POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej
Laboratorium Podstaw Telekomunikacji Ćwiczenie nr 1 Temat: „Pomiar widma częstotliwościowego różnych sygnałów elektrycznych”
Rok akademicki:2013/2014 Wydział Elektryczny Studia dzienne inżynierskie Nr grupy: E4/1
Uwagi:

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z obsługą analizatora widma oraz powtórzenie informacji o analizie częstotliwościowej sygnałów. W trakcie ćwiczenia analizowane zostaną widma wybranych sygnałów stosowanych w torach transmisji przewodowych oraz bezprzewodowych o częstotliwościach od 150 kHz do 3 GHz. Do generacji sygnałów zostaną wykorzystane jednostka GFR-1300, generator GFG-3015, telefon komórkowy oraz CB Radio. W sposób doświadczalny zostaną określone zależności pomiędzy widmem sygnału, a jego parametrami takimi jak: kształt, amplituda i częstotliwość.

Wstęp teoretyczny

Transformata Fouriera

Transformata Fouriera oraz jej transformata odwrotna są zdefiniowane następującą parą równań:

X(f) = ∫_−∞^+∞x(t)e^−j2πftdt oraz x(t)=∫_−∞^+∞X(f)e^j2πftdf

X(f) jest tzw. widmem zespolonym Fouriera sygnału x(t) lub transformatą x(t). Zawiera ona w sobie informacje o zawartości poszczególnych częstotliwości w sygnale (f jest wartością w Hz). W wyniku transformacji Fouriera dokonujemy dekompozycji (rozłożenia sygnału) na jego składowe o różnych częstotliwościach. Widmo X(f) dla danej f powstaje w wyniku scałkowania iloczynu funkcji x(t) i harmonicznej składowej e^-j2πft = cos(2πft) - jsin(2πft). Funkcja e^-j2πft nazywana jest ogólniej funkcją bazową przekształcenia Fouriera. Jest to funkcja zespolona dlatego widmo jest funkcją zespoloną i można je zapisać w postaci:

X(f) = Re{X(f)} + j Im{X(f)} = |X(f)|e^jφt

Przy czym:

$\left| X\left( f \right) \right| = \sqrt{{Re\{ X\left( f \right)\}}^{2} + {Im\{ X\left( f \right)\}}^{2}}$ oraz $\varphi = arctg\frac{Im\{ X\left( f \right)\}}{Re\{ X\left( f \right)\}}$

Transformata Fouriera pozwala na analizę częstotliwościową sygnałów nieokresowych.

Szereg Fouriera

W przypadku rzeczywistych sygnałów okresowych o okresie T funkcję x(t) można przedstawić za pomocą szeregu Fouriera:

$X\left( kf_{1} \right) = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{x\left( t \right)e^{- j2\pi(kf_{1})t}\text{dt}}$ oraz $x\left( t \right) = \sum_{k = - \infty}^{\infty}{X(kf_{1})e^{j2\pi\left( kf_{1} \right)t}}$

Z granicy całkowania wzoru po lewej można wywnioskować, że w tym przypadku analizie częstotliwościowej zostaje poddany tylko i wyłącznie jeden okres funkcji x(t). Sygnał zostaje rozbity na częstotliwość $f_{1} = \frac{1}{T}$ oraz jej wielokrotności. Częstotliwość f₁ nazywana jest pierwszą harmoniczną lub harmoniczną podstawową, k-krotna wielokrotność częstotliwości f₁ nazywana jest k-tą harmoniczną sygnału. Jeżeli oznaczymy we wzorze po prawej stronie k-tą harmoniczną jako c_k :

Podstawiając postać algebraiczną c_k otrzymujemy:

$$x\left( t \right) = a_{0} + 2\sum_{k = 1}^{\infty}\left\lbrack a_{k}\cos{\left( 2\pi\left( kf_{1} \right)t \right) + b_{k}\sin\left( 2\pi\left( kf_{1} \right)t \right)} \right\rbrack$$

gdzie:

$$a_{0} = c_{0} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{x\left( t \right)\text{dt}}\mathrm{;\ \ \ \ }a_{k} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{x\left( t \right)\cos\left( 2\pi\left( kf_{1} \right)t \right)\text{dt}}\mathrm{;\ \ \ \ \ }b_{k} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{x\left( t \right)\sin\left( 2\pi\left( kf_{1} \right)t \right)\text{dt}}$$

Postać ta określana jest mianem trygonometrycznego szeregu Fouriera. Widmo sygnałów okresowych rozłożonych na składowe harmoniczne jest funkcją dyskretną w dziedzinie częstotliwości. Zgodnie ze wzorem składowa zerowa a₀ jest równa wartości średniej funkcji za okres. Nazywana jest także składową stałą ponieważ jest wartością stałą w czasie.

