Akademia Górniczo – Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Ćwiczenie nr 1: Matematyczny model krzywej wzrostu.

Fizyka Środowiska, ćwiczenia laboratoryjne. Prowadzący: mgr inż. Wiktor Filipek

Wykonał: Paweł Sobczak

Wydział Górnictwa i Geoinżynierii kierunek: Ochrona Środowiska studia zaoczne, rok III, semestr IV, grupa 2

Data wykonania ćwiczenia: 11 maj 2014r.

SPIS TREŚCI

SPIS TREŚCI 2

1. Wstęp teoretyczny. 3

2. Opis i cel ćwiczenia. 3

3. Obliczenia i wykresy. 4

3.1. Sprawdzenie zbieżności wykresów dla a=1,1 i wartości początkowych x₀=0,1 i x₀=0,3. 4

3.2. Wykres x(a) dla wartości a z przedziału od 1 do 4. 5

4. Podsumowanie i wnioski. 6

Wstęp teoretyczny.

Tematem ćwiczenia jest zastosowanie wzorów rekurencyjnych w praktyce. Wzór rekurencyjny jest to wzór pozwalający obliczyć wyraz ciągu na podstawie jednego bądź kilku wyrazów poprzedzających go. Do poprawnego zdefiniowania ciągu za pomocą wzoru rekurencyjnego musimy, więc znać jeden, bądź kilka, początkowych jego wyrazów. Wzory te stosuje się np. do określania liczebności populacji – określania wykładniczych wzrostów populacji. Wzrost wykładniczy liczebności populacji jest to jeden z typów dynamiki liczebności populacji, zjawisko zwiększania się liczebności zgodnie z prawem wzrostu wykładniczego, występujące gdy populacja nie napotyka na ograniczenia, np. związane z nadmiernym zagęszczeniem lub oddziaływaniami międzygatunkowymi np. pojawianiem się naturalnych wrogów, brakiem pożywienia itp. Przedstawia to czynnik (1-x_n). Współczynnik a, w równaniu rekurencyjnym podczas używania go do określania wykładniczych wzrostów populacji jest współczynnikiem rozmnażania się populacji danego gatunku.

Pojęcie chaosu, które należy wyjaśnić na podstawie wykresu w drugiej części ćwiczenia opiera się na założeniu, iż możliwe jest dokonywanie pomiarów, kontrolowanie lub odtwarzanie matematycznie nieprzewidywalnego zachowania się układów lub przebiegu zjawisk. Procesy chaotyczne można zaobserwować np. w przebiegu zjawisk atmosferycznych kiedy to ledwie dostrzegalne zakłócenia warunków początkowych powodują znaczące zmiany w końcowych stadiach ruchu. Teoria chaosu stała się jedną z największych rewolucji w nauce XX wieku – bardzo proste formuły matematyczne prowadzą do chaosu, wcześniej uważano że układy są skomplikowane ponieważ opisują je skomplikowane formuły matematyczne. Chaos dotyczy zwykle nieliniowych równań różniczkowych i różnicowych, opisujących układy dynamiczne. Zachowanie chaotyczne charakteryzuje się niestabilnością Przypadkiem najprostszym jest równanie iteracyjne (stanowiące rozwiązanie równania rekurencyjnego):

x_{(n +  1)} = bx_n(1 − x_n), 

które przejawia chaos dla niektórych wartości parametru b. Równanie to jest znane jako równanie logistyczne, używane w zagadnieniach rozwoju populacji w czasie.

Opis i cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia było:

• sprawdzenie, czy dla a=1,1 i wartości początkowych x₀=0,1 i x₀=0,3 ciągi zbiegają do tej samej granicy.

• sporządzenie wykresu x(a) dla wartości a z przedziału od 1 do 4 oraz wyjaśnij na tej podstawie pojęcie chaosu. Dla jakich wartości a to zjawisko występuje.

Powyższe wykresy należało sporządzić na podstawie równania rekurencyjnego w postaci:

x_n + 1  =  a • x_n • (1 − x_n).

Obliczenia i wykresy.

Sprawdzenie zbieżności wykresów dla a=1,1 i wartości początkowych x₀=0,1 i x₀=0,3.

x_n + 1  =  a • x_n • (1 − x_n).

Wykres x(a) dla wartości a z przedziału od 1 do 4.

Podsumowanie i wnioski.

Na podstawie pierwszego wykresu można jednoznacznie stwierdzić, iż wartości funkcji są zbieżne do jednej granicy (ok 0,9).

Patrząc na drugi wykres można zaobserwować, iż w zależności od wielkości parametru a zmienia się liczba wartości zmniejszających zakres zmiennej x. Im większy parametr a, tym większa liczba wartości ograniczających zmienną x. Wartością a, dla której liczba wartości zmiennej x i jej kierunek rozmieszczenia staje się chaotyczny jest liczba 3,56 – dla wyższych wartości punkty rozmieszczone są chaotycznie, co dowodzi teorii chaosu. Od tej wartości nie można jednoznacznie określić przebiegu równania.