1. Blachownica
| obciążenie | obciążenie charakterystyczne | obciążenie charakterystyczne | wsółczynnik obciązenia | obciążenie obliczeniowe |
|---|---|---|---|---|
| kN/m2 | kN/m | kN/m | ||
| ciężar płyty betonowej | 2,80 | 37,80 | 1,35 | 51,03 |
| ciężar blachy trapezowej | 0,17 | 2,30 | 1,35 | 3,10 |
| ciężar IPE400 | 4,48 | 1,49 | 1,35 | 2,01 |
| ciezar wlasny blachownicy | 4,64 | 1,35 | 6,27 | |
| razem stałe | 46,23 | 62,41 | ||
| obciążenie montażowe | 0,75 | 10,13 | 1,50 | 15,19 |
| razem całkowiete | 56,35 | 77,59 |
| obciążenie | obciążenie charakterystyczne | obciążenie charakterystyczne | wsółczynnik obciązenia | obciążenie obliczeniowe |
|---|---|---|---|---|
| kN/m2 | kN/m | kN/m | ||
| ciężar płyty betonowej | 2,70 | 36,45 | 1,35 | 49,21 |
| ciężar blachy trapezowej | 0,17 | 2,30 | 1,35 | 3,10 |
| ciężar IPE400 | 4,48 | 1,49 | 1,35 | 2,01 |
| ciezar wlasny blachownicy | 4,64 | 1,35 | 6,27 | |
| ciężar instalacji - stałe | 1,00 | 13,50 | 1,35 | 18,23 |
| razem stałe | 58,38 | 78,81 | ||
| obciążenie zmienne - użytkowe | 2,80 | 37,80 | 1,50 | 56,70 |
| razem całkowiete | 96,18 | 135,51 | ||
| Przyłożone po zespoleniu | 51,30 | 74,93 |
Wymiary blachownicy przyjęto wg arkusza kalkujacyjnego:
$$\mathbf{M}_{\mathbf{c}\mathbf{,}\mathbf{\text{Rd}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{W}_{\mathbf{y}\mathbf{,}\mathbf{g}}\mathbf{\bullet}\mathbf{f}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{\gamma}_{\mathbf{M}\mathbf{1}}}$$
$$\mathbf{M}_{\mathbf{c}\mathbf{,}\mathbf{\text{Rd}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{31377 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 6}}\mathbf{\bullet 355 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{1,0}}\mathbf{= 11139}\mathbf{\text{kNm}}$$
Sprawdzenie stateczności ogólnej wykonano wg normy PN-EN-1993-1-1 według punktu 6.3.2.2. Natomiast wyznaczenie momentu krtycznego przy zwichrzeniu wykonano według PN-B-03200.
Współrzędna środka ścianania:
$$y_{s} = e - \frac{I_{1}}{I_{y}}h = 16,3\text{cm}$$
Biegunowy promień bezwładności:
$$i_{0} = \sqrt{i_{x}^{2} + i_{y}^{2}}$$
$$i_{0} = \sqrt{{72,5}^{2} + {7,4}^{2}} = 72,9\text{cm}$$
Biegunowy promień bezwładności względem środka ścinania:
$$i_{s} = \sqrt{i_{0}^{2} + y_{s}^{2}}$$
$$i_{s} = \sqrt{{72,9}_{}^{2} + {16,3}_{}^{2}} = 74,7\text{cm}$$
Siła krytyczna wyboczenia giętnego względem osi y-y:
$$N_{y} = \frac{\pi^{2} \bullet E \bullet I_{y}}{\left( \mu_{y} \bullet l \right)^{2}}$$
$$N_{y} = \frac{\pi^{2} \bullet 210 \bullet 10^{6} \bullet 32796{\bullet 10}^{- 8}}{\left( 1 \bullet 3 \right)^{2}} = 75449\text{kN}$$
Moment bezwładności przy skręcaniu:
$$I_{T} = \frac{1}{3}\left( b_{f1} \bullet t_{f1}^{3} + b_{f2} \bullet t_{f2}^{3} + b_{w} \bullet t_{f}^{3} \right)$$
IT = 1475
Wycinkowy moment bezwładności:
$$I_{\omega} = \frac{I_{1} \bullet I_{2} \bullet h^{2}}{I_{1} + I_{2}}$$
Iω = 259581159cm6
Siła krytyczna wyboczenia skrętnego belki, jako pręta ściskanego wokół osi z:
$$N_{z} = \frac{1}{i_{s}^{2}}\left( \frac{\pi^{2} \bullet E \bullet I_{\omega}}{\left( \mu_{\omega} \bullet l \right)^{2}} + G \bullet I_{T} \right)$$