Przebieg ćwiczenia

Badanie widma podstawowych sygnałów elektrycznych

Analiza widma sygnału sinusoidalnego

Układ pomiarowy z jednostką GRF-1300

Rysunek 3.1 Schemat ideowy podłączenia jednostki GRF-1300 z analizatorem GSP-730 i oscyloskopem GDS-1022 .

Z jednostki GFR – 1300 podano sygnał na analizator GSP – 730. Sygnał był przesyłany przewodem BNC.

Analiza widma innych sygnałów

Rozkładając przebieg prostokątny na szereg Fouriera otrzymujemy:

$$a_{0} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{x\left( t \right)dt = \frac{2}{T}}\left\lbrack \int_{0}^{\frac{T}{2}}A + \int_{\frac{T}{2}}^{T}{- A} \right\rbrack = 0$$

$$a_{k} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{x\left( t \right)\cos\left( 2\pi\left( kf_{1} \right)t \right)\text{dt}} = \frac{2A}{T}\left\lbrack \int_{0}^{\frac{T}{2}}{\cos{\left( 2\pi\left( kf_{1} \right)t \right)\text{dt}}} - \int_{\frac{T}{2}}^{T}{\cos{\left( 2\pi\left( kf_{1} \right)t \right)\text{dt}}} \right\rbrack = 0$$

$$b_{k} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{x\left( t \right)\sin\left( 2\pi\left( kf_{1} \right)t \right)\text{dt}} = \frac{2A}{T}\left\lbrack \int_{0}^{\frac{T}{2}}{\sin{\left( 2\pi\left( kf_{1} \right)t \right)\text{dt}}} - \int_{\frac{T}{2}}^{T}{\sin{\left( 2\pi\left( kf_{1} \right)t \right)\text{dt}}} \right\rbrack =$$

$${= \frac{A}{\text{πk}}\left\lbrack \left. \ \cos\left( 2\pi\left( kf_{1} \right)t \right) \right|_{0}^{\frac{T}{2}} - \left. \ \cos\left( 2\pi\left( kf_{1} \right)t \right) \right|_{\frac{T}{2}}^{T} \right\rbrack =}{= \frac{A}{\text{πk}}\left\lbrack \sin\left( \text{πk} \right) - 0 - \sin\left( 2k\pi \right) + \sin\left( \text{πk} \right) \right\rbrack = \left\{ \begin{matrix} 0\mathrm{\text{\ \ \ \ dla\ \ \ \ parzystych\ k}} \\ \frac{2A}{\text{πk}}\mathrm{\text{\ \ \ dla\ nieparzystych\ k}} \\ \end{matrix} \right.\ }$$

Ze wzoru na szereg trygonometryczny otrzymujemy:

$$\mathbf{x}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}\mathbf{U}_{\mathbf{\max}}}{\mathbf{\pi}}\left( \sin\left( \mathbf{2}\mathbf{\pi}\left( \mathbf{f}_{\mathbf{1}} \right) \right)\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\sin\left( \mathbf{2}\mathbf{\pi}\left( {\mathbf{3}\mathbf{f}}_{\mathbf{1}} \right) \right)\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}\sin{\left( \mathbf{2}\mathbf{\pi}\left( {\mathbf{5}\mathbf{f}}_{\mathbf{1}} \right) \right)\mathbf{+ \ldots +}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{k}}\sin\left( \mathbf{2}\mathbf{\pi}\left( \mathbf{\text{kf}}_{\mathbf{1}} \right) \right)} \right)$$

gdzie k=1,3,5,…

Wartość amplitudy przebiegu prostokątnego odczytana z oscyloskopu:

U_sk = 256 mV

Wartości amplitudy kolejnych harmonicznych przebiegu prostokątnego o częstotliwościach 1 MHz, 1.25 MHz, 0,75 MHz rozłożonego na szereg trygonometryczny Fouriera:

Wyniki obliczeń amplitudy przebiegu prostokątnego o Usk = 256mV
harmoniczna
[-]
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19

Przeliczanie wartości mocy sygnału z dBm na V dla impedancji wejściowej równej 50 Ω.

Przykład dla 7 MHz i U_m = -20,1dB_m. P_o = 1 mW

$$- 20,1dBm = 10\log\frac{P}{P_{0}}$$

$$\frac{- 20,1}{10} = \log\frac{P}{10^{- 3}}$$

$$10^{\frac{- 20,1}{10}} \bullet 10^{- 3} = P$$

$$P = \frac{U^{2}}{R} = 10^{\frac{- 20,1}{10}} \bullet 10^{- 3}$$

$$U^{2} = 10^{\frac{- 20,1}{10}} \bullet 10^{- 3} \bullet 50$$

$$U_{\text{sk}} = \sqrt{10^{\frac{- 20,1}{10}} \bullet 10^{- 3} \bullet 50} = 0,022104V$$

$$U_{m} = U_{\text{sk}} \bullet \sqrt{2} = 31,261\ mV$$

Z pomiarów	Z obliczeń
f	Um
[MHz]	[dBm]
1	0,9
2,98	-9,1
4,98	-16,1
7	-20,1
9	-24,1
5,2	-29
6	-30
7,98	-32
10,98	-27,1
13,02	-30,1
11,98	-33
15	-33,1
13,98	-34
16	-36,1
16,98	-36,1
17,98	-38,1
19	-39,1

