Pomiary

W celu prezentacji rzeczywistych pomiarów przedstawionych w tabelach wyników

umieszczam poniższy schematyczny rysunek badanego obiektu.

1. Tabele pomiarów

L.p.	a	Δa	b	Δb	c	Δc	d	Δd	e	Δe
Jedn.	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm
1	9,85	0.01	15,10	0,05	24,30	0,05	16,40	0,05	10,10	0,05
2	9,86	0.01	15,45	0,05	24,15	0,05	16,35	0,05	10,15	0,05
3	9,86	0.01	15,50	0,05	25,50	0,05	16,45	0,05	10,15	0,05
4	9,82	0.01	15,10	0,05	25,10	0,05	16,40	0,05	10,80	0,05
5	9,87	0.01	15,25	0,05	25,25	0,05	16,30	0,05	10,20	0,05
$$\overset{\overline{}}{x}$$	9,85	-	15,28	-	24,86	-	16,38	-	10,28	-
sx	0,02	-	0,19	-	0,60	-	0,06	-	0,29	-
$$s_{\overset{\overline{}}{x}}$$	0,01	-	0,08	-	0,27	-	0,03	-	0,13	-
$$s_{\overset{\overline{}}{x}}$$	0,01	-	0,09	-	0,27	-	0,04	-	0,13	-

Tabela 1 Wyniki pomiarów i obliczeń dotyczące średnic danego obiektu

L.p.	h1	Δh1	h2	Δh2	h3	Δh3	h4	Δh4	h5	Δh5
Jedn.	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm
1	9,50	0,05	3,10	0,05	42,80	0,05	1,50	0,05	9,30	0,05
2	9,30	0,05	3,20	0,05	42,90	0,05	1,00	0,05	9,35	0,05
3	9,35	0,05	3,15	0,05	42,85	0,05	1,00	0,05	9,15	0,05
4	9,45	0,05	3,15	0,05	42,90	0,05	1,50	0,05	9,20	0,05
5	9,50	0,05	3,25	0,05	42,95	0,05	1,15	0,05	9,40	0,05
$$\overset{\overline{}}{x}$$	9,42	0,05	3,17	0,05	42,88	0,05	1,23	0,05	9,28	0,05
sx	0,09	-	0,06	-	0,06	-	0,25	-	0,10	-
$$s_{\overset{\overline{}}{x}}$$	0,04	-	0,03	-	0,03	-	0,11	-	0,05	-
$$s_{\overset{\overline{}}{x}}$$	0,05	-	0,04	-	0,04	-	0,12	-	0,05	-

Tabela 2 Wyniki pomiarów i obliczeń dotyczące wysokości danego obiektu

L.p.	V1	V2	V3	V4	V5
Jedn.	[cm^3]	[cm^3]	[cm^3]	[cm^3]	[cm^3]
V	22,19	21,93	24,14	23,67	23,84
$$\overset{\overline{}}{V}$$	23, 141
ΔV	0, 540

Tabela 3 Wyniki pomiarów i obliczeń dotyczące objętości danego obiektu

2. Wzory stosowane do obliczeń

1. Średnia arytmetyczna serii n pomiarów

  

przykład obliczenia

$$\overset{\overline{}}{a_{1}} = \frac{a_{1} + a_{2\ \ } + a_{3\ \ } + a_{4}\ + a_{5}}{5} = \frac{49,26}{5} = \mathbf{9,85}\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack$$

2. Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru

przykład obliczenia

$s_{x_{1}} = \sqrt{\frac{{(9,85 - 9,85)}^{\ \ 2} + {(9,86 - 9,85)}^{2} + {(9,86 - 9,85)}^{2} + {(9,82 - 9,85)}^{2\ } + {(9,87 - 9,85)}^{2}}{4}} = 0,01924 \approx \mathbf{0,02}\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack$

3.Odchylenie standardowe dla wartości średniej

przykład obliczenia

${s_{\overset{\overline{}}{x}}}_{1} = \sqrt{\frac{{(9,85 - 9,85)}^{\ \ 2} + {(9,86 - 9,85)}^{2} + {(9,86 - 9,85)}^{2} + {(9,82 - 9,85)}^{2\ } + {(9,87 - 9,85)}^{2}}{20}}$

$$s_{\overset{\overline{}}{x_{1}}} = 0,008602 \approx 0,01\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack$$

W pomiarach uwzględniłam odchylenie standardowe dla wartości średniej (3) i niepewność przyrządu pomiarowego, dlatego wyznaczyłam całkowitą niepewność standardową ${s}_{\overset{\overline{}}{x}}$

wartości działki elementarnej przyrządu

$$s_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \sqrt{{{(s}_{\overset{\overline{}}{x}}\ )}^{2} + \ \frac{1}{3}\ ({d.e.)}^{\ \ 2}}$$

_d.e. - wartość działki elementarnej przyrządu

przykład obliczenia

$${s}_{\overset{\overline{}}{x_{1}}} = \sqrt{{(0.007)}^{2} + \frac{1}{3}({0,01)}^{2}\ } = 0,01041 \approx \mathbf{0,01}\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack$$

Obliczenie objętości zadanego obiektu

(Od razu dokonałam zmiany jednostek $\overset{\overline{}}{V}$ oraz $\overset{\overline{}}{V}$ z [mm³] na [cm³],

1mm³ = 10⁻³[cm3]    