$$N_{z} = \frac{1}{71,2^{2}}\left( \frac{\pi^{2} \bullet 210 \bullet 10^{6} \bullet 259581159 \bullet 10^{- 12}}{\left( 1 \bullet 3 \right)^{2}} + 81 \bullet 10^{6} \bullet 1475{\bullet 10}^{- 8} \right) = 109289\text{kN}$$
Współczynniki do obliczenia momentu krytycznego (belka wolnopodparta, moment zmienny liniowo):
Ramię asymetrii:
rx = 26, 7cm
Parametr zginania:
$$b_{y} = y_{s} - \frac{r_{x}}{2} = 2,9\text{cm}$$
Różnica współrzędnych środka ścinania i punktu przyłożenia obciążenia:
as = ys + a0 = 115, 3cm
Współczynniki:
A0 = A1 • by + A2 • as
A0 = 0, 61 • 0, 029 + 0, 53 • 1, 153 = 0, 629m
B = 1, 14
Moment krytyczny:
$$M_{\text{cr}} = \pm A_{0} \bullet N_{y} + \sqrt{\left( A_{0} \bullet N_{y} \right)^{2} + B^{2} \bullet i_{s}^{2} \bullet N_{y} \bullet N_{z}}$$
Mcr=39109kNm
Smuklość względna przy zwichrzeniu:
$${\overset{\overline{}}{\lambda}}_{\text{LT}} = \sqrt{\frac{W_{\text{el}.y} \bullet f_{y}}{M_{\text{cr}}}}$$
$${\overset{\overline{}}{\lambda}}_{\text{LT}} = \sqrt{\frac{31377 \bullet 10^{- 6} \bullet 355 \bullet 10^{3}}{39109}} = 0,53$$
Wartość parametru imperfekcji przy zwichrzeniu.
Dwuteownik spawany
$$\frac{h}{b} = \frac{180}{40} = 4,5 > 2$$
stąd krzywa zwichrzenia d:
αLT = 0, 76
Współczynnik zwichrzenia:
$$\phi_{\text{Lt}} = 0,5\left\lbrack 1 + \alpha_{\text{LT}}\left( {\overset{\overline{}}{\lambda}}_{\text{LT}} - 0,4 \right) + 0,75 \bullet {{\overset{\overline{}}{\lambda}}_{\text{LT}}}^{2} \right\rbrack$$
ϕLt = 0, 5[1+0,76(0,53−0,4)+0,75•0, 532] = 0, 658
stąd
$$\chi_{\text{Lt}} = \frac{1}{0,658 + \sqrt{0,658 - 0,75 \bullet {0,54}^{2}}} = 0,76$$
Warunki dodatkowe:
$\begin{matrix} \chi_{\text{Lt}} \leq 1\ ,\ \\ \chi_{\text{Lt}} \leq \frac{1}{{\overset{\overline{}}{\lambda}}_{\text{Lt}}^{2}} \\ \end{matrix}$ $\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\begin{matrix} 0,76 \leq 1\ \\ 0,76 \leq \frac{1}{{0,53}^{2}} = 3,43 \\ \end{matrix}$
Modyfikacja współczynnika zwichrzenia uwzględniająca rozkład kształtu wykresu momentów zginających.
$$\chi_{\text{Lt},\text{mod}} = \frac{\chi_{\text{Lt}}}{f}\text{\ \ \ \ \ l}\text{ecz\ \ \ }\chi_{\text{Lt},\text{mod}} \leq 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{wz}or\ 6.58\ \lbrack N3\rbrack\ $$
$$f = 1 - 0,5\left( 1 - k_{c} \right)\left\lbrack 1 - 2,0\left( {\overset{\overline{}}{\lambda}}_{\text{Lt}} - 0,8 \right)^{2} \right\rbrack,\ lecz\ f \leq 1$$
kc − wspolczynnik poprawkowy wg.Tablicy 6.6
f(kc=0,94) = 1 − 0, 5(1−0,94)[1−2,0(0,53−0,8)2] = 0, 974
Stąd:
$$\mathbf{\chi}_{\mathbf{\text{Lt}}\mathbf{,}\mathbf{\text{mod}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,76}}{\mathbf{0,974}}\mathbf{= 0,78}$$
Warunek nośności:
$$\frac{M_{\text{Ed}}}{{\chi_{\text{Lt},\text{mod}}M}_{c,\text{Rd}}} = \frac{8157}{0,78 \bullet 11139} = 0,94\ \ $$
Warunek spełniony
Obliczeniowa siła ścinająca:
VEd = 0, 5 • qd • L = 0, 5 • 77, 35 • 29 = 1121, 5[kN]
Af = bftf = 0, 3 • 0, 028 = 0, 0084m2
Aw = hwtw = 1, 8 • 0, 018 = 0, 0324m2
Określenie klasy przekroju przy ścinaniu wg PN-EN-1993-1-5:
η = 1, 2 dla stali gatunku S460 lub niższej.