Z pomiarów	Z obliczeń
f	Um
[MHz]	[dBm]
1,24	-0,1
3,76	-9,1
6,24	-16,1
8,74	-21,1
2,56	-24
5,18	-30
5	-31
7,5	-33
11,24	-26,1
13,74	-29,1
16,24	-33,1
12,5	-34
15	-35
17,5	-37,1
18,74	-37,1

Z pomiarów	Z obliczeń
f	Um
[MHz]	[dBm]
0,74	0,9
2,26	-9,1
3,74	-16,1
2	-20
5,22	-20,1
6,74	-24,1
3	-26
8,24	-26,1
4,48	-27
5,98	-27
10,48	-30,1
11,96	-32,1
11,22	-33
13,5	-33,1
14,98	-35,1
12,76	-36
16,48	-37,1
14,24	-38
15,76	-39
17,98	-39,1

Badanie widma sygnałów radiowych

Badanie widma sygnału radiowego z jednostki GRF-1300

Rys. 3.3 Schemat ideowy podłączenia nadajnika radiowego GRF-1300 i analizatora GSP-730

Do jednostki GRF – 1300 podłączono antenę która pełniła zadanie nadajnika, natomiast do analizatora podłączono antenę jako odbiornik. Zarejestrowano obraz widma dla częstotliwości ok. 900 MHz sygnału sinusoidalnego, następnie zmieniono częstotliwość na 910 MHz.

Badanie widma sygnałów radiowych oraz widma sieci Wi-fi

Do analizatora została podpięta antena. Zakres pomiarowy ustawiono na wartości od 80 MHz do 120 MHz. Analizator wykrył sygnały różnych stacji radiowych. Największą moc sygnałów analizator zarejestrował dla częstotliwości:

- 98,66 – Radio Afera

- 92,9 – Radio RMF FM

- 88,4 – Radio Złote Przeboje

- 92,3 – Polskie Radio Program 1

- 89,38 – Polskie Radio Program 3

- 94,52 – Radio RMF FM

- 85,4 – Polsie Radio Program 4

- 81.4 – Radio TOK FM

- 83.4 – MC Radio

- 107.4 – Radio Eska Rock

Dla sprawdzenia częstotliwości sieci Wi-Fi ustawiono cały zakres częstotliwości od 0 GHz do 3 GHz. Włączono opcje Wi-Fi w telefonie komórkowym. Zaobserwowano pojawienie się częstotliwości 2.4 GHz to odpowiada częstotliwościom Wi-Fi. Następnie po wyłączeniu opcji z analizatora znikło ekstremum o częstotliwości 2.4 GHz.

Wnioski

Podczas ćwiczenia badano analizator częstotliwości sygnałów. Podczas przesłania sygnału sinusoidalnego, analizator znalazł tylko jedną częstotliwość o dużej mocy sygnału. Podczas badania sygnału prostokątnego na analizatorze zostały zmierzone wyższe częstotliwości co oznaczała że sygnał prostokątny posiada harmoniczne wyższych rzędów. Sygnał prostokątny został rozłożony na szereg Fouriera i zostały zmierzone amplitudy poszczególnych harmonicznych. Wyniki amplitud były podawane w dB_m. Po przeliczeniu wartości z dB_m na wolty wartości zmierzonych niższych harmonicznych były podobne do wartości z obliczeń analitycznych. Amplituda harmonicznych malała wraz ze wzrostem częstotliwości. Mała zbieżność amplitud dla wysokich częstotliwości może być związana z dużymi zakłóceniami. Podczas pomiarów zauważono wartości częstotliwości nie zgodne z rozkładem przebiegu prostokątnego na szereg Fouriera co jest związane z dużymi zakłóceniami.

W drugiej części ćwiczenia badano przesyłanie sygnału antenami. Przesłano sygnał sinusoidalny o częstotliwości 900 MHz z jednostki GHF-1300 na analizator przez antenę. Zaobserwowano proporcjonalną zmianę położenia szczytu widma wraz ze zmianą częstotliwości.

Ostatnim punktem ćwiczenia było zaobserwowanie częstotliwości fal radiowych oraz częstotliwości sieci Wi-fi. Po załączeniu w telefonie komórkowym opcji wi-fi analizator wykrył częstotliwość 2.4 GHz, niestety nie udało się zarejestrować obrazu widma. Po wyłączeniu opcji Wi-fi częstotliwość 2.4 GHz zniknęła z obrazu. Ustawiając zakres od 80 MHz do 120 MHz zaobserwowano częstotliwości fal radiowych. Analizator zarejestrował częstotliwości stacji radiowych. Zostały one wymienione w pkt. 3.1.4.