{\left| \sigma' \right| + \left| \sigma \right|}{h} = \frac{\sigma_{x} + \left| \sigma \right|}{a_{p}}$$

$$\frac{10,56 + 2,62}{70} = \frac{\sigma_{x} + 2,62}{7}$$

$$\sigma_{x} = \frac{7}{70}*\left( 10,56 + 2,62 \right) - 2,62 = - 1,55\ MPa$$

$$\varepsilon_{x_{5}} = \frac{\sigma_{x}}{E_{\text{cm}}} = \frac{- 1,55}{3w000} = - 0,0484*10^{- 3} = - 0,0484\ \% 0$$

ε_p = ε_x1 − ε_x5 = 0, 336 − ( − 0, 0484)=0, 351 %0

σ_p = ε_p * E_p = 0, 351 * 10⁻³ * 190 * 10³ = 66, 724 MPa

N_p = σ_p * A_p = 6, 6724 * 7, 025 = 47, 21 kN

$$\frac{N_{p} + N_{p}}{N_{p}} = \frac{504,02 + 47,21}{504,02} = 1,094$$

8.0. Obliczenie naprężeń głównych na styku półki górnej i dolnej ze środnikiem w odległości 70 cm od podpory.

g_k + q_k = 9, 0 + 3, 17 = 12, 17 kN/m

R = 0, 5 * (g_k+q_k) * l_eff = 0, 5 * 12, 17 * 12, 0 = 73, 02 kN

V(h=0,65 m) = R − (g_k+q_k) * h = 73, 02 − 12, 17 * 0, 70 = 64, 501 [kN]

M(h=0,65 m) = R * h − 0, 5 * (g_k+q_k) * h² = 73, 02 * 0, 70 − 0, 5 * 12, 17 * 0, 70² = 48, 13 kNm

1. Styk półki górnej ze środnikiem

$$\sigma_{x} = \frac{N_{p}}{A_{c}} - \frac{N_{p}*e_{p}}{I_{c}}*\left( V_{c}^{'} - h_{f}^{'} \right) + \frac{M(h = 0,65)}{I_{\text{cs}}}*\left( {V^{'}}_{\text{cs}} - h_{f}^{'} \right)$$

$$\sigma_{x} = \frac{504,02}{0,1268} - \frac{504,02*0,307}{0,008295}*\left( 0,323 - 0,1 \right) + \frac{48,13}{0,008677}*\left( 0,333 - 0,1 \right) = 1,107\ MPa$$

S_cs^A = b_f^′ * h_f^′ * (V_cs^′−0,5*h_f^′) = 0, 48 * 0, 1 * (0,333−0,5*0,1) = 0, 0112 m³

$$\tau_{\text{xy}} = \frac{V\left( h = 0,65 \right)*S_{\text{cs}}^{A}}{I_{\text{cs}}*b_{w}} = \frac{64,501*0,0112\ }{0,008677*0,48} = 1,04\ MPa$$

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{1}} = \frac{\sigma_{x}}{2} + \sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{2} \right)^{2} + \tau_{\text{xy}}^{2}\ } = \frac{1,107}{2} + \sqrt{\left( \frac{1,107}{2} \right)^{2} + {1,04}^{2}} = \mathbf{1,732\ MPa}$$

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{2}} = \frac{\sigma_{x}}{2} - \sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{2} \right)^{2} + \tau_{\text{xy}}^{2}\ } = \frac{1,107}{2} + \sqrt{\left( \frac{1,107}{2} \right)^{2} + {1,04}^{2}} = \mathbf{- 0,625\ MPa}$$

1. Styk półki dolnej ze środnikiem

$$\sigma_{x} = \frac{N_{p}}{A_{c}} - \frac{N_{p}*e_{p}}{I_{c}}*\left( V_{c} - h_{f} \right) + \frac{M(h = 0,65)}{I_{\text{cs}}}*\left( V_{\text{cs}} - h_{f} \right)$$

$$\sigma_{x} = \frac{504,02}{0,1268} - \frac{504,02*0,306}{0,008295}*\left( 0,377 - 0,1 \right) + \frac{48,13}{0,008677}*\left( 0,367 - 0,1 \right) = 0,827\ MPa$$

S_cs^A = b_f * h_f * (V_cs−0,5*h_f) = 0, 48 * 0, 2 * (0,3367−0,5*0,1) = 0, 009535 m³

$$\tau_{\text{xy}} = \frac{V\left( h = 0,65 \right)*S_{\text{cs}}^{A}}{I_{\text{cs}}*b_{w}} = \frac{64,5*0,009535}{0,008677*0,48} = 0,887\ MPa$$

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{1}} = \frac{\sigma_{x}}{2} + \sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{2} \right)^{2} + \tau_{\text{xy}}^{2}\ } = \frac{0,827}{2} + \sqrt{\left( \frac{0,827}{2} \right)^{2} + {0,887}^{2}} = \mathbf{1,392\ MPa}$$

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{2}} = \frac{\sigma_{x}}{2} - \sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{2} \right)^{2} + \tau_{\text{xy}}^{2}\ } = \frac{0,827}{2} + \sqrt{\left( \frac{0,827}{2} \right)^{2} + {0,887}^{2}} = \mathbf{- 0,565\ MPa}$$

9.0. Wnioski.

• Naprężenia w przekroju nie przekraczają wartości wytrzymałości betonu z uwagi na rozciąganie f_ctm = 2, 9 MPa co świadczy o tym iż przekrój nie jest zarysowany. Aby przekrój został zarysowany należałoby przyłożyć obciążenie o wartości $q_{k,cr} = 15,08\frac{\text{kN}}{m}$

• Dobrany przekrój nie osiąga stanu dekompresji dla obciążenia przyjętego do wymiarowania w celu osiągnięcia stanu dekompresji wymagane jest obciążenie większe niż $q_{\text{de}} = 11,277\frac{\text{kN}}{m}$

• Naprężenia w betonie w żadnej z faz pracy nie przekraczają wartości 0, 7 * f_cm = 0, 7 * 38 = 26, 6 MPa