1. WŁAŚCIWOŚCI TRANSMISYJNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH LINIOWYCH: SYGNAŁ WEJŚCIOWY, WYJŚCIOWY, STAN POCZĄTKOWY UKŁADU, ODPOWIEDŹ WŁASNA I WYMUSZONA UKŁADU, ODPOWIEDŹ IMPULSOWA, ODPOWIEDŹ SKOKOWA, ZWIĄZKI POMIĘDZY TYMI SYGNAŁAMI.

2. PROSTE I ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE'A; WŁAŚCIWOŚCI SYGNAŁÓW L-TRANSFORMOWALNYCH, PRZEKSZTAŁCENIE PROSTE I ODWROTNE, POJĘCIE PULSACJI ZESPOLONEJ.

3. PROSTE I ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE'A; LINIOWOŚĆ, PRZESUNIĘCIE ORYGINAŁU, TRANSFORMATA SYGNAŁU TŁUMIONEGO, TRANSFORMATA POCHODNEJ I CAŁKI, WARTOŚCI GRANICZNE, TWIERDZENIE BORELA O SPLOCIE.

4. METODY WYZNACZANIA ODWROTNEJ TRANSFORMATY LAPLACE'A. ZASTOSOWANIE TRANSFORMATY DO ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH

5. OPERATOROWA POSTAĆ SIECI ELEKTRYCZNEJ; IMPEDANCJE I ADMITANCJE OPERATOROWE ELEMENTÓW, ŹRÓDŁA, METODY MACIERZOWE.

6. GRAF PRZEPŁYWOWY I SCHEMAT BLOKOWY OPERATOROWEJ POSTACI SIECI ELEKTRYCZNEJ. ZASADY ŁĄCZENIA BLOKÓW (REDUKCJA SIECI).

Graf przepływowy sygnału: graf, w którym węzły są sygnałami, a gałęzie to operacje wykonywane na sygnałach. Schemat: u(t)--- >x’(t)—całka--->x(t)--->y(t) x do x’-A, u do x’ – B, x do y – C, u do y – D. W grafie wyróżniamy 3 rodzaje wezłow: zrodlowe – sygnaly tylko odchodzą, odbiorcze – takie wezly do których sygnaly tylko dochodzą i wtorne (posrednie) – wezly do których sygnaly dochodzą i odchodzą. Schemat blokowy: jest to graf dualny gdzie wszystkie gałęzie zamieniono na węzły a wezeł na gałęzie. Elementy schematu blokowego: węzeł odczepowy, zaczepowy (punkt do którego doprowadza się i odprowadza się identyczne sygnaly), węzeł sumujący (punkt do którego doprowadza się dowolna liczbe sygnalow i odprowadza się sume algebraiczna tych sygnalow), blok mnożenia sygnału przez stałą, blok całkujący. Upraszczanie schematów: polaczenie kaskadowe – transmitancja bloku zastępczego rowna jest iloczynowi transmitancji blokow składowych, H(s)=H1(s)*H2(s) + schemat. Połączenie równoległe: transmitancja układu to suma transmitancji H(s)=H1(s)+H2(s) + schemat, sprzężenie zwrotne (układ zamknięty): z wyjścia układu (węzla zaczepowego) sygnal przekazywany jest na wejście (wezel sumacyjny), jeslio sygnal jest doprowadzony z minusem – ujemne, z plusem – dodatnie. Tu Schemat (odwrotne równoległe). Transmitancja: H(s)=H1(s)/1+-H1(s)*H2(s), jeśli sygnal jest bezpośredni z wyjścia na wejście to H2(s) rowne jest zero, wtedy: H(s)=H1(s)/1+-H1(s); Przeniesienie węzła zaczepowego sprzed bloku (wejścia) za blok (wyjście) wymaga wprowadzenia dodatkowego bloku o transmitancji 1/H(s) ---*--blok--- na ---blok---*---; Przenoszenie węzła sumacyjnego: z wyjścia (wezel sumacyjny) na wejście (wezel sumacyjny) wprowadzamy blok transmitancji 1/H(s); z wejścia (wezel sumacyjny) na wyjście (wezel sumacyjny) wprowadzamy blok transmitancji H(s).