1. Objętość dla pojedynczego pomiaru

Przykład obliczenia

$V_{1} = \pi\left( \frac{9,85}{2} \right)^{2}*9,5 + \ \pi\left( \frac{15,1}{2} \right)^{2}*3,1 + \pi\left( \frac{24,3}{2} \right)^{2}*42,8 + \pi\left( \frac{16,4}{2} \right)^{2}*1,5 + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \ \pi\left( \frac{10,1}{2} \right)^{2}*9,3 = \mathbf{22190,42}\left\lbrack \text{mm}^{3} \right\rbrack \approx \mathbf{22,19}\left\lbrack \text{cm}^{3} \right\rbrack$

2.Wartość średniej objętości

obliczenie

$$\overset{\overline{}}{V} = \frac{22179,12 + 21916,27 + 24132,68 + 23654,78 + 23823,27}{5} = \mathbf{23141,22}\left\lbrack \text{mm}^{3} \right\rbrack$$

= 23, 141 [cm³] 

3. Niepewność objętości – metoda różniczki logarytmicznej

$$\overset{\overline{}}{V} = \left( \frac{\partial\overset{\overline{}}{V}}{\partial\overset{\overline{}}{D}} \right)*\overset{\overline{}}{D} + \left( \frac{\partial\overset{\overline{}}{V}}{\partial\overset{\overline{}}{H}} \right)*\overset{\overline{}}{H} = \left( \frac{\pi}{2}*\overset{\overline{}}{H}*\overset{\overline{}}{D} \right)*\overset{\overline{}}{D} + \left( \frac{\pi}{4}*{\overset{\overline{}}{D}}^{2} \right)*\overset{\overline{}}{H}$$

obliczenie

$$\overset{\overline{}}{V} = \left( \frac{\pi}{2}*9,85*9,42*0,01\ + \ \frac{\pi}{4}*{(9,85)}^{2}*0,05 \right) + \ 13,86 + 469,89 + 25,9 + 24,62$$

$$\overset{\overline{}}{V} = 539,57\left\lbrack \text{mm}^{3} \right\rbrack = \mathbf{0,540\ }\left\lbrack \text{cm}^{3} \right\rbrack$$

Ostatecznie objętość wynosi:

V =  23, 141 ± 0, 540[cm³]

Masa zadanego obiektu

m = 58, 96 ±  0, 01 [g]

Gęstość zadanego obiektu

1. Niepewność gęstości - metoda różniczki logarytmicznej

$$\mathbf{\rho =}\left( \left| \frac{\partial\rho}{\partial\text{V\ }}\ \overset{\overline{}}{V} \right| + \left| \frac{\partial\rho}{\partial\text{m\ }}\ m \right| \right) = \ \left| - \frac{m}{V^{2}}\ \overset{\overline{}}{V} \right|\mathbf{\ +}\left| \frac{1}{V}\ m \right|\mathbf{\text{\ \ }}$$

Obliczenie

$$\mathbf{\rho =}\left| - \frac{58,96}{{(23,141)}^{2}}\ \bullet \ 0,540 \right|\mathbf{\ +}\left| \frac{1}{23,141}\ \bullet \ 0,01 \right| = \ \mathbf{0,06}\left\lbrack \frac{g}{\text{cm}^{3}} \right\rbrack$$

$$\mathbf{\rho =}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{V}}$$

Obliczenie

$$\rho = \frac{58,96}{23,14}\ = \ 2,55\left\lbrack \frac{g}{\text{cm}^{3}} \right\rbrack\ $$

Ostatecznie gęstość wynosi:

$$\mathbf{\rho = 2,55 \pm \ 0,06}\left\lbrack \frac{\mathbf{g}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{3}}} \right\rbrack$$

Wstęp

I. Cel ćwiczeń

• Wyznaczenie gęstości badanego elementu i jej niepewności poprzez obliczenie objętości elementu na podstawie pomiarów,

• Zapoznanie sie z suwmiarką i śrubą mikrometryczną, jako przyrządami pomiarowymi,

II. Wstęp teoretyczny

Gęstość jest definiowana jako stosunek masy pewnej ilości substancji do zajmowanej przez nią objętości. Niezależnie od kształtu elementu jakiego chcemy zbadać gęstość musimy określić jego masę oraz objętość. Problem pojawia się w momencie kiedy mamy do czynienia z obiektem o różnych wymiarach. W takich przypadkach jesteśmy zmuszeni do użycia tradycyjnych metod pomiarów śrubą mikrometryczną i suwmiarką na czele.

Podczas ćwiczeń przeprowadziłam szereg pomiarów zadanego obiektu o podstawie koła. Wykonywałam pięć pomiarów jednego wymiaru. Pomiarów dokonywałam za pomocą suwmiarki z dokładnością 0,05mm, a także za pomocą śruby mikrometrycznej w której dokładność wynosiła 0,01mm. Przy obliczaniu objętość walca przyjęłam π = 3,14.

Wnioski

Celem przeprowadzonego ćwiczenia było zdobycie wprawy w korzystaniu z przyrządów pomiarowych w celu zebrania odpowiedniej ilości danych pozwalających na wyznaczenie gęstości zadanego, zbliżonego do walca, obiektu. Błędy mogą wynikać z niedoskonałości ludzkiego oka lub niedokładności zastosowanych przyrządów. Innym powodem wystąpienia różnic przy kolejnych pomiarach może być chropowatość powierzchni badanego przedmiotu. Największe odchylenie standardowe wystąpiło dla wysokości h4. Zauważamy, że jest to najkrótszy odcinek wałka. Zatem błąd pomiaru zdolności manualnych przy dokonywaniu pomiaru tak małego odcinka.

$$\mathbf{\rho = 2,55 \pm \ 0,06}\left\lbrack \frac{\mathbf{g}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{3}}} \right\rbrack\backslash n$$