Cel ćwiczenia:

Wykreślenie krzywych rezonansowych I = I(f)
Wyznaczenie częstotliwości rezonansowych obwodu z krzywych rezonansowych i przy pomocy oscyloskopu
Wyznaczenie współczynnika dobroci obwodu
Wyznaczenie przesunięcia fazowego między natężeniem prądu i napięciem.

Wstęp teoretyczny:

Prądem przemiennym nazywamy prąd o okresowo zmieniającym się w czasie natężeniu i kierunku prądu. Zjawisko gwałtownego wzrostu amplitudy natężenia prądu w obwodzie przy zbliżaniu częstości ω do wartości ω_r nosi nazwę rezonansu elektromagnetycznego szeregowego, a częstość ω_r nazwę częstości rezonansowej. Ważną właściwością rezonansu jest niezależność częstości rezonansowej ω_r od wartości współczynnika tłumienia $\beta = \frac{R}{2L}$, a więc od oporu czynnego R. Wartość R wpływa jedynie na wartość amplitudy rezonansowej. Im mniejsza jest wartość oporu R, tym większa jest wartość amplitudy I₀. Omówione zjawisko rezonansu dla obwodu szeregowego RLC nosi nazwę rezonansu napięć, ponieważ przy częstości rezonansowej amplitudy napięć na cewce i kondensatorze mają jednakowe wartości , a ich fazy są przeciwne – napięcie wyprzedza w fazie U o kąt π. Całkowity spadek napięcia w obwodzie równa się wówczas spadkowi napięcia na oporze czynnym. Opór R stanowi jedyną przeszkodę dla przepływu prądu. Napięcia na cewce i na kondensatorze są tyle razy większe od napięcia zasilającego, ile razy większy jest opór indukcyjny cewki lub opór pojemnościowy kondensatora od oporu opornika. Ze stratami energii w obwodzie RLC jest związane pojęcie dobroci układu drgającego. Współczynnik dobroci określany jest następująco:

$$Q = 2\pi\frac{E}{\text{ΔE}}$$

gdzie E jest energią zmagazynowaną w obwodzie RLC (energia naładowanego kondensatora i energia pola magnetycznego cewki), a ΔE jest energią rozproszoną na oporniku R w postaci ciepła w ciągu jednego pełnego okresu:

$$T_{r} = \frac{2\pi}{\omega_{r}}$$

Korzystając z podanego wzoru na Q można pokazać, że dobroć:

$$Q = \frac{\omega_{r}L}{R} = \frac{1}{\omega_{r}\text{CR}}$$

Wartość dobroci jest odwrotnie proporcjonalna do oporu R i w zasadniczy sposób wpływa na ostrość krzywej rezonansowej. Wyrazić to można również zależnością:

$$Q = \frac{\omega_{r}}{\text{Δω}}$$

gdzie Δω jest szerokością krzywej rezonansowej na poziomie $I_{0} = \frac{I_{r}}{\sqrt{2}}$. Najwygodniej jest wyznaczyć wartość współczynnika dobroci obwodu przez pomiar napięcia skutecznego U_sk, występującego na kondensatorze, bądź cewce podczas rezonansu przy znajomości wartości skutecznej napięcia przemiennego U_0sk doprowadzonego do zacisków obwodu. Zgodnie ze wzorem:

$$Q = \frac{U_{\text{Csk}}}{U_{0sk}} = \frac{U_{\text{Isk}}}{U_{0sk}}$$

Spis przyrządów:

Generator mocy PO – 21
Miernik częstotliwości
Miernik napięcia przemiennego
Miernik prądu przemiennego
Oscyloskop dwukanałowy

Przebieg pomiarów:

Wykres zależności I = I(f)

Częstotliwość rezonansowa f_r = 20.34 [Hz]. Następnie liczymy indukcyjność cewki L korzystając ze wzoru:

$$f_{r} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\text{LC}}}$$

Po przekształceniu otrzymamy:

$$L = \frac{1}{\left( 2\pi f_{r} \right)^{2}C}$$

π = 3.14
f_r = 20.34 [Hz]
C = 0.243 [μF] = 2.43 • 10⁻⁷ [F]

$$L = \frac{1}{\left( 2\pi \bullet 20.34 \right)^{2} \bullet 2.43 \bullet 10^{- 7}} \cong 252.2159\ \lbrack H\rbrack$$

Dalej trzeba obliczyć wartość niepewności ΔL i $\frac{\text{ΔL}}{L}$:

Metoda różniczki zupełnej:

$\Delta C = \pm 5\% = 2.43 \bullet 10^{- 7} \bullet \frac{5}{100} = 1.215 \bullet 10^{- 8}\ \lbrack F\rbrack$
Δf_r = 0.001 [Hz]

$$\Delta L = \left| \frac{1}{\left( 2\pi f_{r} \right)^{2}} \right| \bullet \left| \text{ΔC} \right| + \left| \frac{1}{\left( 2\pi \right)^{2} \bullet f_{r}C} \right| \bullet \left| \Delta f_{r} \right| = \left| \frac{1}{\left( 2 \bullet 3.14 \bullet 20.34 \right)^{2}} \right| \bullet \left| 1.215 \bullet 10^{- 8} \right| + \left| \frac{1}{4\pi^{2} \bullet 20.34 \bullet 2.43 \bullet 10^{- 7}} \right| \bullet \left| 0.001 \right| = 7.446549715 \bullet 10^{- 13} + 5.130072353 \cong 5.1301\ \lbrack H\rbrack$$

$$\frac{\text{ΔL}}{L} = \frac{5.1301}{252.2159} = 0.02034011337 \cong 0.0204\ \lbrack\%\rbrack$$

Obliczamy współczynnik dobroci obwodu wykorzystując zależność:

$$Q = \frac{U_{c}}{U} = \frac{6.1}{2} = 3.05$$

Niepewności pomiarowe ΔQ i $\frac{\text{ΔQ}}{Q}:$

Metoda pochodnej logarytmicznej:

ΔU = ΔU_c = 0.01 [V]

$$\frac{\text{ΔQ}}{Q} = \left| \frac{\text{ΔU}_{c}}{U_{c}} \right| \bullet 1 + \left| \frac{\text{ΔU}}{U} \right| \bullet 1 = \left| \frac{0.01}{6.1} \right| + \left| \frac{0.01}{2} \right| \cong 6.6394 \bullet 10^{- 3}\ \lbrack\%\rbrack$$

ΔQ = 0.02025

Tabela pomiarowa

C = 2.43 • 10⁻⁷ [F]
f [Hz]





Δf [Hz]
I [A]





ΔI [A]
U
[V]
2

Wnioski:

Wykonanie wielu pomiarów podczas ćwiczenia dało możliwość dokładniejszego wykreślenia zależności I = I(f), co wpływa na dokładniejszy przebieg obliczeń w dalszej części opracowywania pomiarów. Niepewności pomiarowe nie są duże co daje pewność lepszych wyników końcowych.