Stąd:
$$\frac{h_{w}}{t_{w}} = \frac{1800}{18} = 100 > \frac{72}{\eta} \bullet \varepsilon = \frac{72}{1,2} \bullet 0,81 = 48,6$$
Należy zatem sprawdzić warunek stateczności:
$$V_{b,\text{Rd}} = V_{\text{bw},\text{Rd}} + V_{\text{bf},\text{Rd}} \leq \eta \bullet \frac{f_{\text{yw}}h_{w}t_{w}}{\sqrt{3}\gamma_{M1}}$$
Vbw, Rd−udział środnika w przenoszeniu ścianania
Vbf, Rd−udział pasów - założono, że pasy nie biorą udziału w przenoszeniu ścinania,
Stąd:
Vbf, Rd = 0
$$V_{\text{bw},\text{Rd}} = \frac{\chi_{w}f_{\text{yw}}h_{w}t_{w}}{\sqrt{3}\gamma_{M1}}$$
Dla żeber poprzecznych na podporach względna smukłość płytowa:
$$\overset{\overline{}}{\lambda_{w}} = \frac{h_{w}}{86,4t_{w}\varepsilon}$$
$$\overset{\overline{}}{\lambda_{w}} = \frac{180}{86,4 \bullet 1,8 \bullet 0,81} = 1,43$$
Stąd współczynnik niestateczności przy ścinaniu:
$$\chi_{w} = \frac{1,37}{\left( 0,7 + \overset{\overline{}}{\lambda_{w}} \right)} = 0,64$$
Zatem nośność ze względu na ścinanie:
$$V_{b,\text{Rd}} = V_{\text{bw},\text{Rd}} = \frac{0,64 \bullet 355 \bullet 1,8 \bullet 0,018}{\sqrt{3} \bullet 1} \bullet 10^{3} = 4250\lbrack\text{kN}\rbrack$$
$$\frac{V_{\text{Ed}}}{V_{b,\text{Rd}}} = \frac{1121\lbrack\text{kN}\rbrack}{4250\lbrack\text{kN}\rbrack} = 0,26 < 0,50 \leq 1,0$$
Warunek jest spełniona. Ponieważ $\frac{V_{\text{Ed}}}{V_{b,\text{Rd}}} < 0,50$ nie ma konieczności redukowania nośności na zginanie ze wzglądu na ścinanie.
Przyjęto sworznie Nelsona:
Wymagania normowe:
Pkt 6.6.5.7(1)
Pkt. 6.6.5.8(1)
Pkt. 6.6.5.8(2)
Pkt 6.6.4.2(3)
Obliczeniowa nośność na ścinanie łączników sworzniowych z łbem spawanych automatycznie (pkt 6.6.3.1(1))
Gdzie:
Współczynnik bezpieczeństwa dla elementów ścinanych
Współczynnik
Stąd:
Wytrzymałość stali S355 na rozciąganie:
Lecz należy przyjmować nie więcej niż 500MPa
Stąd
Otrzymano zatem nośnośc:
Współczynnik redukcyjny dla poszycia z blach ułożonych wzdłuż belek podporowych:
$$k_{l} = 0,6 \bullet \frac{b_{0}}{h_{p}}\left( \frac{h_{\text{sc}}}{h_{p}} - 1 \right) \leq 1$$
$$k_{l} = 0,6 \bullet \frac{0,36}{0,059}\left( \frac{0,1}{0,059} - 1 \right) = 2,5$$
Stąd
kl = 1
PRd = 64, 9kN
Siła poprzeczna obliczeniowa, od obciążeń przyłożonych po zespoleniu:
VEd = 1086, 4kN
Moment statyczny odciętej części przekroju: (płyta betonowa)
$$S_{c} = \frac{b_{\text{eff}}}{n} \bullet h_{c} \bullet \left( z_{x} + h_{p} + \frac{h_{c}}{2} \right)$$
$$S_{c} = \frac{7,25}{7} \bullet 0,061 \bullet \left( 0,42 + 0,059 + \frac{0,061}{2} \right) = 0,03219m^{3}$$
Moment bezwładności przekroju zespolonego:
Isc = 6728444 • 10−8m4
Długość ścinania:
Podłużna siła ścinająca
$$V_{l} = V_{\text{Ed}} \bullet \frac{S_{c}}{I_{\text{sc}}}$$
$$V_{l} = 1086,4 \bullet \frac{0,03219}{6728444 \bullet 10^{- 8}} = 519,7\frac{\text{kN}}{m}$$
Minimalna liczba łączników na długości ścinania:
$$n_{f} = \frac{V_{l}}{P_{\text{Rd}}} = \frac{519,7}{64,9} = 8\frac{1}{m}$$
Minimalna ilość łączników na 1m blachownicy to 8 szt.
