Wydział Budowy Maszyn i Informatyki

Rok akademicki: 2010/2011

Studia: stacjonarne/inżynierskie

Semestr: 4

Kierunek: Mechanika

PRACA DOMOWA NR 2b

Dane:

H=480mm

F_d=290N

F_g=400N

f_d=30mm

Wartości przyjęte:

Q₀=500N

Obliczenia wstępne:

• Sztywność zastępcza C_n:

$$C_{n} = \frac{F_{d}}{f_{d}} = \frac{290}{30} = 9,7\ \frac{N}{\text{mm}}$$

• Założenia C₁ oraz C₂:

C₁=4,6 $\frac{N}{\text{mm}}$

C₂=5,1 $\frac{N}{\text{mm}}$

• Ugięcia zmontowania f_zm1 oraz f_zm2:

$$f_{zm1} = \frac{Q_{0}}{C_{1}} = \frac{500}{4,7} = 108,70$$

mm

$$f_{zm2} = \frac{Q_{0}}{C_{2}} = \frac{500}{5} = 98,04mm$$

• Przesunięcie tłoczyska w górę pod działaniem siły F_g:

$$f_{g} = \frac{F_{g}}{C_{n}} = \frac{400}{9,7} = 41,38\ mm$$

• Przesunięcie tłoczyska w dół pod działaniem siły F_d:

$$f_{d} = \frac{F_{d}}{C_{n}} = \frac{290}{9,7} = 30\ mm$$

• Obciążenie sprężyny:

Pod działaniem siły F_d:

$$Q_{1max} = Q_{0} + F_{d} = Q_{0} + \frac{C_{1}}{C_{n}} \bullet F_{d} = 500 + \frac{4,6}{9,7} \bullet 290 = 638\ N$$

$$Q_{2min} = Q_{0} - F_{d} = Q_{0} - \frac{C_{2}}{C_{n}} \bullet F_{d} = 500 - \frac{5,1}{9,7} \bullet 290 = 347N$$

Pod działaniem siły F_g:

$$Q_{2max} = Q_{0} + F_{g} = Q_{0} + \frac{C_{2}}{C_{n}} \bullet F_{g} = 500 + \frac{5,1}{9,7} \bullet 400 = 711\ N$$

$$Q_{1min} = Q_{0} - F_{g} = Q_{0} - \frac{C_{1}}{C_{n}} \bullet F_{g} = 500 - \frac{4,6}{9,7} \bullet 400 = 310\ N$$

• Ugięcie sprężyny 1

$$f_{Q_{1max}} = \frac{Q_{1m\text{ax}}}{C_{1}} = \frac{638}{4,6} = 139mm$$

$$f_{Q_{0}} = \frac{Q_{0}}{C_{1}} = \frac{500}{4,6} = 109mm$$

$$f_{Q_{1max}} = \frac{Q_{1min}}{C_{1}} = \frac{310}{4,6} = 67mm$$

Obliczenia geometryczne:

• Wartości przyjęte:

Średnice drutów:

d₁=6mm

d₂=6 mm

Średnice podziałowe D:

D₁=66 mm

D₂=60 mm

Liczby zwojów czynnych sprężyn Z_c:

Z_c1=10

Z_c2=12

• Całkowite liczby zwojów sprężyny Z:

Z₁=Z_c1+1,5=10+1,5=11,5

Z₂=Z_c2+1,5=12+1,5=13,5

• Sztywność sprężyny C: (G - moduł sprężystości poprzecznej materiału sprężyny)

$$C_{1} = \frac{G}{8} \bullet \frac{d_{1}^{4}}{D_{1}^{3} \bullet Z_{c1}} = \frac{8,14 \bullet 10^{4}}{8} \bullet \frac{6^{4}}{66^{3} \bullet 10} = 4,6\ \frac{N}{\text{mm}}$$

$$C_{2} = \frac{G}{8} \bullet \frac{d_{2}^{4}}{D_{2}^{3} \bullet Z_{c2}} = \frac{8,14 \bullet 10^{4}}{8} \bullet \frac{6^{4}}{60^{3} \bullet 12} = 5,1\ \frac{N}{\text{mm}}$$

