Sprawozdanie

Temat: Badanie rezonansu w obwodzie szeregowym prądu zmiennego.

Wstęp teoretyczny

1.Przedstawić schemat obwodu szeregowego RLC prądu przemiennego. Sformułować II

prawo Kirchhoffa dla tego obwodu.

Zgodnie z II prawem Kirchhoffa

U = U_R + U_L + U_c

Prąd:

$$I = \frac{U}{Z}$$

Przy czym:

Z = R + j(X_l − X_c) X_L = ωL $X_{C} = \frac{1}{\text{ωC}}$

Oznaczenia:

U - wartość skuteczna zespolona napięcia

I - wartość skuteczna zespolona prądu

Z - impedancja zespolona dwójnika szeregowego R, L, C,

X_Li X_c - reaktancja indukcyjna i reaktancja pojemnościowa

Ω – pulsacja napięcia sinusoidalnie zmiennego

Wartość skuteczna prądu płynącego przez dwójnik wynosi:

$$I = \frac{U}{Z} = \frac{U}{\sqrt{R^{2} + \left( X_{L} - X_{c} \right)^{2}}}$$

Przy czym:

U - wartość skuteczna napięcia przyłożonego

Z - moduł impedancji

Kąt przesunięcia fazowego między napięciem i prądem określa równanie:

$$\varphi = arctg\frac{X_{L} - X_{c}}{R}$$

2.Na czym polega rezonans w szeregowym obwodzie RLC?

Rezonans szeregowy (rezonans napięć) występuje w szeregowym połączeniu elementów R, L, C wtedy, gdy wartości napięć na cewce i kondensatorze są równe. W rezonansie obwód ma najmniejszą impedancję równą R. W rezonansie w obwodzie płynie największy możliwy prąd.

W stanie rezonansu, jeśli rezystancja R jest mała, to napięcie na cewce i kondensatorze przekracza napięcie zasilające obwód (występuje przepięcie).

Impedancja wypadkowa takiego obwodu wynosi:

Reaktancja zastępcza w rezonansie jest równa zero, zatem:

 

Stąd otrzymujemy pulsację i częstotliwość rezonansową:

 

3. Krzywa rezonansowa i wzory na ω_r I_r  ω.

Krzywa rezonansowa to wykres amplitudy drgań w funkcji częstotliwości

4. Jak zmienia się krzywa rezonansowa wraz ze zmianami R, L i C?

Wraz zwiększaniem R krzywa rezonansowa maleje. Zwiększenie C powoduje że krzywa unosi się po lewej i maleje po prawej i jest to odwrotne od L.

Obliczenia dla R₁LC₂

I_r = 15, 07 [mA]

$$\frac{I_{r}}{\sqrt{2}} = \frac{15,07}{\sqrt{2}} = 10,65\ \lbrack mA\rbrack$$

f_r = 5190 [Hz]

$$\omega_{r} = 2\pi f_{r} = 2*\pi*5190 = 32593,2\ \frac{\text{rad}}{s}$$

$$\omega = 2\pi(f_{2} - f_{1}) = 4082\ \frac{\text{rad}}{s}$$

$$R = \frac{U}{I_{r}} = \frac{3}{15,07*10^{- 3}} = 199\ \lbrack\mathrm{\Omega}\rbrack$$

$$L = \frac{R}{\omega} = \frac{199}{4092} = 0,049\ \left\lbrack H \right\rbrack$$

$$C = \ \frac{1}{L\omega_{r}^{2}} = \frac{1}{0,049*\left( 32593,2 \right)^{2}} = 19,21*10^{- 9}\ \lbrack F\rbrack$$

$$Q = \ \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{199}\sqrt{\frac{0,049}{19,21*10^{- 9}}} = 8,026$$

Obliczenia dla R₂LC₂

I_r = 10, 88 [mA]

$$\frac{I_{r}}{\sqrt{2}} = \frac{10,88}{\sqrt{2}} = 7,7\ \lbrack mA\rbrack$$

f_r = 5170 [Hz]

$$\omega_{r} = 2\pi f_{r} = 2*\pi*5170 = 32467,6\ \frac{\text{rad}}{s}$$

$$\omega = 2\pi(f_{2} - f_{1}) = 5966\ \frac{\text{rad}}{s}$$

$$R = \frac{U}{I_{r}} = \frac{3}{10,88*10^{- 3}} = 276\ \lbrack\mathrm{\Omega}\rbrack$$

$$L = \frac{R}{\omega} = \frac{276}{5966} = 0,046\ \left\lbrack H \right\rbrack$$

$$C = \ \frac{1}{L\omega_{r}^{2}} = \frac{1}{0,046*\left( 32467,6\ \right)^{2}} = 20,62*10^{- 9}\ \lbrack F\rbrack$$

$$Q = \ \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{276}\sqrt{\frac{0,046}{20,62*10^{- 9}}} = 8,026$$

Obliczenia dla R₁LC₃

I_r = 15 [mA]

$$\frac{I_{r}}{\sqrt{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}} = 10,63\ \lbrack mA\rbrack$$

f_r = 7540 [Hz]

$$\omega_{r} = 2\pi f_{r} = 2*\pi*7540 = 47351,2\ \frac{\text{rad}}{s}$$

$$\omega = 2\pi(f_{2} - f_{1}) = 4396\ \frac{\text{rad}}{s}$$

$$R = \frac{U}{I_{r}} = \frac{3}{15*10^{- 3}} = 200\ \lbrack\mathrm{\Omega}\rbrack$$

$$L = \frac{R}{\omega} = \frac{276}{5966} = 0,045\ \left\lbrack H \right\rbrack$$

$$C = \ \frac{1}{L\omega_{r}^{2}} = \frac{1}{0,045*\left( 47351,2\ \right)^{2}} = 10*10^{- 9}\ \lbrack F\rbrack$$

$$Q = \ \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{276}\sqrt{\frac{0,045}{10*10^{- 9}}} = 10,6$$

Wnioski: Na wykresie jest wyraźnie widoczny efekt zwiększenia oporu co powoduje zaniżenie się krzywej rezonansowej. Oraz efekt zwiększenia pojemności co przesuwa krzywą rezonansową.