Rozstaw sworzni zgodnie z rozkładem siły ścinającej. Założono 3 odcinki o różnych rozstawach.
Rozstaw sworzni dokonano wg wartości średniej na danym odcinku.
Liczba łączników na pierwszym odcinku:
$$n_{f1} = \frac{A_{v1}}{A_{v}} \bullet n_{f} = \frac{433 \bullet 4,83}{433 \bullet 4,83 + 256 \bullet 4,83 + 87 \bullet 4,83} \bullet 8 \bullet 14,5 = \frac{2091}{3748} \bullet 116 = 65$$
Liczba łączników na drugim odcinku:
$$n_{f2} = \frac{A_{v2}}{A_{v}} \bullet n_{f} = \frac{256 \bullet 4,83}{3748} \bullet 8 \bullet 14,5 = 39$$
Liczba łączników na trzecin odcinku:
$$n_{f3} = \frac{A_{v3}}{A_{v}} \bullet n_{f} = \frac{87 \bullet 4,83}{3748} \bullet 8 \bullet 14,5 = 13$$
Rozstaw łączników
$$a_{1} = \frac{4,83}{n_{f1}} = \frac{4,83}{65 \bullet 0,5} = 15cm$$
$$a_{2} = \frac{4,83}{n_{f2}} = \frac{4,83}{39 \bullet 0,5} = 25\text{cm}$$
$$a_{3} = \frac{4,83}{n_{f3}} = \frac{4,83}{13 \bullet 0,5} \cong 70\text{cm}$$
Sworznie w dwóch rzędzach.
Należy zaprojektować zbrojenie ze względu na ścinanie podłużne jakie wystepuje przy połączeniu belki z półką betonową.
Zbrojenie wyznaczono zgodnie z PN-EN-1992-1-1 pkt 6.2.4 Ścinanie między środnikiem i półkami.
Obliczeniowa siła ścinająca półkę przekroju teowego:
$$V_{\text{Ed}} = \frac{F_{d}}{x}$$
gdzie:
Fd - zmiana siły normalnej w półce betonowej na długości x,
x – długość, na której określa się zmianę siły normalnej.
Podłużną siłę ścinającą można obliczyć „na siłę” lub „na nośność”, tzn. z rozkładu momentu zginającego i powstającego na jego skutek przyrostu sił ściskających lub przyjąć ją w stosunku do maksymalnej siły ścinającej jaką może przenieść jeden sworzeń.
Siłę ścinającą przyjęto „na nośność”:
$$V_{\text{Ed}} = \frac{F_{d}}{x} = \frac{P_{\text{Rd}}}{s} = \frac{64,9}{0,07} = 927\ \lbrack kN/m\rbrack$$
Pole powierzchni zbrojenia rozciąganego wg 6.2.4(4) [N5]:
$$\frac{A_{\text{sf}}f_{\text{yd}}}{s_{f}} > \frac{V_{\text{Ed}}}{\cot\theta_{f}}$$
gdzie:
sf – rozstaw zbrojenia rozciąganego,
θf – kąt między ściskanymi krzyżulcami betonowymi i rozciąganym zbrojeniem w modelu obliczeniowym ścinanej podłużnie płyty betonowej. Wartość zalecana dla ściskanych półek betonowych mieści się w przedziale 26,50 do 450
gdzie:
Dla zbrojenia poprzecznego płyty Ф8/150 + Ф12/150 otrzymujemy:
$$A_{sf,8} = \frac{0,008 \bullet \pi^{2}}{4} = 0,502 \bullet 10^{- 4}m^{2}$$
$$A_{sf,10} = \frac{0,012 \bullet \pi^{2}}{4} = 1,13 \bullet 10^{- 4}m^{2}$$
$$\frac{A_{\text{sf}}f_{\text{yd}}}{s_{f}} = \left( 0,50 \bullet 10^{- 4} + 1,13 \bullet 10^{- 4} \right) \bullet \frac{435 \bullet 10^{3}}{0,15} = 472,7\ \frac{\text{kN}}{m}$$
$$\frac{V_{\text{Ed}}}{\text{cotθ}} = \frac{0,5 \bullet 927}{1,0} = 463,5\frac{\text{kN}}{m}$$
$$472,7\ \frac{\text{kN}}{m} > 463,5\frac{\text{kN}}{m}$$
Warunek spełniony.