7. ODPOWIEDŹ IMPULSOWA UKŁADU DYNAMICZNEGO I JEGO TRANSMITANCJA. DEFINICJE TRANSMITANCJI. ZWIĄZKI POMIĘDZY TRANSFORMATAMI SYGNAŁU WEJŚCIOWEGO I WYJŚCIOWEGO. TRANSMITANCJA WIDMOWA.

8. UKŁAD RÓWNOWAŻNY ZACISKOWO. SCHEMATY BLOKOWE REALIZACJI ZAŁOŻONEJ FUNKCJI TRANSMITANCJI, SCHEMAT KONTROLERA, OBSERWERA, KASKADOWY I RÓWNOLEGŁY, PRZEKSZTAŁCANIE TRANSMITANCJI Z POSTACI KANONICZNEJ W POSTAĆ ILOCZYNOWĄ I SUMĘ UŁAMKÓW PROSTYCH.

9. STABILNOŚĆ UKŁADÓW DYNAMICZNYCH. DEFINICJA BIBO. INTERPRETACJA ENERGETYCZNA POJĘCIA STABILNOŚCI; SYGNAŁY MOCY, SYGNAŁY ENERGII , DYSTRYBUCJA DIRACA.

10. ZWIĄZKI POMIĘDZY ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ UKŁADU DYNAMICZNEGO A BIEGUNAMI TRANSMITANCJI, „MAPA" BIEGUNÓW TRANSMITANCJI I MODÓW ODPOWIEDZI IMPULSOWEJ.

11. RÓWNANIA STANU; OPIS UKŁADU DYNAMICZNEGO, RÓWNANIA STANU, RÓWNANIE WYJŚCIA GRAF PRZEPŁYWOWY I SCHEMAT BLOKOWY RÓWNAŃ STANU, WARTOŚCI WŁASNE I WEKTORY WŁASNE MACIERZY PODSTAWOWEJ, INTERPRETACJE.

Postac równania stanu: x’(t)=A*x(t)+B*u(t), równanie wyjścia: y(t)=C*x(t)+D*u(t); Interpretacje: x’(t)-pochodna względem czasu wektora stanu, A-macierz obwodu (wymiar n*n), B-macierz wymuszeń (wymiar n*p), x(t)-wektor stanu(x(t)=pionowo[x1(t) x2(t)…xn(t)], x1, x2 – zmienne stanu obwodu elektrycznego, u(t)-wektor wymuszeń u(t)=[u1(t) u2(t)…un(t)], u1(t), u2(t) – napięcia i prady zrodlowe; Wartosci własne (pierwiastki charakterystyczne) macierzy A to pierwiastki lambda1, lambda2…lambdan równania charakterystycznego f(lambda)=det(1I – A)=0; Wektory własne jest to każdy niezerowy wektor xi, który spelnia równanie Axi=lambdai*xi. Jeśli macierz A posiada rozne wartości własne czyli nie ma wielokrotnych pierwiastkow to każdej wartości własnej odpowiada jeden liniowo niezależny wektor wlasny, np Ax1=lambda*x1

12. RÓWNANIA STANU; MACIERZ TRANZYCYJNA ROZWIĄZANIA RÓWNAŃ STANU, ROZWIĄZANIE SWOBODNE (WŁASNE) I WYMUSZONE, STAN POCZĄTKOWY, INTERPRETACJA ENERGETYCZNA WEKTORA STANU.

Postac równania stanu: x’(t)=A*x(t)+B*u(t), równanie wyjścia: y(t)=C*x(t)+D*u(t)

13. RÓWNANIA STANU; PRZESTRZEŃ STANU, INTERPRETACJA ENERGETYCZNA RUCHU W PRZESTRZENI STANU, TRAJEKTORIE, ZOBRAZOWANIE STABILNOŚCI STRUKTURALNEJ UKŁADU W PRZESTRZENI STANU, INTERPRETACJA ENERGETYCZNA STABILNOŚCI UKŁADU DYNAMICZNEGO W PRZESTRZENI STANU.