• Wskaźniki sprężyny w:

$$w_{1} = \frac{D_{1}}{d_{1}} = \frac{66}{6} = 11$$

$$w_{2} = \frac{D_{2}}{d_{2}} = \frac{60}{6} = 10$$

• Współczynniki poprawkowe k:

$$k_{1} = 1 + \frac{5}{4} \bullet \left( \frac{1}{w_{1}} \right) + \frac{7}{8} \bullet \left( \frac{1}{w_{1}} \right)^{2} + \left( \frac{1}{w_{1}} \right)^{2} = 1 + \frac{5}{4} \bullet \left( \frac{1}{11} \right) + \frac{7}{8} \bullet \left( \frac{1}{11} \right)^{2} + \left( \frac{1}{11} \right)^{2} = 1,1$$

$$k_{2} = 1 + \frac{5}{4} \bullet \left( \frac{1}{w_{2}} \right) + \frac{7}{8} \bullet \left( \frac{1}{w_{2}} \right)^{2} + \left( \frac{1}{w_{2}} \right)^{2} = 1 + \frac{5}{4} \bullet \left( \frac{1}{10} \right) + \frac{7}{8} \bullet \left( \frac{1}{10} \right)^{2} + \left( \frac{1}{10} \right)^{2} = 1,1$$

• Naprężenia styczne bez uwzględnienia współczynnika k:

$$\tau_{1} = \frac{8}{\pi} \bullet \frac{D_{1}}{d_{1}^{3}} \bullet F_{d} = \frac{8}{\pi} \bullet \frac{66}{6^{3}} \bullet 290 = 226\ MPa$$

$$\tau_{2} = \frac{8}{\pi} \bullet \frac{D_{2}}{d_{2}^{3}} \bullet F_{g} = \frac{8}{\pi} \bullet \frac{59}{7^{3}} \bullet 700 = 283\ MPa$$

• Naprężenia styczne z uwzględnieniem współczynnika k:

τ_k1 = k₁ • τ₁ = 1, 1 • 226 = 253 MPa

τ_k2 = k₂ • τ₂ = 1, 1 • 283 = 321 MPa

• Średnice drutów d:

$$d_{1} = \sqrt[3]{k_{1} \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{F_{d} \bullet D_{1}}{\tau_{k1}}} = \sqrt[3]{1,1 \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{290 \bullet 66}{253}} = 6mm$$

$$d_{2} = \sqrt[3]{k_{2} \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{F_{g} \bullet D_{2}}{\tau_{k2}}} = \sqrt[3]{1,2 \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{400 \bullet 60}{321}} = 6\ mm$$

• Liczba zwojów czynnych sprężyny Z_c:

$$Z_{c1} = \frac{G}{8} \bullet \frac{d_{1}^{4}}{D_{1}^{3} \bullet C_{1}} = \frac{8,14 \bullet 10^{4}}{8} \bullet \frac{6^{4}}{66^{3} \bullet 4,6} = 10$$

$$Z_{c2} = \frac{G}{8} \bullet \frac{d_{2}^{4}}{D_{2}^{3} \bullet C_{2}} = \frac{8,14 \bullet 10^{4}}{8} \bullet \frac{6^{4}}{60^{3} \bullet 5,1} = 12$$

• Nominalne długości sprężyn zblokowanych l_blnom:

l_blnom1 = (Z₁−0,5) • d₁ = (11,5−0,5) • 6 = 66 mm

l_blnom2 = (Z₂−0,5) • d₂ = (13,5−0,5) • 6 = 78 mm

• Długości sprężyn zblokowanych l_bl:

l_bl1 = l_blnom1 + 0, 5 • d₁ = 66 + 0, 5 • 6 = 69 mm

l_bl2 = l_blnom2 + 0, 5 • d₂ = 78 + 0, 5 • 6 = 81 mm

• Długości sprężyn nieobciążonych l₀:

$$l_{01} = \frac{\left( H - g \right)}{2} + f_{zm1} = \frac{\left( 480 - 5 \right)}{2} + 108,70 = 346\ mm$$

$$l_{02} = \frac{\left( H - g \right)}{2} + f_{zm2} = \frac{\left( 480 - 5 \right)}{2} + 98,04 = 336\ mm$$