Zgodnie z powyższym rozciągane pręty zbrojeniowe mają wystarczającą nośność.
Sprawdzenie w jakiej odległości od osi belki siłę podłużną przeniosie tylko siatka zbrojeniowa
Q335.
Dla zbrojenia poprzecznego płyty Ф8/150 otrzymujemy nośność:
$$A_{sf,8} = \frac{0,008 \bullet \pi^{2}}{4} = 0,502 \bullet 10^{- 4}m^{2}$$
$$\frac{A_{\text{sf}}f_{\text{yd}}}{s_{f}} = \left( 0,50 \bullet 10^{- 4} \right) \bullet \frac{435 \bullet 10^{3}}{0,15} = 145\frac{\text{kN}}{m}$$
Siła poprzeczna obliczeniowa, od obciążeń przyłożonych po zespoleniu:
VEd = 1086, 4kN
Moment statyczny odciętej części przekroju: (1/2 płyty betonowej)
$$S_{c} = \frac{b_{\text{eff}}}{n} \bullet h_{c} \bullet \left( z_{x} + h_{p} + \frac{h_{c}}{2} \right)$$
$$S_{c} = \frac{7,25}{2 \bullet 7} \bullet 0,061 \bullet \left( 0,42 + 0,059 + \frac{0,061}{2} \right) = 0,0161m^{3}$$
Podłużna siła ścinająca
$$V_{l} = V_{\text{Ed}} \bullet \frac{S_{c}}{I_{\text{sc}}}$$
$$V_{l} = 1086,4 \bullet \frac{0,0161}{6728444 \bullet 10^{- 8}} = 260\frac{\text{kN}}{m}$$
$$\frac{V_{l}}{\text{cotθ}} = \frac{0,5 \bullet 260}{1,0} = 130\frac{\text{kN}}{m}$$
$$145\ \frac{\text{kN}}{m} > 130\frac{\text{kN}}{m}$$
Zatem w odległości:
$$\frac{\mathbf{b}_{\mathbf{\text{eff}}}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{7,25}}{\mathbf{4}}\mathbf{= 1,8}\mathbf{m}$$
od osi blachownicy ścinanie przeniesie już sama siatka Q335.
Nośność ściskanych krzyżulców betonowych sprawdza się korzystając ze wzoru z pkt. 6.2.4(4) [N5]:
vfcdsinθfcosθfhf > VEd
Gdzie:
$$v = 0,6\left( 1 - \frac{f_{\text{ck}}}{250} \right)$$
$$v = 0,6 \bullet \left( 1 - \frac{20}{250} \right) = 0,552\ $$
Stąd:
$$vf_{\text{cd}}\text{sinθcosθ}h_{f} = 0,552 \bullet 13,3 \bullet 10^{3} \bullet \frac{\sqrt{2}}{2} \bullet \frac{\sqrt{2}}{2} \bullet 0,061 = 223,9\ \left\lbrack \text{kN} \right\rbrack$$
VEd = 0, 5 • 927 = 473 [kN]
Nośność ściskanych krzyżulców betonowych nie jest wystarczająca.
Należy zastosować beton wyższej klasy lub zwiększyć grubość płyty betonowej, aby spełnić warunek nośności.
Można też wykonać dokładne obliczenia ścianania podłużnego „na siłę” a nie „na nośność” sworzni.
Politechnika Wrocławska Wrocław, 20.12.2012
Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego
Katedra Konstrukcji metalowych
Konstrukcje zespolone
Projekt stropu zespolonego
Autor:
Damian Wujczak
album: 162217
Sprawdził:
dr inż. Wojciech Lorenc