Postac równania stanu: x’(t)=A*x(t)+B*u(t), równanie wyjścia: y(t)=C*x(t)+D*u(t); Metoda przestrzeni stanu: dx/dt=Ax+Bu oraz y=Cx+Du, x – wektor zmiennych stanu, u to sygnal wejściowy, y to sygnal wyjściowy, A to maicerz podstawowa, B to macierz wejścia, C i D są macierzami wyjścia.

14. STEROWALNOŚĆ I OBSERWOWALNOŚĆ UKŁADÓW DYNAMICZNYCH.

Dzieki sterowalności i obserwowalności możemy stwierdzić czy układ jest może być sterowany poprzez wejścia u i oserwowalny przez wyjścia y. Sterowalnosc możemy zbadac za pośrednictwem podstwawowej macierzy A układu oraz wektora B, sprawdzamy za pomocą rownan stanu czy wektory bi oraz wektor A*bis a liniowo niezalezne. Jeśli wektory sa zależne to układ jest sterowalny. W praktyce, gdy macierz zdiagonalizowana będzie zawierala którakolwiek wartość rowna zero to układ jest niesterowalny. Obserwowalnosc jest zwiazana z konkretnym wyjściem układu wielowymiarowego, do zbadania obserwowalności wystarczy zbadac podstawaowa macierz układu A oraz jeden z wektorow skladajacy się na macierz wyjścia C. Sprawdzamy zaleznosc wektorow cj oraz A*cj, jeśli sa zależne to układ jest obserwowalny względem konkretnego wyjścia. W skrocie jeśli macierz zdiagonalizowana C* posiada ktorakolwiek wartość rowna zero to ukladd nie jest obserwowalny.

15. WŁAŚCIWOŚCI UKŁADU Z UJEMNYM SPRZĘŻENIEM ZWROTNYM; DEFINICJA SPRZĘŻENIA ZWROTNEGO, ELEMENTY SKŁADOWE SCHEMATU BLOKOWEGO UKŁADU Z E SPRZĘŻENIEM ZWROTNYM, SPRZĘŻENIE UJEMNE I DODATNIE.

Sprzężenie zwrotne doprowadzenie części sygnału wyjściowego z powrotem do wejścia. Częśc sygnału wyjściowego, zwana sygnałem zwrotnym, zostaje skierowana do wejścia układu i zsumowana z sygnałem wejściowym, wskutek czego ulegają zmianie warunki sterowania układu. (układ zamknięty): z wyjścia układu (węzla zaczepowego) sygnal przekazywany jest na wejście (wezel sumacyjny), jeslio sygnal jest doprowadzony z minusem – ujemne, z plusem – dodatnie. Tu Schemat (odwrotne równoległe). Transmitancja: H(s)=H1(s)/1+-H1(s)*H2(s), jeśli sygnal jest bezpośredni z wyjścia na wejście to H2(s) rowne jest zero, wtedy: H(s)=H1(s)/1+-H1(s); Jeśli czesc sygnalu wyjściowego działa wzmacniająco na sygnal wejściowy to mówimy, ze sprzężenie zwrotne jest dodatnie, działanie odwrotne – sprzężenie zwrotne ujemne. Elementy składowe: wezel odczepowy na wyjściu układu, wezel sumacyjny na wejściu układu, bloki mnożące sygnał przez stala. Schemat u(t)---+--blok--*y(t), *--blok--+ (przy + ujemne -, dodatnie +)

16. METODY WIDMOWE ANALIZY UKŁADÓW DYNAMICZNYCH; WIDMO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH (MOCY); WŁAŚCIWOŚCI WIDMA SYGNAŁÓW MOCY, WIDMO AMPLITUDOWE, WIDMO FAZOWE, TRANSFORMACJA ODWROTNA, TWIERDZENIE PARSEVALA.

17. METODY WIDMOWE ANALIZY UKŁADÓW DYNAMICZNYCH; WIDMO SYGNAŁÓW ENERGII, WŁAŚCIWOŚCI, WIDMO AMPLITUDOWE, FAZOWE, TRANSFORMACJA ODWROTNA, TWIERDZENIE PARSEVALA.

Widmo sygnału to wyrażenie matematyczne opisujące częstotliwościowy rozkład amplitud i faz sygnału lub fizyczne zobrazowanie tego sygnału.

Widmo sygnałów energii – jest to kwadrat modułu tranformaty Fouriera F(jomega) funkcji f(t). Jeśli funkcja f(t) jest sygnałem wejściowym układu to transformata Fouriera G(jomega) jego odpowiedzi g(t) jest równa F(jomega)H(jomega). Lokalizacja energii (idealny filtr środkowoprzepustowy) – całka widma gęstości energii sygnału f(t) w przedziale pulsacji równym pasmu przepustowemu filtru (omega1, omega2) jest równa energii sygnału wyjściowego filtru.

Widmo amplitudowe - charakterystyka zmienności amplitud poszczególnych harmonicznych w funkcji częstotliwości, zbiór modułów.

Widmo fazowe - charakterystyka zmienności kąta fazowego poszczególnych harmonicznych w funkcji częstotliwości, zbiór argumentów.

Przekształcenie odwrotne – wzór: f(t)=1/2pi całka od –oo do +oo F(j*omega)e^(j*omega*t)*domega jest zależność między sygnałem f(t), a jego transformatą F(j omega). Funkcja F(jomega) jest widmem (składową harmoniczną) sygnału f(t). Przekształcenie odwrotne jest to inaczej rozkład widmowy sygnału.

Twierdzenie Parsevala – pozwala wyrazić wartość średnią iloczynu dwóch funkcji okresowych o takim samym okresie za pomocą współczynników rozwinięcia wykładniczego Fouriera, wartość ta jest równa sumie od –niesk. do +niesk. szeregu nieskończonego, którego wyrazami są iloczyny współczynników rozwinięcia wykładniczego jednej z tych funkcji przez współczynniki sprzężone rozwinięcia wykładniczego drugiej funkcji, wzór: całka(od –oo do +oo)f1(t)f2*(t)dt=1/2pi całka(od –oo do +oo)F1(jomega)F2*(jomega)domega

18. TRANSFORMATA FOURIERA DEFINICJA I WŁAŚCIWOŚCI; LINIOWOŚĆ, ZMIANA SKALI CZASU, PRZESUNIĘCIE W CZASIE, TRANSFORMATA POCHODNEJ I CAŁKI, TRANSFORMATA SPLOTU, PRZESUNIĘCIE WIDMA.

Przekształcenie Fouriera jest szczególnym przypadkiem przekształcenia Laplace’a więc wszystkie twierdzenia dotyczące Laplace’a mają swoje odpowiedniki dla przekształcenia Fouriera.

Zmiana skali: f(at)<->1/IaI*F(jomega/a); przesunięcie w dziedzinie czasu: f(t-to)<->F(jomega)e^(-jomegat0)

Własności: a) jeśli funkcja f(t) jest bezwzględnie całkowalna w przedziale (-oo, +oo), to jej F-transformata jest funkcją ciągła dla omega „należy” do przedziału(-oo, +oo), b) widmo amplitudowe dąży do zera przy nieograniczonym wzroście częstości omega, c) jeśli funkcje f1(t), f2(t) spełniają założenia twierdzenia Fouriera czyli istnieją transformaty F[f1(t)], F[f2(t)], to F[a1f1(t)+A2f2(t)]=A1*F[f1(t)]+A2*F[f2(t)]

19. WIDMO I CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE; AMPLITUDOWE, FAZOWE, RZECZYWISTE, UROJONE, ZESPOLONE , LOGARYTMICZNE, ASYMPTOTYCZNE —PRZYKŁADY I INTERPRETACJA.

Charakterystyka amplitudowa (widmo amplitudowe) – jest to charakterystyka zmienności amplitud poszczególnych harmonicznych w funkcji częstotliwości.

Charakterystyka fazowa (widmo fazowe) jest to charakterystyka zmienności kąta fazowego poszczególnych harmonicznych w funkcji częstotliwości.

Widmo rzeczywiste funkcji f(t) inaczej współczynniki widma ciągłego, są to funkcje a(omega) i b(omega) ze wzoru: a(omega)=1/pi*całka od –oo do +oo*f(u)cos*omega*u*du, b(omega)= 1/pi*całka od –oo do +oo*f(u)sin*omega*u*du

Postać zespolona: f(t)=1/2pi*całka od –oo do +oo*e^(i*omega*t)*d*omega*całka od –oo do +oo*f(u)e^(-i*omega*u)du – jest to wzór całkowy Fouriera w postaci zespolonej, krótko zapisując F(jomega)=P(omega)+jQ(omega)

Część rzeczywista: P(omega)=całka(od –oo do +oo)f(t)cosomegatdt, Część urojona: Q(omega)=- całka(od –oo do +oo)f(t)sinomegatdt

20. WŁAŚCIWOŚCI LINIOWEGO UKŁADU DYNAMICZNEGO DRUGIEGO RZĘDU (NA PRZYKŁADZIE UKŁADU NADĄŻNEGO), RÓŻNE POSTACI TRANSMITANCJI, ZWIĄZKI POMIĘDZY PARAMETRAMI RÓŻNYCH POSTACI TRANSMITANCJI, ODPOWIEDŹ SKOKOWA LINIOWEGO UKŁADU DYNAMICZNEGO DRUGIEGO RZĘDU, WPŁYW WZMOCNIENIA TORU GŁÓWNEGO NA KSZTAŁT ODPOWIEDZI SKOKOWEJ.

Odpowiedź skokowa – odpowiedź układu lub obwodu przy stanie początkowym zerowym na wymuszenie funkcją jednostkową x(t)=1(t)

21. WŁAŚCIWOŚCI UKŁADU Z UJEMNYM SPRZĘŻENIEM ZWROTNYM; TWIERDZENIE NYQUISTA ZAPAS STABILNOŚCI, INTERPRETACJA NA WYKRESACH NYQUISTA I BODE'GO ZAPASU AMPLITUDY I FAZY, KORYGOWANIE ZAPASU STABILNOŚCI.

Zalety: układ jest mniej wrażliwy np. na wahania napięć zasilających, zmianę Amplitudy czy temperatury, zmniejszają się szumy i zniekształcenia (tak liniowe, jak i nieliniowe), rozszerza się pasmo (tj. zwiększa górna i zmniejsza dolna częstotl. Graniczna), możliwa jest modyfikacja impedancji wejściowej i wyjściowej (w gore lub w dol); Wady: zmniejszenie wzmocnienia tyle razy ile wynosi różnica zwrotna, mogą wystąpić tendencje do wzbudzenia się układu.

22. ASYMPTOTYCZNA LOGARYTMICZNA CHARAKTERYSTYKA AMPLITUDOWA (WYKRES BODE'GO). STOSOWANE SKALE I JEDNOSTKI, WŁAŚCIWOŚCI SKAL LOGARYTMICZNYCH, ASYMPTOTY PRAWOSTRONNA I LEWOSTRONNA, ODDZIAŁYWANIE BIEGUNÓW I ZER TRANSMITANCJI NA PRZEBIEG LOGARYTMICZNEJ ASYMPTOTYCZNEJ CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ.

Charakterystyka amplit. - fazowa jest funkcją zespoloną, której moduł A(omega) to charakt. amplitudowa, a faza fi(omega) to charakt. fazowa. Natomiast jej logarytm jest funkcją zespoloną o składowej rzeczywistej lnA(omega) i urojonej fi(omega). Wykresami Bodego charakt. amplit-fazowej są: wykres 20-krotnie zwiększonego log dziesiętnego (oś y - 20lgA(omega), oś x=lgomega) i wykres jej fazy fi(omega) w funkcji pulsacji omega. Jednostki: charakterystyka amplitudowa: Oś odciętych X – dekada: jednostka opisująca przedział zmiennej rzeczywistej: x1/x2=10 (długość np. od 10 do 100 lub od 100 do 1000) oraz oktawa: jednostka opisująca przedział zmiennej rzeczywistej: x1/x2=2, oktawa to ok. 0,3 dekady, oś rzędnych Y – decybel dB; charakt. fazowa: oś odciętych Y to stopień, oś rzędnych X to omega. Asymptota prawostronna jest to prosta do której dąży charakterystyka amplitudowa A(omega) Bodego jeśli omega dąży do nieskończoności. Asymptota lewostronna jest to prosta do której dąży charakterystyka amplitudowa A(omega) Bodego jeśli omega dąży do zera. Jeśli zera i bieguny są rzeczywiste to upraszcza się wyznaczanie transmitancji H(s) wykresów Bodego. Jeśli są zespolone to znajdujemy oddzielnie wkład każdego czynnika związanego z pierwiastkiem lub rozwiązujemy bezpośrednio odpowiednie czynniki o postaci trójmianów kwadratowych. Bieguny obniżają charakterystykę, a zera podwyższają o 20dB/dekadę. Dzięki temu możemy stworzyć charakterystykę amplitudową.

23. ZADANIE FILTRACJI, RODZAJE FILTRÓW. ICH GABARYTY. FILTRY: BUTTERWORTHA, CZEBYSZEWA I ELIPTYCZNE. PROJEKTOWANIE FILTRÓW - TRANSMITANCJI I SCHEMATÓW BLOKOWYCH. Filtracja jest to, mówiąc ogólnie, proces przetwarzania dokonywany na sygnale w dziedzinie czasu, powodujący zmiany w widmie sygnału oryginalnego. Zmiana polega na redukcji, czyli, inaczej mówiąc, na odfiltrowaniu pewnych niepożądanych składowych sygnału wejściowego - zatem filtr przepuszcza pewne częstotliwości, tłumiąc inne. Pasmo częstotliwości, które filtr przepuszcza bez tłumienia nazywa się pasmem przepustowym, pasmo częstotliwości, które filtr tłumi w większym lub mniejszym stopniu – pasmem zaporowym. W zależności od pasma częstotliwości przepuszczanych przez filtr wyróżniamy: filtry dolnoprzepustowe (pasmo przepustowe zawarte w granicach od 0 do omega0, gdzie omega0 jest częstotliwością graniczna, filtr taki można zrealizować stosując czwórnik typu T lub „PI” w gałęzi poziomej - cewka/ki, pionowa kondensotor/ry), filtry górnoprzepustowe (pasmo przepustowe zawarte jest w granicach od omega0 do nieskończoności, realizacja może opierać się o czwórnik typu T lub „PI” – gałąź pozioma kondensator), filtry pasmowo - przepustowe ( zadaniem takiego filtru jest przepuszczanie sygnałów bez tłumienia, których częstotliwości zawierają się od omega1 do omega2), filtry pasmowo – zaporowe (zadanie to przepuszczanie wszystkich częstotliwości z wyjątkiem określonego pasma od omega1 do omega2 .

Gabaryty:

Filtr Butterwortha rzędu n - układ o charakt. Amplitudowej A(omega)=1/pierw+omega^2n. Charakt. amplitudowa jest płaska dla częstotliwości bliskich zeru i jej szybkość opadania nie jest duża.Czebyszewa I - Zafalowania charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej w paśmie przepustowym, duża stromość zbocza w paśmie przejściowym, nieliniowa charakterystyka fazowa. Czebyszewa II - Zafalowania charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej występują w paśmie zaporowym. Eliptyczny (Cauera) - Zafalowania charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej w paśmie przepustowym i zaporowym, najbardziej strome zbocze w paśmie przejściowym.