• Suma prześwitów w sprężynie nieobciążonej ∑a:

$$\sum_{}^{}a_{1} = l_{01} - \left( Z_{1} - 0,5 \right) \bullet d_{1} = 346 - \left( 11,5 - 0,5 \right) \bullet 6 = 280\ mm$$

$$\sum_{}^{}a_{2} = l_{02} - \left( Z_{2} - 0,5 \right) \bullet d_{2} = 336\ - \left( 13,5 - 0,5 \right) \bullet 6 = 258\ mm$$

• Suma najmniejszych prześwitów ∑a_min: (x – współczynnik zależny od wskaźnika w)

$$\sum_{}^{}a_{min1} = x_{1} \bullet d_{1} \bullet Z_{c1} = 0,29 \bullet 6 \bullet 10 = 17,4\ mm$$

$$\sum_{}^{}a_{min2} = x_{2} \bullet d_{2} \bullet Z_{c2} = 0,25 \bullet 6 \bullet 12 = 18\ mm$$

• Warunek nie blokowania się sprężyn:

$$\sum_{}^{}a - f - f_{\text{zm}} \geq \sum_{}^{}a_{\min}$$

$$\sum_{}^{}a_{1} - f_{d} - f_{zm1} = 280 - 30 - 108,70 = 142\ mm \geq 17,4\ mm$$

$$\sum_{}^{}a_{2} - f_{g} - f_{zm2} = 258 - 41,38 - 98,04 = 118\ mm \geq 18\ mm$$

Sprawdzenie wytrzymałości zmęczeniowej:

• Naprężenia wstępne τ_k0:

$$\tau_{k01} = k_{1} \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{D_{1}}{d_{1}^{3}} \bullet Q_{0} = 1,1 \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{66}{6^{3}} \bullet 500 = 437\ MPa$$

$$\tau_{k02} = k_{2} \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{D_{2}}{d_{2}^{3}} \bullet Q_{0} = 1,1 \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{60}{6^{3}} \bullet 500 = 402\ MPa$$

• Według PN-85/M-80701 (rys. I-3):

Dla τ_k01 = τ_min1^* = 437 MPa oraz d₁=6 mm:

τ_max1^* = 830 MPa

Dla τ_k02 = τ_min2^* = 402 MPa oraz d₁=6 mm:

τ_max2^* = 800 MPa

• Maksymalne naprężenia styczne τ_kmax:

$$\tau_{k1max} = k_{1} \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{D_{1}}{d_{1}^{3}} \bullet Q_{1max} = 1,1 \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{66}{6^{3}} \bullet 927,8 = 540\ MPa < \tau_{\text{ma}x1}^{*} = 830\ MPa$$

$$\tau_{k2max} = k_{2} \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{D_{2}}{d_{2}^{3}} \bullet Q_{2max} = 1,2 \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{60}{6^{3}} \bullet 711 = 553\ MPa < \tau_{max2}^{*} = 800\ MPa$$

• Rozpiętość cyklu naprężeń wyznaczona z wykresu równa największemu dopuszczalnemu przyrostowi naprężeń stycznych na drodze pracy spręzyny:

τ_kh1^* = τ_max1^* − τ_min1^* = 830 − 437 = 253 MPa

τ_kh2^* = τ_max2^* − τ_min2^* = 800 − 402 = 268 MPa

• Rozpiętość cyklu naprężeń równa przyrostowi naprężeń stycznych na drodze pracy sprężyny:

τ_kh1 = τ_k1max − τ_k01 = 540 − 437 = 103 < τ_kh1^* = 253

τ_kh2 = τ_k2max − τ_k02 = 553 − 402 = 152 < τ_kh2^* = 268 

• Wykres pracy układu sprężyn: